Войти
В теории алгебраических групп аппроксимационные теоремы являются расширением китайской теоремы об остатках на алгебраические группы G над глобальными полями k.
Эйхлер (1938) доказал сильное приближение для некоторых классических групп. Сильная аппроксимация была установлена в 1960-х и 1970-х годах для полупростых односвязных алгебраических групп над глобальными полями. Результаты для числовых полей принадлежат Кнезеру (1966) и Платонову (1969); случай функционального поля над конечными полями связан с Маргулисом (1977) и Прасад (1977). В случае числового поля Платонов также доказал родственный результат над локальными полями, названный гипотезой Кнезера – Титса.
Пусть G - линейная алгебраическая группа над глобальное поле k, а A кольцо аделей k. Если S - непустое конечное множество точек k, то мы будем писать A для кольца S-аделей и A S для произведения пополнений k s, для s в конечном множестве S. При любом выборе S G (k) вкладывается в G (A S) и G (A).
Вопрос, задаваемый в слабом приближении, заключается в том, имеет ли вложение G (k) в G (A S) плотный образ. Если группа G связна и k-рациональна, то она удовлетворяет слабой аппроксимации по отношению к любому множеству S (Платонов, Рапинчук 1994, стр.402) harv error: no target: CITEREFPlatonov, _Rapinchuk1994 (справка ). В более общем смысле, для любой связной группы G существует конечное множество T конечных точек k такое, что G удовлетворяет слабой аппроксимации по отношению к любому множеству S, не пересекающемуся с T (Платонов, Рапинчук 1994, с..415) harv error: нет цели: CITEREFPlatonov, _Rapinchuk1994 (help ). В частности, если k - поле алгебраических чисел, то любая группа G удовлетворяет слабой аппроксимации относительно множества S = S ∞ бесконечных мест.
Вопрос, который задают в сильном приближении, заключается в том, имеет ли вложение G (k) в G (A) плотный образ или, что то же самое, является ли множество
плотное подмножество в G (A). Основная теорема сильной аппроксимации (Kneser 1966, p.188) утверждает, что неразрешимая линейная алгебраическая группа G над глобальным полем k имеет сильная аппроксимация для конечного множества S тогда и только тогда, когда его радикал N унипотентен, G / N односвязно, и каждая почти простая компонента H группы G / N имеет не- компактная компонента H s для некоторых s в S (в зависимости от H).
Доказательства сильной аппроксимации основывались на принципе Хассе для алгебраических групп, который для групп типа E 8 было доказано только несколько лет спустя.
Слабое приближение справедливо для более широкого класса групп, включая присоединенные группы и внутренние формы групп Шевалле, показывая, что свойство сильной аппроксимации является ограничивающим.
