Модель Ван Хиле

. 93>1 Уровни Ван Хиле

2 Свойства уровней

3 Исследования

• 3.1 Критика и модификации теории

4 Дополнительная литература

5 Ссылки

6 Внешние ссылки

Ученик наизусть учится оперировать [математическими] отношениями, которые он не понимает и происхождения которых он не видел…. Следовательно, система отношений - это самостоятельная конструкция, не имеющая связи с другими переживаниями ребенка. Это означает, что ученик знает только то, чему его учили и что из этого было выведено. Он не научился устанавливать связи между системой и чувственным миром. Он не будет знать, как применить то, что он узнал, в новой ситуации. - Пьер ван Хиле, 1959

Самая известная часть модели ван Хиле - это пять уровней, которые ван Хилес постулировал для описания того, как дети учатся рассуждать в геометрии. От учащихся нельзя ожидать, что они будут доказывать геометрические теоремы, пока они не получат обширного понимания систем отношений между геометрическими идеями. Эти системы нельзя выучить наизусть, их необходимо развивать на основе знакомства с многочисленными примерами и контрпримерами, различными свойствами геометрических фигур, взаимосвязями между свойствами и порядком их упорядочения. Пять уровней, предложенных ван Хилесом, описывают, как учащиеся продвигаются через это понимание.

Пять уровней Ван Хиле иногда неправильно понимают как описание того, как учащиеся понимают классификацию форм, но на самом деле уровни описывают то, как учащиеся рассуждают о формах и других геометрических идеях. Пьер ван Хиле заметил, что его ученики имеют тенденцию к "плато" в определенных точках своего понимания геометрии, и он определил эти точки плато как уровни. Как правило, эти уровни являются результатом опыта и обучения, а не возраста. Это контрастирует с теорией когнитивного развития Пиаже, которая зависит от возраста. У ребенка должно быть достаточно опыта (в классе или в другом классе) с этими геометрическими идеями, чтобы перейти на более высокий уровень сложности. Благодаря богатому опыту дети могут достичь уровня 2 в начальной школе. Без такого опыта многие взрослые (включая учителей) остаются на Уровне 1 всю свою жизнь, даже если они проходят формальный курс геометрии в средней школе. Уровни следующие:

Дети на уровне 0 часто говорят, что все эти формы - треугольники, за исключением E, которая слишком "тонкая". Они могут сказать, что F «вверх ногами». Учащиеся на уровне 1 узнают, что допустимыми треугольниками являются только E и F.

Уровень 0. Визуализация : на этом уровне внимание ребенка сосредоточено на отдельных формах, которые ребенок учится классифицировать, оценивая их целостный вид. Дети просто говорят: «Это круг», обычно без дальнейшего описания. Дети определяют прототипы основных геометрических фигур (треугольник, круг, квадрат ). Эти визуальные прототипы затем используются для идентификации других форм. Форма - это круг, потому что она похожа на солнце; форма - это прямоугольник, потому что она похожа на дверь или коробку; и так далее. Кажется, что квадрат имеет другую форму, чем прямоугольник, а ромб не похож на другие параллелограммы, поэтому в детском сознании эти формы классифицируются совершенно отдельно. Дети рассматривают фигуры целостно, не анализируя их свойства. Если форма недостаточно похожа на свой прототип, ребенок может отклонить классификацию. Таким образом, дети на этом этапе могут не захотеть называть тонкий треугольник в форме клина (со сторонами 1, 20, 20 или со сторонами 20, 20, 39) «треугольником», потому что он так отличается по форме от равностороннего . треугольник, который является обычным прототипом для «треугольника». Если горизонтальное основание треугольника находится наверху, а противоположная вершина - внизу, ребенок может распознать его как треугольник, но заявить, что он «перевернут». Формы с закругленными или неполными сторонами могут быть приняты как «треугольники», если они имеют целостное сходство с равносторонним треугольником. Квадраты называются «ромбами» и не считаются квадратами, если их стороны ориентированы под углом 45 ° к горизонтали. Дети на этом уровне часто верят, что что-то правда, основываясь на единственном примере.

Уровень 1. Анализ : На этом уровне формы становятся носителями своих свойств. Объекты мысли - это классы фигур, которые ребенок научился анализировать как обладающие свойствами. Человек на этом уровне может сказать: «У квадрата 4 равные стороны и 4 равных угла. Его диагонали совпадают и перпендикулярны, и они делят друг друга пополам». Свойства важнее внешнего вида формы. Если на доске нарисована фигура и учитель утверждает, что у нее должны быть совпадающие стороны и углы, ученики соглашаются, что это квадрат, даже если он плохо нарисован. Недвижимость на этом уровне еще не заказана. Дети могут обсуждать свойства основных фигур и узнавать их по этим свойствам, но обычно не позволяют категориям перекрываться, потому что они понимают каждое свойство отдельно от других. Например, они по-прежнему будут настаивать на том, что «квадрат не является прямоугольником ». (Они могут вводить посторонние свойства для поддержки таких убеждений, такие как определение прямоугольника как фигуры с одной парой сторон длиннее, чем другая пара сторон.) Дети начинают замечать многие свойства фигур, но не видят взаимосвязи между ними. свойства; поэтому они не могут сократить список свойств до краткого определения с необходимыми и достаточными условиями. Обычно они рассуждают индуктивно на нескольких примерах, но пока не могут рассуждать дедуктивно, потому что не понимают, как связаны свойства форм.

Уровень 2. Абстракция : На этом уровне свойства упорядочены. Объекты мысли - это геометрические свойства, которые ученик научился дедуктивно связывать. Учащийся понимает, что свойства связаны, и один набор свойств может подразумевать другое свойство. Студенты могут рассуждать с помощью простых аргументов о геометрических фигурах. Ученик на этом уровне может сказать: «Равнобедренные треугольники симметричны, поэтому их углы основания должны быть одинаковыми». Учащиеся узнают отношения между типами фигур. Они признают, что все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами, и они понимают, почему квадраты являются типом прямоугольников, на основе понимания свойств каждого из них. Они могут сказать, можно ли получить прямоугольник, который, например, тоже является ромбом. Они понимают необходимые и достаточные условия и умеют писать краткие определения. Однако они еще не понимают внутреннего значения дедукции. Они не могут следовать сложным аргументам, понимать место определений или осознавать необходимость аксиом, поэтому они еще не могут понять роль формальных геометрических доказательств.

Уровень 3. Дедукция : Учащиеся этого уровня понимают значение дедукции. Объектом мышления являются дедуктивные рассуждения (простые доказательства), которые студент учится комбинировать, чтобы сформировать систему формальных доказательств (Евклидова геометрия ). Учащиеся могут создавать геометрические доказательства на уровне средней школы и понимать их значение. Они понимают роль неопределенных терминов, определений, аксиом и теорем в евклидовой геометрии. Однако студенты этого уровня считают, что аксиомы и определения являются фиксированными, а не произвольными, поэтому они еще не могут представить себе неевклидову геометрию. Геометрические идеи все еще понимаются как объекты на евклидовой плоскости.

Уровень 4. Строгость : На этом уровне геометрия понимается на уровне математика. Студенты понимают, что определения произвольны и не обязательно должны относиться к какой-либо конкретной реализации. Объектом мышления являются дедуктивные геометрические системы, для которых обучающийся сравнивает аксиоматические системы. Учащиеся могут с пониманием изучать неевклидову геометрию. Люди могут понять дисциплину геометрии и ее философские отличия от нематематических исследований.

Американские исследователи изменили нумерацию уровней с 1 на 5, чтобы они могли добавить «Уровень 0», который описывает маленьких детей, которые вообще не могут определять формы. Обе системы нумерации все еще используются. Некоторые исследователи также называют уровни по-разному.

Уровни Ван Хиле имеют пять свойств:

1. Фиксированная последовательность : уровни иерархические. Студенты не могут «пропустить» уровень. Ван Хилес утверждают, что большая часть трудностей, с которыми сталкиваются студенты-геометры, связаны с обучением на уровне дедукции, когда они еще не достигли уровня абстракции.

2. Смежность : свойства, присущие на одном уровне, становятся внешними на следующем. (Свойства присутствуют на уровне визуализации, но студент еще не осознает их до уровня анализа. На самом деле свойства связаны на уровне анализа, но студенты еще не осознают эти отношения явным образом.)

3. Отличие : каждый уровень имеет свои языковые символы и сеть отношений. Значение языкового символа - это больше, чем его явное определение; он включает в себя переживания, которые говорящий ассоциирует с данным символом. То, что может быть «правильным» на одном уровне, не обязательно правильно на другом уровне. На уровне 0 квадрат - это что-то вроде коробки. На уровне 2 квадрат - это особый тип прямоугольника. Ни то, ни другое не является правильным описанием значения слова «квадрат» для кого-то, кто рассуждает на уровне 1. Если ученику просто передают определение и связанные с ним свойства, не имея возможности развить значимый опыт с концепцией, ученик не будет уметь применять эти знания за пределами ситуаций, использованных на уроке.

4. Разделение : учитель, который рассуждает на одном уровне, говорит на другом «языке», чем ученик на более низком уровне, что мешает пониманию. Когда учитель говорит о «квадрате», он или она имеет в виду особый тип прямоугольника. Учащиеся 0 или 1 уровня понимают этот термин иначе. Ученик не понимает учителя, и учитель не понимает, как ученик рассуждает, часто делая вывод, что ответы ученика просто «неправильные». Ван Хилес считал, что это свойство было одной из основных причин неудач в геометрии. Учителя полагают, что они выражаются ясно и логично, но их рассуждения на уровне 3 или 4 непонятны ученикам на более низких уровнях, и учителя не понимают мыслительные процессы своих учеников. В идеале учитель и ученики нуждаются в совместном опыте владения языком.

5. Достижение : Ван Хилес рекомендовал пять этапов для руководства студентами с одного уровня на другой по заданной теме:

• Информация или запрос: студенты знакомятся с материалом и начинают открывать его структуру. Учителя представляют новую идею и позволяют ученикам работать с новой концепцией. Попросив учащихся испытать структуру новой концепции аналогичным образом, они могут вести содержательные разговоры о ней. (Учитель может сказать: «Это ромб. Постройте еще несколько ромбов на своей бумаге».)
• Управляемая или направленная ориентация: ученики выполняют задания, которые позволяют им исследовать неявные отношения. Учителя предлагают действия достаточно управляемого характера, которые позволяют учащимся познакомиться со свойствами новой концепции, которую учитель желает им изучить. (Учитель может спросить: «Что произойдет, если вы вырежете и сложите ромб по диагонали? По другой диагонали?» И так далее, после чего следует обсуждение.)
• Объяснение: учащиеся выражают то, что они обнаружили, и вводится словарный запас. Опыт учащихся связан с общими языковыми символами. Ван Хилес считают, что изучать лексику выгоднее после того, как студенты получат возможность ознакомиться с концепцией. Открытия сделаны максимально откровенными. (Учитель может сказать: «Вот свойства, которые мы заметили, и некоторый связанный с ними словарь для того, что вы обнаружили. Давайте обсудим, что они означают».)
• Свободная ориентация: учащиеся выполняют более сложные задачи, позволяя им усвоить сеть отношений в материале. Они знают изучаемые свойства, но им необходимо развивать беглость в навигации по сети отношений в различных ситуациях. Этот вид деятельности гораздо более открытый, чем ориентированная на проводника. Для этих задач не будет установленного порядка их решения. Проблемы могут быть более сложными и требовать более свободного исследования для поиска решений. (Учитель может сказать: «Как можно построить ромб, имея только две его стороны?» И другие задачи, для решения которых учащиеся не усвоили фиксированную процедуру.)
• Интеграция: учащиеся обобщают то, что они узнали, и зафиксировать это в памяти. Учитель может дать студентам обзор всего, что они узнали. Важно, чтобы на этом этапе учитель не представлял никаких новых материалов, а только краткое изложение того, что уже было изучено. Учитель может также дать задание запомнить принципы и выученный словарный запас для будущей работы, возможно, с помощью дальнейших упражнений. (Учитель может сказать: «Вот краткое изложение того, что мы узнали. Запишите это в свой блокнот и выполняйте эти упражнения в качестве домашнего задания».) Сторонники модели ван Хиле отмечают, что традиционное обучение часто включает только этот последний этап, который объясняет, почему учащиеся не усваивают материал.

Для докторской диссертации Дины ван Хиле-Гелдоф она провела обучающий эксперимент с 12-летними детьми в средней школе Монтессори в Нидерландах. Она сообщила, что с помощью этого метода она смогла поднять уровень учеников с 0 до 1 за 20 уроков и с 1 до 2 за 50 уроков.

Используя уровни ван Хиле в качестве критерия, почти половина студентов-геометров помещается на курс, в котором их шансы на успех составляют всего 50-50. - Залман Усискин, 1982

Исследователи обнаружили, что уровень Ван Хиле у американских студентов низок. Европейские исследователи нашли аналогичные результаты для европейских студентов. Многие, а возможно, и большинство американских студентов не достигают уровня дедукции даже после успешного завершения ориентированного на доказательства курса геометрии в средней школе, вероятно, потому, что материал заучивается наизусть, как утверждал ван Хилес. По всей видимости, это связано с тем, что в американских курсах геометрии в средней школе предполагается, что учащиеся уже как минимум достигли уровня 2, готовы перейти на уровень 3, в то время как многие учащиеся средней школы все еще находятся на уровне 1 или даже уровне 0. См. Свойство «Фиксированная последовательность» выше.

Критика и модификации теории

Уровни прерывистые, как это определено в свойствах выше, но исследователи обсуждали, насколько дискретными являются уровни на самом деле. Исследования показали, что многие дети рассуждают на нескольких или промежуточных уровнях, что, по-видимому, противоречит теории. Дети также продвигаются по уровням с разной скоростью для разных концепций, в зависимости от того, как они знакомы с предметом. Следовательно, они могут рассуждать на одном уровне для определенных форм, но на другом уровне для других форм.

Некоторые исследователи обнаружили, что многие дети на уровне визуализации не рассуждают полностью целостным образом, но могут сосредоточиться на один атрибут, такой как равные стороны квадрата или округлость круга. Они предложили переименовать этот уровень в синкретический. Предлагались и другие модификации, такие как определение подуровней между основными уровнями, хотя ни одна из этих модификаций пока не приобрела популярности.

• Уровни геометрического понимания Ван Хиле от
• Маленькие дети, развивающие понимание геометрических форм по

• Фургон Уровни геометрического понимания Хиле - PDF-файл часто задаваемых вопросов о модели Ван Хиле с библиографией
• Связь теории Ван Хиле с инструкцией - Деятельность, основанная на теории Ван Хиле
• Развитие пространственного и геометрическое мышление: важность обучения.
• Уровни Ван Хиле и достижения в геометрии средней школы - крупное исследование 1982 г. в Чикаго, анализирующее модель Ван Хиле и ее значение для понимания достижений американских старшеклассников в геометрии
• Модель геометрического мышления Ван Хиле - Презентация в PowerPoint
• Модель геометрического мышления Ван Хиле Краткое изложение основных аспектов модели Ван Хиле
• Международная конференция «Теория Ван Хиле в математическом образовании» ", Хорватия. Организаторы: Задарский университет, Департамент педагогического образования и HUNI - Hrvatska udruga nastavnika istraživača (Хорватская ассоциация преподавателей-исследователей). Профессиональные лекции и семинары включали тематические материалы об аспектах исследования действий, уровнях аспектов теории ван Хиле в функции- и Тестовое предложение для использования в государственной школе Хорватии.