Двухоментная модель решения

«Анализ среднего отклонения» перенаправляется сюда. Для теории портфеля средней дисперсии см. Современная теория портфелей и Теорема разделения паевых инвестиционных фондов.

В теории принятия решений, экономики и финансов, решение модели два-момент является модель, которая описывает или предписывает процесс принятия решений в контексте, в котором принимающее решение сталкивается с случайными величинами, чьи реализации не могут быть известны заранее, и в котором выбор делается на основе знания двух моментов этих случайных величин. Два момента почти всегда являются средним значением, то есть ожидаемым значением, которое является первым моментом около нуля, и дисперсией, которая является вторым моментом относительно среднего (или стандартного отклонения, которое является квадратным корнем из дисперсии).

Самая известная двухфакторная модель принятия решений - это модель современной теории портфеля, которая дает начало части принятия решений модели ценообразования капитальных активов ; они используют анализ среднего отклонения и сосредотачиваются на среднем значении и дисперсии окончательной стоимости портфеля.

• 1 Двухоментные модели и максимизация ожидаемой полезности
• 2 Принятие решения о непредвиденной полезности
• 3 См. Также
• 4 ссылки

Предположим, что все соответствующие случайные величины принадлежат к одному семейству масштаба местоположения, что означает, что распределение каждой случайной величины такое же, как распределение некоторого линейного преобразования любой другой случайной величины. Тогда для любой функции полезности фон Неймана – Моргенштерна использование схемы решения средней дисперсии согласуется с максимизацией ожидаемой полезности, как показано в примере 1:

Пример 1: Пусть есть один рискованный актив со случайной доходностью и один безрисковый актив с известной доходностью, и пусть будет начальное богатство инвестора. Если сумма, переменная выбора, должна быть инвестирована в рискованный актив, а сумма должна быть инвестирована в безопасный актив, тогда, в зависимости от обстоятельств, будет случайное окончательное состояние инвестора. Затем при любом выборе, распространяется как преобразование местоположения в масштабе . Если мы определяем случайную величину как равную в распределении, то равную в распределении, где μ представляет собой ожидаемое значение, а σ представляет собой стандартное отклонение случайной величины (квадратный корень из ее второго момента). Таким образом, мы можем записать ожидаемую полезность в виде двух моментов : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r_ {f}}$${\ displaystyle w_ {0}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle w_ {0} -q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle w = (w_ {0} -q) r_ {f} + qr}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ tfrac {w- \ mu _ {w}} {\ sigma _ {w}}},}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle \ mu _ {w} + \ sigma _ {w} x}$ ${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} u (w) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! u (\ mu _ {w} + \ sigma _ {w} x) f (x) \, dx \ Equiv v (\ mu _ {w}, \ sigma _ {w}),}$

где это функция полезности фон Неймана-Моргенштерна, представляет собой функцию плотности из, и является производной среднего стандартное отклонение функция выбора, которая зависит в форме от функции плотности F. Предполагается, что функция полезности фон Неймана – Моргенштерна увеличивается, что подразумевает, что большее богатство предпочтительнее меньшего, и предполагается, что она вогнутая, что равносильно предположению о том, что индивид не склонен к риску. ${\ Displaystyle и (\ cdot)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle v (\ cdot, \ cdot)}$

Можно показать, что частная производная v по μ w положительна, а частная производная v по σ w отрицательна; таким образом, более ожидаемое богатство всегда приветствуется, а больший риск (измеряемый стандартным отклонением богатства) всегда неприемлем. Кривая безразличия среднего стандартного отклонения определяется как геометрическое место точек ( σ w,  μ w ) с σ w, нанесенным горизонтально, так что E u ( w ) имеет одинаковое значение во всех точках этого геометрического места. Тогда производные от v означают, что каждая кривая безразличия имеет наклон вверх: то есть вдоль любой кривой безразличия dμ w  /  d σ w  gt; 0. Более того, можно показать, что все такие кривые безразличия являются выпуклыми: вдоль любой кривой безразличия d ² μ w  /  d (σ w ) ²  gt; 0.

Пример 2: Анализ портфеля в примере 1 можно обобщить. Если существует n рискованных активов вместо одного, и если их доходность совместно эллиптически распределена, то все портфели можно полностью охарактеризовать их средним значением и дисперсией, то есть любые два портфеля с одинаковым средним значением и дисперсией доходности портфеля имеют идентичные распределения. доходности портфеля - и все возможные портфели имеют распределения доходности, которые зависят друг от друга в масштабе местоположения. Таким образом, оптимизация портфеля может быть реализована с использованием двухфакторной модели принятия решений.

Пример 3: Предположим, что не склонная к риску фирма, принимающая цены, должна взять на себя обязательство произвести количество продукции q, прежде чем наблюдать за реализацией цены продукта p на рынке. Задача его решения состоит в том, чтобы выбрать q так, чтобы максимизировать ожидаемую полезность прибыли:

Максимизировать E u ( pq - c ( q ) - g ),

где E - оператор математического ожидания, u - функция полезности фирмы, c - функция переменных затрат, а g - постоянные затраты. Все возможные распределения случайного дохода фирмы pq, основанные на всех возможных вариантах q, связаны с масштабом местоположения; таким образом, проблема принятия решения может быть сформулирована в терминах ожидаемой стоимости и дисперсии дохода.

Если лицо, принимающее решение, не является максимизатором ожидаемой полезности, принятие решения все же можно сформулировать в терминах среднего и дисперсии случайной величины, если все альтернативные распределения для непредсказуемого результата являются преобразованиями друг друга в масштабе местоположения.

• Теория принятия решений
• Выбор межвременного портфеля
• Микроэкономика