Schrödinger метод

В комбинаторной математике и теории вероятностей используется метод Шредингера, названный в честь австрийского физика Эрвина Шредингера, используется для решения некоторых задач.

Предположим,

$X\; 1,\dots ,\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; X\_\; \{n\}\; \backslash ,\}$

- независимые случайные величины, равномерно распределенные на интервале [0, 1]. Пусть

$X\; (1),\dots ,\; X\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{(1)\},\; \backslash \; dots,\; X\; \_\; \{(n)\}\; \backslash ,\}$

быть соответствующей статистикой заказа , т.е. результат сортировки этих n случайных величин в порядке возрастания. Мы ищем вероятность некоторого события A, определенного в терминах статистики этого порядка. Например, мы могли бы искать вероятность того, что в течение определенного семидневного периода было не более двух дней, в течение которых был получен только один телефонный звонок, учитывая, что количество телефонных звонков за это время было 20. Это предполагает равномерное распределение прибытия. раз.

Метод Шредингера начинается с присвоения распределения Пуассона с ожидаемым значением λt количеству наблюдений в интервале [0, t], количеству наблюдений в независимость неперекрывающихся подынтервалов (см. Пуассоновский процесс ). Число наблюдений N распределено по Пуассону с математическим ожиданием λ. Тогда мы полагаемся на тот факт, что условная вероятность

$P\; (A\; \mid \; N\; =\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; mid\; N\; =\; n)\; \backslash ,\}$

не зависит от λ (в язык статистиков, N является достаточной статистикой для этого параметризованного семейства распределений вероятностей для статистики порядка). Действуем следующим образом:

$P\; \lambda \; (A)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; P\; (A\; \mid \; N\; =\; n)\; P\; (N\; =\; n)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; P\; (A\; \mid \; N\; =\; n)\; \lambda \; ne\; -\; \lambda \; п!,\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; P\; (A\; \backslash \; mid\; N\; =\; n)\; P\; (N\; =\; n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; P\; (A\; \backslash \; mid\; N\; =\; n)\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; over\; n!\},\}$

так, чтобы

$e\; \lambda \; P\; \lambda \; (A)\; Знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; P\; (A\; \mid \; N\; =\; N)\; \lambda \; NN!.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; P\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; P\; (A\; \backslash \; mid\; N\; =\; n)\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; n!\}.\}$

Теперь отсутствие зависимости P (A | N = n) от λ влечет за собой, что последняя сумма, показанная выше, является степенным рядом по λ и P (A | N = n) - значение его n-й производной при λ = 0, т. е.

$P\; (A\; \mid \; N\; =\; n)\; =\; [dnd\; \lambda \; n\; (e\; \lambda \; P\; \lambda \; (A))]\; \lambda \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; mid\; N\; =\; n)\; =\; \backslash \; left\; [\{d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; lambda\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; P\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; (A)\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \_\; \{\backslash \; lambda\; =\; 0\}.\}$

Чтобы этот метод был полезен при нахождении P (A | N = n), должна быть возможность найти P λ (A) более прямо, чем P (A | N = n). Что делает это возможным, так это независимость количества поступлений на неперекрывающихся подинтервалах.