Константы Стилтьеса

Область синей области сходится к постоянной Эйлера – Маскерони, которая является нулевой постоянной Стилтьеса.

В математике, эти константы Стилтьеса являются числами, которые происходят в серии Laurent разложения дзета - функции Римана : ${\ displaystyle \ gamma _ {k}}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n !}} \ gamma _ {n} (s-1) ^ {n}.}$

Постоянная известна как постоянная Эйлера – Маскерони. ${\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma = 0,577 \ точки}$

• 1 Представления
• 2 Границы и асимптотический рост
• 3 Числовые значения
• 4 Обобщенные константы Стилтьеса
  • 4.1 Общая информация
  • 4.2 Первая обобщенная постоянная Стилтьеса
  • 4.3 Вторая обобщенная постоянная Стилтьеса
• 5 ссылки

Константы Стилтьеса задаются пределом

${\ displaystyle \ gamma _ {n} = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(\ ln k) ^ {n}} {k}} - \ int _ {1} ^ {m} {\ frac {(\ ln x) ^ {n}} {x}} \, dx \ right \} = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty } {\ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(\ ln k) ^ {n}} {k}} - {\ frac {(\ ln m) ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right \}}.}$

(В случае n = 0 первое слагаемое требует вычисления 0 ⁰, которое принимается равным 1.)

Формула дифференцирования Коши приводит к интегральному представлению

${\ displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- nix} \ zeta \ left (e ^ {ix} +1 \ right) dx.}$

Различные представления в терминах интегралов и бесконечных рядов даны в работах Дженсена, Франеля, Эрмита, Харди, Рамануджана, Эйнсворта, Хауэлла, Коппо, Коннона, Коффи, Чоя, Благушина и некоторых других авторов. В частности, интегральная формула Дженсена-Франеля, которую часто ошибочно приписывают Эйнсворт и Хауэллу, утверждает, что

${\ displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {n, 0} + {\ frac {1} {i}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} -1}} \ left \ {{\ frac {(\ ln (1-ix)) ^ {n}} {1-ix}} - {\ гидроразрыв {(\ ln (1 + ix)) ^ {n}} {1 + ix}} \ right \} \,, \ qquad \ quad n = 0,1,2, \ ldots}$

где δ n, k - символ Кронекера (символ Кронекера). Среди других формул находим

${\ displaystyle \ gamma _ {n} = - {\ frac {\ pi} {2 (n + 1)}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (\ ln \ left ({\ frac {1} {2}} \ pm ix \ right) \ right) ^ {n + 1}} {\ cosh ^ {2} \ pi x}} \, dx \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad n = 0,1,2, \ ldots}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ gamma _ {1} = - \ left [\ gamma - {\ frac {\ ln 2} {2}} \ right] \ ln 2 + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {\ pi x} +1}} \ left \ {{\ frac {\ ln (1-ix)} {1-ix}} - {\ frac {\ ln (1 + ix)} {1 + ix}} \ right \} \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} = - \ gamma ^ {2} - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {1-e ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x}} \ right] e ^ {- x} \ ln x \, dx \ end {массив}}}$

видеть.

Что касается представлений серий, то знаменитый ряд, подразумевающий целую часть логарифма, был дан Харди в 1912 году.

${\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ ln 2} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k }} \ lfloor \ log _ {2} {k} \ rfloor \ cdot \ left (2 \ log _ {2} {k} - \ lfloor \ log _ {2} {2k} \ rfloor \ right)}$

Исраилов дал полусходящиеся ряды по числам Бернулли. ${\ displaystyle B_ {2k}}$

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(\ ln k) ^ {m}} {k}} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m + 1}} {m + 1}} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m}} {2n}} - \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} \ Left [{\ frac {(\ ln x) ^ {m}} {x}} \ right] _ {x = n} ^ {(2k-1) } - \ theta \ cdot {\ frac {B_ {2N}} {(2N)!}} \ left [{\ frac {(\ ln x) ^ {m}} {x}} \ right] _ {x = n} ^ {(2N-1)} \,, \ qquad 0 lt;\ theta lt;1}$

Коннон, Благушин и Коппо дали несколько рядов с биномиальными коэффициентами

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} (\ ln (k + 1)) ^ { m + 1} \\ [7 мм] \ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + 2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {м + 1}} {к + 1}} \\ [7 мм] \ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n + 1} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} (\ ln (k + 2)) ^ {m +1} \\ [7 мм] \ displaystyle \ gamma _ {m} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | G_ {n + 1} \ right | \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} \ end {массив }}}$

где G n - коэффициенты Грегори, также известные как обратные логарифмические числа ( G 1 = + 1/2, G 2 = -1/12, G 3 = + 1/24, G 4 = -19 / 720,...). Эти примеры включают более общие серии того же характера.

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {(\ ln (1 + a)) ^ {m + 1}} {m + 1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } (- 1) ^ {n} \ psi _ {n + 1} (a) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}}, \ quad \ Re (a)gt; - 1}$

а также

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {r (m + 1)}} \ sum _ {l = 0} ^ {r-1} (\ ln (1 + a + l)) ^ {m + 1} + {\ frac {1} {r}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} N_ {n + 1, r} (а) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k +1}}, \ quad \ Re (a)gt; - 1, \; r = 1,2,3, \ ldots}$

или

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {{\ tfrac {1} {2}} + a}} \ left \ {{\ frac {(-1) ^ {m}} { m + 1}} \, \ zeta ^ {(m + 1)} (0,1 + a) - (- 1) ^ {m} \ zeta ^ {(m)} (0) - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} \ psi _ {n + 2} (a) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} \ right \}, \ quad \ Re (a)gt; - 1}$

где ψ n ( a) - многочлены Бернулли второго рода, а N n, r ( a) - многочлены, заданные производящим уравнением

${\ displaystyle {\ frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} {\ ln (1 + z)}} = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, \ qquad | z | lt;1,}$

соответственно (заметим, что N n, 1 ( a) = ψ n ( a)). Олоа и Таурасо показали, что ряды с номерами гармоник могут приводить к константам Стилтьеса.

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {H_ {n} - (\ gamma + \ ln n)} {n}} = - \ gamma _ {1} - {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {2} + {\ frac {1} {12}} \ pi ^ {2} \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {H_ {n} ^ {2} - (\ gamma + \ ln n) ^ {2}} {n}} = - \ gamma _ {2} - 2 \ gamma \ gamma _ {1} - {\ frac {2} {3}} \ gamma ^ {3} + {\ frac {5} {3}} \ zeta (3) \ end {array}}}$

Благушин получил медленно сходящиеся ряды по беззнаковым числам Стирлинга первого рода. ${\ displaystyle \ left [{\ cdot \ на \ cdot} \ right]}$

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {m, 0} + {\ frac {(-1) ^ {m} m!} {\ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ cdot n!}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} {\ frac {(- 1) ^ {k} \ cdot \ left [{2k + 2 \ atop m + 1} \ right] \ cdot \ left [{n \ atop 2k + 1} \ right]} {(2 \ pi) ^ {2k +1}}} \,, \ qquad m = 0,1,2,...,}$

а также полусходящиеся ряды только с рациональными членами

${\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {m, 0} + (- 1) ^ {m} m! \ cdot \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {\ left [{2k \ atop m + 1} \ right] \ cdot B_ {2k}} {(2k)!}} + \ Theta \ cdot {\ frac {(-1) ^ { m} m! \ cdot \ left [{2N + 2 \ atop m + 1} \ right] \ cdot B_ {2N + 2}} {(2N + 2)!}}, \ qquad 0 lt;\ theta lt;1, }$

где m = 0,1,2,... В частности, ряд для первой постоянной Стилтьеса имеет удивительно простой вид

${\ displaystyle \ gamma _ {1} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {B_ {2k} \ cdot H_ {2k-1}} {k}} + \ theta \ cdot {\ frac {B_ {2N + 2} \ cdot H_ {2N + 1}} {2N + 2}}, \ qquad 0 lt;\ theta lt;1,}$

где H n - номер n- й гармоники. Более сложные ряды для констант Стилтьеса приведены в работах Лемера, Ляна, Тодда, Лаврика, Исраилова, Станкуса, Кейпера, Нан-Ю, Вильямса, Коффи.

Константы Стилтьеса удовлетворяют оценке

${\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {2 (n-1)!} {\ pi ^ {n}}} \,, \ qquad amp; n = 1, 3,5, \ ldots \\ [3 мм] \ displaystyle {\ frac {4 (n-1)!} {\ Pi ^ {n}}} \,, \ qquad amp; n = 2,4,6, \ ldots \ end {case}}}$

данные Берндтом в 1972 г. Более точные оценки в терминах элементарных функций были получены Лавриком

${\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ frac {n!} {2 ^ {n + 1}}}, \ qquad n = 1,2,3, \ ldots}$

по Исраилову

${\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ frac {n! C (k)} {(2k) ^ {n}}}, \ qquad n = 1,2,3, \ ldots}$

с k = 1,2,... и C (1) = 1/2, C (2) = 7/12,..., Нан-Ю и Уильямс

${\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ begin {case} \ displaystyle {\ frac {2 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 \ pi) ^ {n}}} \,, \ qquad amp; n = 1,3,5, \ ldots \\ [4 мм] \ displaystyle {\ frac {4 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 \ pi) ^ {n}} } \,, \ qquad amp; n = 2,4,6, \ ldots \ end {case}}}$

по Blagouchine

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle - {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}} lt;\ gamma _ { m} lt;{\ frac {(3m + 8) \ cdot {\ big |} {B} _ {m + 3} {\ big |}} {24}} - {\ frac {{\ big |} {B } _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}}, amp; m = 1,5,9, \ ldots \\ [12pt] \ displaystyle {\ frac {{\ big |} B_ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}} - {\ frac {(3m + 8) \ cdot {\ big |} B_ {m + 3} {\ big |}} {24}} lt;\ gamma _ {m} lt;{\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}}, amp; m = 3,7,11, \ ldots \\ [12pt ] \ displaystyle - {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}} lt;\ gamma _ {m} lt;{\ frac {(m + 3) ( m + 4) \ cdot {\ big |} {B} _ {m + 4} {\ big |}} {48}} - {\ frac {{\ big |} B_ {m + 2} {\ big | }} {2}}, \ qquad amp; m = 2,6,10, \ ldots \\ [12pt] \ displaystyle {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}} - {\ frac {(m + 3) (m + 4) \ cdot {\ big |} {B} _ {m + 4} {\ big |}} {48}} lt;\ gamma _ { m} lt;{\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}}, amp; m = 4,8,12, \ ldots \\\ end {array}} }$

где B n - числа Бернулли, а по Мацуока

${\ displaystyle | \ gamma _ {n} | lt;10 ^ {- 4} e ^ {n \ ln \ ln n} \,, \ qquad n = 5,6,7, \ ldots}$

Что касается оценок с использованием неэлементарных функций и решений, то Кнессл, Коффи и Феких-Ахмед получили довольно точные результаты. Например, Кнессл и Коффи приводят следующую формулу, которая относительно хорошо аппроксимирует константы Стилтьеса для больших n. Если v - единственное решение

${\ Displaystyle 2 \ пи \ ехр (v \ загар v) = п {\ гидроразрыва {\ соз (v)} {v}}}$

с, а если, то ${\ displaystyle 0 lt;v lt;\ pi / 2}$${\ displaystyle u = v \ tan v}$

${\ displaystyle \ gamma _ {n} \ sim {\ frac {B} {\ sqrt {n}}} e ^ {nA} \ cos (an + b)}$

куда

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ ln (u ^ {2} + v ^ {2}) - {\ frac {u} {u ^ {2} + v ^ {2}} }}$

${\ displaystyle B = {\ frac {2 {\ sqrt {2 \ pi}} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}} {[(u + 1) ^ {2} + v ^ {2}] ^ {1/4}}}}$

${\ displaystyle a = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {v} {u}} \ right) + {\ frac {v} {u ^ {2} + v ^ {2}}}}$

${\ displaystyle b = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {v} {u}} \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {v} {u +1}} \ right).}$

До n = 100000 приближение Кнессла-Коффи правильно предсказывает знак γ n за единственным исключением n = 137.

Первые несколько значений:

п	приблизительное значение γ n	OEIS
0	+0,5772156649015328606065120900824024310421593359	A001620
1	-0,0728158454836767248605863758749013191377363383	A082633
2	-0,0096903631928723184845303860352125293590658061	A086279
3	+0,0020538344203033458661600465427533842857158044	A086280
4	+0.0023253700654673000574681701775260680009044694	A086281
5	+0.0007933238173010627017533348774444448307315394	A086282
6	-0,0002387693454301996098724218419080042777837151	A183141
7	-0,0005272895670577510460740975054788582819962534	A183167
8	-0,0003521233538030395096020521650012087417291805	A183206
9	-0,0000343947744180880481779146237982273906207895	A184853
10	+0.0002053328149090647946837222892370653029598537	A184854
100	−4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 10 17
1000	-1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10 486
10000	−2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 10 6883
100000	+1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 10 83432

При больших n константы Стилтьеса быстро растут по абсолютной величине и меняют знаки сложным образом.

Дополнительную информацию, относящуюся к числовому вычислению констант Стилтьеса, можно найти в работах Кейпера, Кременского, Плуффа, Йоханссона и Благушина. Во-первых, Йоханссон предоставил значения констант Стилтьеса до n = 100000, каждая с точностью более 10 000 цифр (числовые значения можно получить из LMFDB [1]. Позже Йоханссон и Благушин разработали особенно эффективный алгоритм для вычисления обобщенных констант Стилтьеса. (см. ниже) для больших n и комплексных a, которые также могут использоваться для обычных констант Стилтьеса. В частности, это позволяет вычислять γ n до 1000 цифр в минуту для любого n до n = 10 ¹⁰⁰.

Общая информация

В более общем плане можно определить константы Стилтьеса γ n (a), которые встречаются в разложении в ряд Лорана дзета-функции Гурвица :

${\ displaystyle \ zeta (s, a) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \ gamma _ {n} (a) (s-1) ^ {n}.}$

Здесь a - комплексное число с Re ( a)gt; 0. Поскольку дзета-функция Гурвица является обобщением дзета-функции Римана, имеем γ n (1) = γ n. Нулевая константа - это просто дигамма-функция γ 0 (a) = - Ψ (a), в то время как другие константы не являются известно, что его можно свести к любой элементарной или классической функции анализа. Тем не менее, для них существует множество представительств. Например, существует следующее асимптотическое представление

${\ displaystyle \ gamma _ {n} (a) = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left \ {\ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {(\ ln (k + a)) ^ {n}} {k + a}} - {\ frac {(\ ln (m + a)) ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right \}, \ qquad {\ begin {array} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1mm] a \ neq 0, -1, -2, \ ldots \ end {array}}}$

благодаря Берндту и Уилтону. Аналогом формулы Йенсена-Франеля для обобщенной постоянной Стилтьеса является формула Эрмита

${\ displaystyle \ gamma _ {n} (a) = \ left [{\ frac {1} {2a}} - {\ frac {\ ln {a}} {n + 1}} \ right] (\ ln a) ^ {n} -i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} -1}} \ left \ {{\ frac {(\ ln (a -ix)) ^ {n}} {a-ix}} - {\ frac {(\ ln (a + ix)) ^ {n}} {a + ix}} \ right \}, \ qquad {\ begin {массив} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1 мм] \ Re (a)gt; 0 \ end {array}}}$

Подобные представления даются следующими формулами:

${\ displaystyle \ gamma _ {n} (а) = - {\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}}) {\ big)} ^ {n + 1} } {n + 1}} + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} +1}} \ left \ {{\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} - ix) {\ big)} ^ {n}} {a - {\ frac {1} {2}} - ix}} - {\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} + ix) {\ big)} ^ {n}} {a - {\ frac {1} {2}} + ix }} \ right \}, \ qquad {\ begin {array} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1mm] \ Re (a)gt; {\ frac {1} {2}} \ конец {массив}}}$

а также

${\ displaystyle \ gamma _ {n} (a) = - {\ frac {\ pi} {2 (n + 1)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big (}} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} - ix) {\ big)} ^ {n + 1} + {\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}}) + ix) {\ big)} ^ {n + 1}} {{\ big (} \ cosh (\ pi x) {\ big)} ^ {2}}} \, dx, \ qquad {\ begin {array } {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1 мм] \ Re (a)gt; {\ frac {1} {2}} \ end {array}}}$

Обобщенные константы Стилтьеса удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению

${\ displaystyle \ gamma _ {n} (a + 1) = \ gamma _ {n} (a) - {\ frac {(\ ln a) ^ {n}} {a}} \,, \ qquad {\ begin {array} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1mm] a \ neq 0, -1, -2, \ ldots \ end {array}}}$

а также теорему умножения

${\ displaystyle \ sum _ {l = 0} ^ {n-1} \ gamma _ {p} \ left (a + {\ frac {l} {n}} \ right) = (- 1) ^ {p} n \ left [{\ frac {\ ln n} {p + 1}} - \ Psi (an) \ right] (\ ln n) ^ {p} + n \ sum _ {r = 0} ^ {p-1 } (- 1) ^ {r} {\ binom {p} {r}} \ gamma _ {pr} (an) \ cdot (\ ln n) ^ {r} \,, \ qquad \ qquad n = 2, 3,4, \ ldots}$

где обозначает биномиальный коэффициент (см., стр. 101–102). ${\ displaystyle {\ binom {p} {r}}}$

Первая обобщенная постоянная Стилтьеса

Первая обобщенная постоянная Стилтьеса обладает рядом замечательных свойств.

• Тождество Мальмстена (формула отражения для первых обобщенных констант Стилтьеса): формула отражения для первой обобщенной постоянной Стилтьеса имеет следующий вид

${\ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {m} {n}} {\ biggr)} - \ gamma _ {1} {\ biggl (} 1 - {\ frac {m} { n}} {\ biggr)} = 2 \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {2 \ pi ml} {n}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {n}} {\ biggr)} - \ pi (\ gamma + \ ln 2 \ pi n) \ cot {\ frac {m \ pi} {n}}}$

где m и n - натуральные числа такие, что m lt; n. Эту формулу долгое время приписывали Альмквисту и Меурману, выведшим ее в 1990-х годах. Однако недавно сообщалось, что эта идентичность, хотя и в несколько иной форме, была впервые получена Карлом Мальмстеном в 1846 году.

• Теорема о рациональных аргументах: первая обобщенная константа Стилтьеса при рациональном аргументе может быть вычислена в квазизамкнутой форме по следующей формуле

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = amp; \ displaystyle \ gamma _ {1} + \ gamma ^ {2} + \ gamma \ ln 2 \ pi m + \ ln 2 \ pi \ cdot \ ln {m} + {\ frac {1} {2}} (\ ln m) ^ {2} + ( \ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ cdot \ Psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \\ [5 мм] \ displaystyle amp; \ displaystyle \ qquad + \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {m}} {\ biggr)} + \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m}) } \ right) \ end {array}} \,, \ qquad \ quad r = 1,2,3, \ ldots, m-1 \,.}$

см. Благушин. Альтернативное доказательство было позже предложено Коффи и несколькими другими авторами.

• Конечное суммирование: существует множество формул суммирования для первых обобщенных констант Стилтьеса. Например,

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {m-1} \ gamma _ {1} \ left (a + {\ frac {r} {m}} \ right) = m \ ln {m} \ cdot \ Psi (am) - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} + m \ gamma _ {1} (am) \,, \ qquad a \ in \ mathbb {C} \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {r} {m}} \ справа) = (m-1) \ gamma _ {1} -m \ gamma \ ln {m} - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {2m-1} (- 1) ^ {r} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {2m}} {\ biggr)} = - \ гамма _ {1} + м (2 \ гамма + \ пер 2 + 2 \ пер м) \ пер 2 \\ [6 мм] \ Displaystyle \ сумма _ {г = 0} ^ {2 м-1} (- 1) ^ {r} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {2r + 1} {4m}} {\ biggr)} = m \ left \ {4 \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} - \ pi {\ big (} 4 \ ln 2 + 3 \ ln \ pi + \ ln m + \ gamma {\ big)} \ right \} \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} \ cdot \ cos { \ dfrac {2 \ pi rk} {m}} = - \ gamma _ {1} + m (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ ln \ left (2 \ sin {\ frac {k \ pi} { m}} \ right) + {\ frac {m} {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {k} {m}} \ right) + \ zeta '' \ left (0,1 - {\ frac {k} {m}} \ right) \ right \} \,, \ qquad k = 1,2, \ ld ots, m-1 \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} \ cdot \ sin {\ dfrac {2 \ pi rk} {m}} = {\ frac {\ pi} {2}} (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) (2k-m) - {\ гидроразрыв {\ pi m} {2}} \ left \ {\ ln \ pi - \ ln \ sin {\ frac {k \ pi} {m}} \ right \} + m \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ гидроразрыва {к} {m}} {\ biggr)} \,, \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1 \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {м-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} \ cdot \ cot {\ frac {\ pi r} {m}} = \ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}} {\ Big \ {} (1-m) (m-2) \ gamma +2 (m ^ {2} -1) \ ln 2 \ pi - (m ^ { 2} +2) \ ln {m} {\ Big \}} - 2 \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} l \ cdot \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {l} {m}} \ right) \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {r} {m}} \ cdot \ gamma _ {1} {\ biggl ( } {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = {\ frac {1} {2}} \ left \ {(m-1) \ gamma _ {1} -m \ gamma \ ln {m } - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} \ right \} - {\ frac {\ pi} {2m}} (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} l \ cdot \ cot {\ frac {\ pi l} {m}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cot {\ frac {\ pi l} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {m}} {\ biggr)} \ end {array} }}$

Подробнее и дальнейшие формулы суммирования см.

• Некоторые частные значения: некоторые частные значения первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах могут быть сведены к гамма-функции, первой постоянной Стилтьеса и элементарным функциям. Например,

${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = - 2 \ gamma \ ln 2 - (\ ln 2) ^ {2} + \ gamma _ {1} = -1,353459680 \ ldots}$

В точках 1/4, 3/4 и 1/3 значения первых обобщенных констант Стилтьеса были независимо получены Конноном и Благушиным.

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) = 2 \ pi \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) - {\ frac {3 \ pi} {2}} \ ln \ pi - {\ frac {7} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ gamma +2 \ pi) \ ln 2 - {\ frac {\ gamma \ pi} {2}} + \ gamma _ {1} = - 5.518076350 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) = - 2 \ pi \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) + {\ frac {3 \ pi} { 2}} \ ln \ pi - {\ frac {7} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ gamma -2 \ pi) \ ln 2 + {\ frac {\ gamma \ pi} {2}} + \ gamma _ {1} = - 0,3912989024 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} + {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {3}}} } \ left \ {\ ln 3-8 \ ln 2 \ pi -2 \ gamma +12 \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ right \} + \ gamma _ { 1} = - 3.259557515 \ ldots \ end {array}}}$

В точках 2/3, 1/6 и 5/6

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} - {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {\ ln 3- 8 \ ln 2 \ pi -2 \ gamma +12 \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ right \} + \ gamma _ {1} = - 0,5989062842 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3 } {4}} (\ ln 3) ^ {2} - (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ ln 3 + 2 \ gamma) \ ln 2 + {\ frac {3 \ pi {\ sqrt { 3}}} {2}} \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) \\ [5 мм] \ displaystyle \ qquad \ qquad \ quad - {\ frac {\ pi} { 2 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {3 \ ln 3 + 11 \ ln 2 + {\ frac {15} {2}} \ ln \ pi +3 \ gamma \ right \} + \ gamma _ {1} = - 10.74258252 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2} } \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} - (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ ln 3 + 2 \ gamma) \ ln 2- { \ frac {3 \ pi {\ sqrt {3}}} {2}} \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) \\ [6 мм] \ displaystyle \ qquad \ qquad \ quad + {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {3 \ ln 3 + 11 \ ln 2 + {\ frac {15} {2}} \ ln \ pi +3 \гамма \ right \} + \ gamma _ {1} = - 0,2461690038 \ ldots \ end {array}}}$

Эти значения были рассчитаны Благушиным. Этому автору также причитаются

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {5}} {\ biggr)} = amp; \ displaystyle \ gamma _ {1} + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {5}} \ right) + \ zeta '' \ left (0, {\ frac {4} {5}} \ right) \ right \} + {\ frac {\ pi {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}}} {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {5}} {\ biggr)} \\ [5 мм] amp; \ displaystyle + {\ frac {\ pi {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}} }} {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {2} {5}} {\ biggr)} + ​​\ left \ {{\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln {2} - {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {5}} {\ big)} - {\ frac {5} {4} } \ ln 5 - {\ frac {\ pi {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}} {10}} \ right \} \ cdot \ gamma \\ [5 мм] amp; \ displaystyle - { \ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ left \ {\ ln 2+ \ ln 5+ \ ln \ pi + {\ frac {\ pi {\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}}) }}} {10}} \ right \} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {5}}) + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} (\ ln 2) ^ {2} + {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ big (} 1 - {\ sqrt {5}} {\ big)}} {8}} (\ ln 5) ^ {2} \ \ [5 мм] amp; \ displaystyle + {\ frac {3 {\ sqrt {5}}} {4}} \ ln 2 \ cdot \ ln 5 + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi + {\ frac {\ sqrt {5}} {4}} \ ln 5 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 2 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} + 5 {\ sqrt {25 + 2 {\ sqrt {5}}) }} {\ big)}} {20}} \ ln 2 \\ [5 мм] amp; \ displaystyle - {\ frac {\ pi {\ big (} 4 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}) }} - 5 {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} {\ big)}} {40}} \ ln 5 - {\ frac {\ pi {\ big (} 5 {\ sqrt { 5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} {\ big)}} {10}} \ ln \ pi \\ [5 мм] amp; \ displaystyle = -8.030205511 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {8}} {\ biggr)} = amp; \ displaystyle \ gamma _ {1} + {\ sqrt {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {8}} \ right) + \ zeta '' \ left (0, {\ frac {7} { 8}} \ right) \ right \} + 2 \ pi {\ sqrt {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {8}} {\ biggr)} - \ pi {\ sqrt {2}} {\ big (} 1 - {\ sqrt {2}} {\ big)} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} \\ [5 мм] amp; \ displaystyle - \ left \ {{\ frac {1 + {\ sqrt {2}}} {2}} \ pi +4 \ ln {2} + {\ sqrt {2}} \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {2}} {\ big)} \ right \} \ cdot \ gamma - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} \ pi +8 \ ln 2 + 2 \ ln \ pi {\ big)} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {2}}) \\ [5 мм] amp; \ displaystyle - {\ frac {7 {\ big ( } 4 - {\ sqrt {2}} {\ big)}} {4}} ( \ ln 2) ^ {2} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 10 + 11 {\ sqrt {2}} {\ big)}} {4}} \ ln 2 - {\ frac {\ pi {\ big (} 3 + 2 {\ sqrt {2}} {\ big)}} {2}} \ пер \ пи \\ [5 мм] amp; \ displaystyle = -16.64171976 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {12}} {\ biggr)} = amp; \ displaystyle \ gamma _ {1} + {\ sqrt {3}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {12}} \ right) + \ zeta '' \ left (0, {\ frac {11} {12}} \ right) \ right \} + 4 \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} + ​​3 \ pi {\ sqrt {3}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {3}} {\ biggr)} \\ [5 мм] amp; \ displaystyle - \ left \ {{\ frac { 2 + {\ sqrt {3}}} {2}} \ pi + {\ frac {3} {2}} \ ln 3 - {\ sqrt {3}} (1 - {\ sqrt {3}}) \ ln {2} +2 {\ sqrt {3}} \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {3}} {\ big)} \ right \} \ cdot \ gamma \\ [5 мм] amp; \ displaystyle -2 {\ sqrt {3}} {\ big (} 3 \ ln 2+ \ ln 3+ \ ln \ pi {\ big)} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {3}}) - {\ frac {7-6 {\ sqrt {3}}} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} \\ [5 мм] amp; \ displaystyle + {\ frac {3 {\ sqrt {3}} (1 - {\ sqrt {3}})} {2}} \ ln 3 \ cdot \ ln 2 + {\ sqrt { 3}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 17 +8 {\ sqrt {3}} {\ big)}} {2 {\ sqrt {3}}}} \ ln 2 \\ [5 мм] amp; \ displaystyle + {\ frac {\ pi {\ big (} 1 - {\ sqrt {3}} {\ big)} {\ sqrt {3}}} {4}} \ ln 3- \ pi {\ sqrt {3}} (2 + {\ sqrt {3}}) \ ln \ pi = -29.84287823 \ ldots \ end {array}}}$

Вторая обобщенная постоянная Стилтьеса

Вторая обобщенная постоянная Стилтьеса изучена гораздо меньше, чем первая постоянная. Подобно первой обобщенной константе Стилтьеса, вторая обобщенная константа Стилтьеса при рациональном аргументе может быть вычислена по следующей формуле

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} \ displaystyle \ gamma _ {2} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = \ gamma _ {2} + {\ frac {2} {3}} \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' '\ left (0, { \ frac {l} {m}} \ right) -2 (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m}} \ right) \\ [6 мм] \ displaystyle \ quad + \ pi \ sum _ {l = 1} ^ { m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m}} \ right) -2 \ pi (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ гидроразрыв {l} {m}} {\ biggr)} - 2 \ gamma _ {1} \ ln {m} \\ [6 мм] \ displaystyle \ quad - \ gamma ^ {3} - \ left [(\ gamma + \ ln 2 \ pi m) ^ {2} - {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} \ right] \ cdot \ Psi {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} { \ biggr)} + ​​{\ frac {\ pi ^ {3}} {12}} \ cot {\ frac {\ pi r} {m}} - \ gamma ^ {2} \ ln {\ big (} 4 \ pi ^ {2} m ^ {3} {\ big)} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} (\ gamma + \ ln {m}) \\ [6 мм] \ displaystyle \ quad - \ gamma {\ big (} (\ ln 2 \ pi) ^ {2} +4 \ ln m \ cdot \ ln 2 \ pi +2 (\ ln m) ^ {2} {\ big)} - \ left \ {(\ ln 2 \ pi) ^ {2} +2 \ ln 2 \ pi \ cdot \ ln m + {\ frac { 2} {3}} (\ ln m) ^ {2} \ right \} \ ln m \ end {array}} \,, \ qquad \ quad r = 1,2,3, \ ldots, m-1. }$

см. Благушин. Аналогичный результат был позже получен Коффи другим методом.