Войти
В математике, неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на аксиомах, тесно связанных с теми, которые определяют евклидову геометрия. Поскольку евклидова геометрия находится на пересечении метрической геометрии и аффинной геометрии, неевклидова геометрия возникает либо путем ослабления требований метрики, либо путем замены параллельного постулата на альтернатива. В последнем случае получается гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия, традиционные неевклидовы геометрии. Когда требование метрики ослаблено, появляются аффинные плоскости, связанные с плоскими алгебрами, которые приводят к кинематическим геометриям, которые также называются неевклидовой геометрией.
Существенное различие между метрической геометрией заключается в характере параллельных линий. Пятый постулат Евклида, параллельный постулат, эквивалентен постулату Плейфэра, который утверждает, что в двухмерной плоскости для любой данной линии l и точка A, которая не находится на l, есть ровно одна прямая, проходящая через A, которая не пересекает l. В гиперболической геометрии, напротив, существует бесконечно много прямых, проходящих через A, не пересекающих l, тогда как в эллиптической геометрии любая прямая, проходящая через A, пересекает l.
Другой способ описать различия между этими геометриями - рассмотреть две прямые линии, неограниченно вытянутые в двухмерной плоскости, которые обе перпендикулярны третьей линии (в той же плоскости):
Евклидова геометрия, названная в честь греческого математика Евклида, включает в себя некоторые из старейших известных математиков и геометрии, которые отклонения от этого не были широко признаны законными до 19 века.
Споры, которые в конечном итоге привели к открытию неевклидовой геометрии, начались почти сразу после того, как Евклид написал Элементы. В «Элементах» Евклид начинает с ограниченного числа предположений (23 определения, пять общих понятий и пять постулатов) и стремится доказать все остальные результаты (предложения ) в своей работе. Самый известный из постулатов часто упоминается как «Пятый постулат Евклида» или просто параллельный постулат, который в исходной формулировке Евклида выглядит так:
Если прямая линия падает на две прямые в таком таким образом, чтобы внутренние углы на одной стороне вместе были меньше двух прямых углов, тогда прямые линии, если они образовывались бесконечно, пересекались на той стороне, на которой углы меньше двух прямых углов.
Другие математики изобрели более простые формы этого свойства. Однако, независимо от формы постулата, он постоянно кажется более сложным, чем другие постулаты Евклида :
1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
2. Чтобы произвести [удлинить] конечную прямую непрерывно в прямую линию.
3. Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием [радиус].
4. Что все прямые углы равны друг другу.
На протяжении как минимум тысячи лет геометров беспокоила несоизмеримая сложность пятого постулата, и они считали, что его можно доказать как теорему из четырех других. Многие пытались найти доказательство от противоречия, в том числе Ибн аль-Хайсам (Альхазен, 11 век), Омар Хайям (12 век), Насир ад-Дин ат-Туси (13 век) и Джованни Джироламо Саккери (18 век).
Теоремы Ибн аль-Хайсама, Хайяма и ат-Туси о четырехугольнике, включая четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери, были следующими: первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрии ". Эти теоремы вместе с их альтернативными постулатами, такими как аксиома Плейфэра, сыграли важную роль в более позднем развитии неевклидовой геометрии. Эти ранние попытки оспорить пятый постулат оказали значительное влияние на его развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело, Леви бен Герсон, Альфонсо, Джон Уоллис и Саккери. Однако все эти ранние попытки сформулировать неевклидову геометрию дали ошибочные доказательства постулата параллельности, содержащие предположения, которые по существу эквивалентны постулату параллельности. Однако эти ранние попытки предоставили некоторые ранние свойства гиперболической и эллиптической геометрий.
Хайям, например, пытался вывести это из эквивалентного постулата, который он сформулировал из «принципов Философа» (Аристотель ): «Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и это невозможно для две сходящиеся прямые линии, расходящиеся в том направлении, в котором они сходятся ". Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них, он правильно опроверг эти тупые и острые случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат. Евклида, что он не осознавал, было эквивалентно его собственному постулату. Другой пример - сын ат-Туси, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), который в 1298 году написал книгу на эту тему, основанную на более поздних мыслях ат-Туси, в которой была представлена другая гипотеза, эквивалентная параллельному постулату.. «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих утверждений Элементов». Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и была изучена европейскими геометрами, в том числе Саккери, который критиковал эту работу, а также работу Уоллиса.
Джордано Витале в своей книге Euclide restituo (1680), 1686), использовал четырехугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.
В работе под названием Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Евклид, свободный от всех недостатков), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отверг эллиптическую геометрию как возможность (некоторые другие аксиомы Евклида должны быть изменены, чтобы эллиптическая геометрия работала) и приступил к доказательству множества результатов в гиперболической геометрии.
Он, наконец, достиг точки, когда он считал, что его результаты демонстрируют невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, по-видимому, было основано на предположениях Евклида, поскольку никакого логического противоречия не было. В этой попытке доказать евклидову геометрию он вместо этого непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не реализовал ее.
В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал, Theorie der Parallellinien, в которой он, как и Саккери, попытался доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, которую сегодня мы называем четырехугольником Ламберта, четырехугольником с тремя прямыми углами (может считаться половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как и Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении острого угла. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат, согласно которому сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не продвигал эту идею дальше.
В то время было широко распространено мнение, что Вселенная работает в соответствии с принципами евклидовой геометрии.
Начало 19 века, наконец, станет свидетелем решающих шагов в создании неевклидовой геометрии. Примерно в 1813 г., Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт разработали зародышевые идеи неевклидовой геометрии, но ни один из них не опубликовал никаких результатов. Племянник Швейкарта Франц Тауринус опубликовал важные результаты гиперболической тригонометрии в двух статьях в 1825 и 1826 годах, однако, признавая внутреннюю непротиворечивость гиперболической геометрии, он все же верил в особую роль евклидовой геометрии.
Затем, в 1829–1830 годах русский математик Николай Иванович Лобачевский и в 1832 году венгерский математик Янош Бойяи отдельно и независимо опубликовали трактаты по гиперболической геометрии. Следовательно, гиперболическая геометрия называется геометрией Лобачевского или геометрией Бояи-Лобачевского, поскольку оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бойая, когда ему показали работу младшего Бояи, что он разработал такую геометрию за несколько лет до этого, но не опубликовал. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бойяи разработал геометрию, в которой возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия в зависимости от параметра k. Бойяи завершает свою работу упоминанием о том, что невозможно решить с помощью одних только математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук.
Бернхард Риман в своей знаменитой лекции в 1854 году основал область римановой геометрии, обсуждая, в частности, идеи, которые теперь называются многообразиями, римановой метрикой и кривизна. Он построил бесконечное семейство неевклидовых геометрий, указав формулу для семейства римановых метрик на единичном шаре в евклидовом пространстве. Самая простая из них называется эллиптической геометрией и считается неевклидовой геометрией из-за отсутствия параллельных линий.
Формулируя геометрию в терминах тензора кривизны , Риман позволил неевклидовой геометрии применяться к более высоким измерениям. Бельтрами (1868 г.) был первым, кто применил геометрию Римана к пространствам отрицательной кривизны.
Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия». Он имел в виду свою собственную работу, которую сегодня мы называем гиперболической геометрией. Некоторые современные авторы до сих пор считают неевклидову геометрию и гиперболическую геометрию синонимами.
Артур Кэли отметил, что расстояние между точками внутри конуса может быть определено в терминах логарифма и проективной функции перекрестного отношения. Этот метод получил название метрики Кэли-Клейна, потому что Феликс Клейн использовал его для описания неевклидовой геометрии в статьях 1871 и 1873 годов, а затем и в книжной форме. Метрики Кэли – Клейна предоставили рабочие модели гиперболической и эллиптической метрической геометрии, а также евклидовой геометрии.
Кляйн отвечает за термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он назвал евклидову геометрию параболической, термин, который обычно выходил из употребления). Его влияние привело к нынешнему использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения либо «гиперболической», либо «эллиптической» геометрии.
Есть некоторые математики, которые могли бы по-разному расширить список геометрий, которые следует называть «неевклидовой».
Евклидова Геометрия может быть аксиоматически описана несколькими способами. К сожалению, исходная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, так как его доказательства основывались на нескольких неустановленных предположениях, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система Гильберта, состоящая из 20 аксиом, наиболее точно следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие разные наборы неопределенных терминов, получают ту же геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида, постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Плейфэра, а Биркгоф, например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара похожих, но не совпадающих треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, дает абсолютную геометрию. Поскольку первые 28 положений Евклида (в «Элементах») не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии.
Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) должен быть заменен его отрицанием. Отрицание формы аксиомы Playfair, поскольку это составное утверждение (... существует один и только один...), можно сделать двумя способами:
Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях 
На сфере сумма углов треугольника не равна 180 °. Поверхность сферы не является евклидовым пространством, но локально законы евклидовой геометрии являются хорошими приближениями. В маленьком треугольнике на поверхности Земли сумма углов очень близка к 180 °. Двумерная евклидова геометрия моделируется нашим понятием «плоской плоскости ".
Простейшая модель для эллиптической геометрии - это сфера, где линии представляют собой «большие круги » (например, экватора или меридианов на глобусе ), а также точки, противоположные друг другу (называемые противоположными точками ), идентифицируются (считаются одинаковыми). Это также одна из стандартных моделей реальной проективной плоскости. Разница в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а в качестве модели проективной плоскости такой метрики нет.
В эллиптической модели для любой данной прямой l и точки A, которая не находится на l, все прямые, проходящие через A, будут пересекать l.
Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бойяи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболической геометрии ?». Модель для гиперболической геометрии была предложена Эудженио Бельтрами в 1868 году, который впервые показал, что поверхность, называемая псевдосферой, имеет соответствующую кривизну <295.>для моделирования части гиперболического пространства и во второй статье того же года, определил модель Клейна, которая моделирует все гиперболическое пространство, и использовал это, чтобы показать, что евклидово геометрия и гиперболическая геометрия были равносогласованными, так что гиперболическая геометрия была логически согласованной тогда и только тогда, когда была евклидова геометрия. (Обратное утверждение следует из модели орисферы евклидовой геометрии.)
В гиперболической модели в двухмерной плоскости для любой данной прямой l и точки A, которая является не на l, существует бесконечно прямых, проходящих через A, которые не пересекают l.
В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это приводит к искажению восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь искусственным способом их изображения.
В трех измерениях существует восемь моделей геометрии. Есть евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии, как в двумерном случае; смешанная геометрия, частично евклидова, частично гиперболическая или сферическая; витые варианты смешанной геометрии; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (т.е. каждое направление ведет себя по-разному).
Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизм. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией). Однако исторически наибольшее внимание уделялось свойствам, которые отличают одну геометрию от других.
Помимо поведения прямых относительно общего перпендикуляра, упомянутого во введении, мы также имеем следующее:
Ранее модели неевклидовой плоскости были представлены Бельтрами, Кляйном и Пуанкаре, евклидова геометрия неоспоримо оставалась математической моделью пространства. Более того, поскольку суть предмета в синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла абсолютный авторитет.
Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за рамки математики и науки. Философ Иммануил Кант трактовал человеческое знание особую роль в геометрии. Это был его главный пример синтетического априорного знания; не производные от органов чувств и не выводимые с помощью логики - наши знания о космосе были истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция этой неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика соотносится с окружающим ее миром, что явилось результатом этого сдвига парадигмы.
Неевклидова геометрия является примером научная революция в истории науки, в ходе которой математики и ученые изменили свой взгляд на предметы. Некоторые геометры называли Лобачевского «Коперником Геометрией» из-за революционного характера его работы.
Существование неевклидовой геометрии повлияло на интеллектуальную жизнь Викторианская Англия во многих отношениях и, в частности, была одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии на основе Элементов Евклида. В то время этот вопрос об учебной программе горячо обсуждался и даже стал предметом книги Евклид и его современные соперники, написанной Чарльзом Латвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл, автор Алиса в стране чудес.
В аналитической геометрии плоскость описывается с помощью декартовых координат : C = {(x, y): x, y ∈ ℝ}. Точки иногда отождествляются с комплексными числами z = x + y ε, где ε ∈ {–1, 0, 1}.
Евклидова плоскость соответствует случаю ε = −1, поскольку модуль z определяется как
и эта величина является квадратом евклидова расстояния между z и началом координат. Например, {z | z z * = 1} - единичная окружность.
Для плоской алгебры неевклидова геометрия возникает в других случаях. Когда ε = +1, тогда z является комплексным числом с разделением, и обычно j заменяет эпсилон. Тогда
и {z | zz * = 1} - это единичная гипербола.
Когда ε = 0, тогда z является двойным числом.
Этот подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклон в плоскости двойных чисел и гиперболический угол в плоскости расщепленного комплекса соответствуют углу в евклидовой геометрии. Действительно, каждая из них возникает в полярном разложении комплексного числа z.
Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике с помощью физическая космология введена Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел такие термины, как мировая линия и собственное время в математическую физику. Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем может рассматриваться гиперболическим пространством трех измерений. Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн рисовал это подмногообразие с помощью своей алгебры физики и гиперболических кватернионов, хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как это делал Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется моделью гиперболоида гиперболической геометрии.
Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, разделенное комплексное число z = e может представлять пространственно-временное событие в один момент будущего в системе отсчета с скоростью a. Кроме того, умножение на z равняется бусту Лоренца, отображающему кадр с нулевой скоростью в кадр с быстротой a.
Кинематическое исследование использует двойные числа 
С двойными числами отображение:
Другой вид специальная теория относительности как неевклидова геометрия была выдвинута Э. Б. Уилсон и Гилберт Льюис в Proceedings of Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они изменили аналитическую геометрию, заложенную в алгебре расщепленных комплексных чисел, на синтетическая геометрия предпосылок и выводов.
Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези.
 | Wikiquote has quotations related to: No n-Euclidean geometry |
