Унипотент

редактировать

В математике, унипотентный элемент r кольца R один такой, что r - 1 является нильпотентным элементом ; другими словами, (r - 1) равно нулю для некоторого n.

В частности, квадратная матрица, M, является унипотентной матрицей, если и только если ее характеристический многочлен , P (t), является степенью t - 1. Таким образом, все собственные значения унипотентной матрицы равны 1.

Термин квазиунипотентный означает, что некоторая степень унипотентна, например, для диагонализуемая матрица с собственными значениями, которые являются корнями из единицы.

В унипотентной аффинной алгебраической группе все элементы унипотентны (см. ниже определение элемент, являющийся унипотентным в такой группе).

Содержание

1 Определение
- 1.1 Определение с матрицами
- 1.2 Определение с теорией колец
- 1.3 Определение с теорией представлений
2 Примеры
- 2.1 U n
- 2.2 G a
- 2.3 Ядро Фробениуса
3 Классификация унипотентных групп над характеристикой 0
- 3.1 Замечания
4 Унипотентный радикал
5 Разложение алгебраических групп
- 5.1 Характеристика 0
- 5.2 Характеристика p
6 Разложение Джордана
7 См. Также
8 Ссылки

Определение

Определение с матрицами

Рассмотрим группу $U n {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ верхнетреугольных матриц с $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ по диагонали, поэтому они представляют собой группу матриц

$U n = {A = [1 ∗ ⋯ ∗ ∗ 0 1 ⋯ ∗ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ∗ 0 0 ⋯ 0 1] | det (A) ≠ 0} {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} 1 * \ cdots * * \\ 0 1 \ cdots * * \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ 0 0 \ cdots 1 * \\ 0 0 \ cdots 0 1 \ end {bmatrix}} | \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} 1 * \ cdots * * \\ 0 1 \ cdots * * \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ 0 0 \ cdots 1 * \\ 0 0 \ cdots 0 1 \ end {bmatrix}} | \ det (A) \ neq 0 \ right \}}$

затем, унипотентная группа может быть определена как подгруппа некоторого $U n {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ . Используя теорию схем, группу $U n {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ можно определить как групповую схему

$Spec (C [x 11, x 12,…, xnn, 1 det] (xii = 1, xi>j = 0)) {\ displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [x_ {11}, x_ {12}, \ ldots, x_ {nn}, {\ frac {1} {\ text {det}}} \ right]} {(x_ {ii} = 1, x_ {i>j} = 0)}} \ right)}$ ${\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \left[x_{11},x_{12},\ldots,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j} = 0)}} \ right)$

а аффинная групповая схема унипотентна, если это замкнутая групповая схема этой схемы.

Определение с теорией колец

Элемент x аффинной алгебраической группы является унипотентным, когда связанный с ним оператор правого сдвига r x на кольце аффинных координат A [G] группы G локально унипотентен как элемент кольца линейного эндоморфизма группы A [G]. (Локально унипотентность означает, что его ограничение на любой конечномерный стабильный подпод туз группы A [G] унипотентен в обычном кольцевом смысле.)

Аффинная алгебраическая группа называется унипотентной, если все ее элементы унипотентны. Любая унипотентная алгебраическая группа изоморфна замкнутой подгруппе группы верхнетреугольных матриц с диагональными элементами 1, и, наоборот, любая такая подгруппа унипотентна. В частности, любая унипотентная группа является нильпотентной группой, хотя обратное неверно (контрпример: диагональные матрицы GL n (k)).

Например, стандартное представление $U n {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ на $kn {\ displaystyle k ^ {n} }$ $k ^ {n}$ со стандартной базой $ei {\ displaystyle e_ {i}}$ $e_ {i}$ имеет фиксированный вектор $e 1 {\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ .

Определение с теория представлений

Если унипотентная группа действует на аффинном многообразии, все ее орбиты замкнуты, а если она действует линейно в конечномерном векторном пространстве, то у нее есть ненулевой фиксированный вектор. Фактически последнее свойство характеризует унипотентные группы. В частности, это означает, что нет нетривиальных полупростых представлений.

Примеры

Un
Конечно, группа матриц $U n {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n}}$ односторонен. Используя нижний центральный ряд

$U n = U n (0) ⊃ U n (1) ⊃ U n (2) ⊃ ⋯ ⊃ U n (m) = e {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ mathbb {U} _ {n} ^ {(0)} \ supset \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)} \ supset \ mathbb {U} _ {n} ^ {( 2)} \ supset \ cdots \ supset \ mathbb {U} _ {n} ^ {(m)} = e}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} = \ mathbb {U} _ {n} ^ {(0)} \ supset \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)} \ supset \ mathbb {U} _ {n} ^ {(2)} \ supset \ cdots \ supset \ mathbb {U} _ {n} ^ {( m)} = e}$

где

$U n (1) = [U 1, U 1] {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)} = [\ mathbb {U} _ {1}, \ mathbb {U} _ {1}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)} = [\ mathbb {U} _ {1}, \ mathbb {U} _ { 1}]}$ и $U n (2) = [U 1, U N (1)] {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} ^ {(2)} = [\ mathbb {U} _ {1}, \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {n} ^ {(2)} = [\ mathbb {U} _ {1}, \ mathbb {U} _ {n} ^ {(1)}]}$

есть ассоциированные унипотентные группы. Например, на $n = 4 {\ displaystyle n = 4}$ $n = 4$ центральный ряд - это группы матриц

$U 4 = {[1 ∗ ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗ 0 0 1 ∗ 0 0 0 1]} {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 * * * \\ 0 1 * * \\ 0 0 1 * \\ 0 0 0 1 \ конец {bmatrix}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 * * * \\ 0 1 * * \\ 0 0 1 * \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$ , $U 4 (1) = {[1 0 ∗ ∗ 0 1 0 ∗ 0 0 1 0 0 0 0 1]} {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4 } ^ {(1)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 0 * * \\ 0 1 0 * \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} ^ {(1)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 0 * * \\ 0 1 0 * \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end { bmatrix}} \ right \}}$ , $U 4 (2) = {[1 0 0 ∗ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]} {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} ^ {(2)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix } 1 0 0 * \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} ^ {(2)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 0 0 * \ \ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$ , и $U 4 (3) = {[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]} {\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} ^ {(3)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {U} _ {4} ^ {(3)} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} 1 0 0 0 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 \\ 0 0 0 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$

даны некоторые индуцированные примеры унипотентных групп.

Ga
Аддитивная группа $G a {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$ ${\ mathbb {G}} _ {a}$ представляет собой унипотентную групповую группу посредством вложения

$a ↦ [1 a 0 1] { \ displaystyle a \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 a \\ 0 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle a \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 a \\ 0 1 \ end {bmatrix}}}$

Обратите внимание, что умножение матриц дает

$[1 a 0 1] ⋅ [1 b 0 1] = [1 a + b 0 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 a \\ 0 1 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 b \\ 0 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 a + b \\ 0 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 a \\ 0 1 \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} 1 b \\ 0 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 a + b \\ 0 1 \ end {bmatrix}}}$

, следовательно, это групповое вложение. В более общем смысле существует вложение $G an → U n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a} ^ {n} \ to \ mathbb {U} _ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb { G} _ {a} ^ {n} \ to \ mathbb {U} _ {n + 1}}$ с карты

$(a 1,…, an) ↦ [1 a 1 a 2 ⋯ an - 1 an 0 1 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 0 0 0 0 ⋯ 0 1] {\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n-1} a_ {n} \ \ 0 1 0 \ cdots 0 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ 0 0 0 \ cdots 1 0 \\ 0 0 0 \ cdots 0 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ mapsto {\ begin {bmatrix} 1 a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n-1} a_ {n} \\ 0 1 0 \ cdots 0 0 \\\ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ 0 0 0 \ cdots 1 0 \\ 0 0 0 \ cdots 0 0 1 \ конец {bmatrix}}}$

Используя теорию схем, $G a {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$ ${\ mathbb {G}} _ {a}$ задается функтором

$O: Sch op → Sets {\ displaystyle {\ mathcal {O}}: {\ text { Sch}} ^ {op} \ to {\ text {Sets}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}: {\ text {Sch}} ^ {op} \ to {\ text {Sets}}}$

где

$(X, OX) ↦ OX (X) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X }) \ mapsto {\ mathcal {O}} _ {X} (X)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) \ mapsto {\ mathcal {O}} _ {X} (X)}$

Ядро Фробениуса

Рассмотрим функтор $O {\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ mathcal {O}}$ в подкатегории $Sch / F p {\ displaystyle {\ text {Sch}} / \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ displaystyle {\ text {Sch}} / \ mathbb {F} _ { p}}$ , есть подфунктор $α п {\ Displaystyle \ альфа _ {р} }$ $\ alpha _ {p}$ где

$α p (X) = {x ∈ O (X): xp = 0} {\ displaystyle \ alpha _ {p} (X) = \ {x \ in {\ mathcal {O}} (X): x ^ {p} = 0 \}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {p} (X) = \ {x \ in {\ mathcal {O}} (X): x ^ {p} = 0 \}}$

, поэтому он задается ядром эндоморфизма Фробениуса.

Классификация унипотентных групп над характеристикой 0

По характеристике $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ существует хорошая классификация унипотентных алгебраических групп относительно нильпотентных алгебр Ли. Напомним, что нильпотентная алгебра Ли - это подалгебра некоторой $g l n {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ ${\ mathfrak {gl}} _ {n}$ такой, что повторное сопряженное действие в конечном итоге завершается нулевым отображением. В терминах матриц это означает, что это подалгебра $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ из $nn {\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {n }}$ ${\ displaystyle { \ mathfrak {n}} _ {n}}$ , матрицы с $aij = 0 {\ displaystyle a_ {ij} = 0}$ $a_ {ij} = 0$ для $i ≤ j {\ displaystyle i \ leq j}$ $i \ leq j$ .

Тогда существует эквивалентность категорий конечномерных нильпотентных алгебр Ли и унипотентных алгебраических групп. Его можно построить с помощью ряда Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа $H (X, Y) {\ displaystyle H (X, Y)}$ $ЧАС (X, Y)$ , где задано конечномерное нильпотентная алгебра Ли, отображение

$H: g × g → g, где (X, Y) ↦ H (X, Y) {\ displaystyle H: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} {\ text {where}} (X, Y) \ mapsto H (X, Y)}$ ${\ displaystyle H: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} {\ text {where}} ( X, Y) \ mapsto H (X, Y)}$

дает структуру унипотентной алгебраической группы на $g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ mathfrak {g}}$ .

В другом направлении экспоненциальное отображение переводит любую нильпотентную квадратную матрицу в унипотентную матрицу. Более того, если U - коммутативная унипотентная группа, экспоненциальное отображение индуцирует изоморфизм алгебры Ли группы U в сам U.

Примечания

Унипотентные группы над алгебраически замкнутым полем любого заданного измерения в принципе могут быть классифицированы, но на практике сложность классификации очень быстро увеличивается с увеличением размера, поэтому люди склонны давать где-то около измерения 6.

Унипотентный радикал

унипотентный радикал в алгебраической группе G - это набор унипотентных элементов в радикал группы G. Это связная унипотентная нормальная подгруппа группы G, содержащая все другие такие подгруппы. Группа называется редуктивной, если ее унипотентный радикал тривиален. Если G редуктивна, то ее радикал - тор.

Разложение алгебраических групп

Алгебраические группы можно разложить на унипотентные группы, мультипликативные группы и абелевы многообразия, но утверждение о том, как они разлагаются, зависит от характеристики их базового поля.

Характеристика 0

Над характеристикой $0 {\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ есть хорошая теорема разложения алгебраической группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ , связывающий свою структуру со структурой линейной алгебраической группы и абелевого многообразия. Существует короткая точная последовательность групп

$0 → M × U → G → A → 0 {\ displaystyle 0 \ to M \ times U \ to G \ to A \ to 0}$ ${\ displaystyle 0 \ to M \ times U \ to G \ to A \ to 0}$

где $A {\ displaystyle A}$ $A$ - абелева разновидность, $M {\ displaystyle M}$ $M$ имеет мультипликативный тип, то есть $U {\ displaystyle U}$ $U$ - унипотентная группа.

Характеристика p

Когда характеристика основного поля равна $p {\ displaystyle p}$ $p$ , имеется аналогичное утверждение для алгебраической группы $G {\ displaystyle G}$ $G$ : существует наименьшая подгруппа $H {\ displaystyle H}$ $H$ такая, что

$G / H {\ displaystyle G / H}$ $G / H$ - унипотентная группа.
$H {\ displaystyle H}$ $H$ - расширение абелевой разновидности $A {\ displaystyle A}$ $A$ группой $M {\ displaystyle M}$ $M$ мультипликативного типа.
$M {\ displaystyle M}$ $M$ уникален до Соизмеримость в $G {\ displaystyle G }$ $G$ и $A {\ displaystyle A}$ $A$ уникально до Isogeny.

разложения Жордана

Любой элемент g линейной алгебраической группы над совершенным полем может быть записано однозначно как произведение g = g ugsкоммутирующих унипотентных и полупростых элементов g u и g s. В случае группы GL n(C) это по существу означает, что любая обратимая комплексная матрица сопряжена с произведением диагональной матрицы и верхнетреугольной матрицы, что является (более или менее) мультипликативной версией матрицы Разложение Жордана – Шевалле.

Существует также вариант разложения Жордана для групп: любая коммутативная линейная алгебраическая группа над совершенным полем является произведением унипотентной группы и полупростой группы.

См. Также

Ссылки

A. Борель, Линейные алгебраические группы, ISBN 0-387-97370-2
Borel, Armand (1956), «Groupes linéaires algébriques», Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 64 (1): 20–82, doi : 10.2307 / 1969949, JSTOR 1969949
Попов, В.Л. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Попов, В.Л. (2001) [ 1994], Математическая энциклопедия, EMS Press
Супруненко Д.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press