Сжатие импульсов

Сжатие импульсов - это метод обработки сигналов, обычно используемый радаром, сонар и эхография для увеличения диапазона разрешения, а также отношения сигнал / шум. Это достигается посредством модуляции переданного импульса, а затем корреляции принятого сигнала с переданным импульсом.

• 1 Простой импульс
  • 1.1 Описание сигнала
  • 1.2 Разрешение по дальности
  • 1.3 Энергия, необходимая для передачи этого сигнала
• 2 Сжатие импульсов с помощью линейной частотной модуляции (или чирпирования)
  • 2.1 Основные принципы
  • 2.2 Взаимная корреляция между переданным и принятым сигналами
  • 2.3 Улучшение отношения сигнал / шум за счет сжатия импульсов
  • 2.4 Обработка растяжения
  • 2.5 Форма волны со ступенчатым изменением частоты
• 3 Сжатие импульсов путем фазового кодирования
• 4 Примечания
• 5 Дополнительная литература
• 6 См. Также

Описание сигнала

Простейший сигнал, который может передать импульсный радар, - это импульс синусоидальной амплитуды, $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и несущая частота, $f\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\}\}$, усеченная прямоугольной функцией ширины, $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\; \}$. Импульс передается периодически, но это не основная тема данной статьи; мы будем рассматривать только один импульс, $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$. Если мы предположим, что импульс начинается в момент времени $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\}$, сигнал можно записать следующим образом, используя комплекс обозначение:

Разрешающая способность по дальности

Определим разрешающую способность по дальности, которая может быть получена с таким сигналом. Ответный сигнал, записанный $r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; r\; (t)\}$, представляет собой ослабленную и сдвинутую во времени копию исходного переданного сигнала (в действительности Доплеровский Эффект тоже может играть роль, но здесь это не важно.) Во входящем сигнале также присутствует шум, как в воображаемом, так и в реальном канале, который мы будем считать белым и Гауссовский (это обычно верно); мы пишем $B\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; B\; (t)\}$, чтобы обозначить этот шум. Для обнаружения входящего сигнала обычно используется согласованная фильтрация. Этот метод является оптимальным, когда известный сигнал должен быть обнаружен среди аддитивного белого гауссовского шума.

Другими словами, вычисляется взаимная корреляция принятого сигнала с переданным сигналом. Это достигается посредством свертки входящего сигнала с сопряженной и обращенной во времени версией переданного сигнала. Эта операция может быть выполнена программно или аппаратно. Мы пишем для этой взаимной корреляции. У нас есть:

$⟨s,\; r⟩\; (t)\; =\; \int \; t\; \prime \; =\; 0\; +\; \infty \; s\; \star \; (t\; \prime )\; р\; (t\; +\; t\; \prime )\; dt\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; s,\; r\; \backslash \; rangle\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\; \text{'}\backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; s\; ^\; \{\backslash \; star\}\; (t\; \text{'})\; r\; (t\; +\; t\text{'})\; dt\; \text{'}\}$

Если отраженный сигнал возвращается к приемнику в момент $tr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\_\; \{r\}\}$и ослабляется на коэффициент $K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; K\}$, это дает:

Поскольку мы знаем передаваемый сигнал, получаем:

$⟨s,\; r⟩\; (t)\; =\; KA\; 2\; \Lambda \; (t\; -\; tr\; T)\; e\; 2\; i\; \pi \; f\; 0\; (\; t\; -\; тр)\; +\; В\; \text{'}(t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; s,\; r\; \backslash \; rangle\; (t)\; =\; KA\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t-t\_\; \{r\}\}\; \{T\}\}\; \backslash \; справа)\; е\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; f\_\; \{0\}\; (t\; \backslash ,\; -\; \backslash ,\; t\_\; \{r\})\}\; +\; B\; \text{'}(t)\}$

где $B\text{'}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptsty\; le\; B\; \text{'}(t)\}$, является результатом взаимной корреляции между шумом и передаваемым сигналом. Функция $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$- функция треугольника, ее значение равно 0 на $[-\; \infty ,\; -\; 1\; 2]\; \cup \; [1\; 2,\; +\; \infty ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; стиль\; сценария\; [-\; \backslash \; infty,\; \backslash ,\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}]\; \backslash ,\; \backslash \; cup\; \backslash ,\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \backslash ,\; +\; \backslash \; infty]\}$, он увеличивается линейно на $[-\; 1\; 2,\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \backslash ,\; 0]\}$, где достигает своего максимума 1, и оно линейно уменьшается на $[0,\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; [0,\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}]\}$, пока снова не достигнет 0. На рисунках в конце этого абзаца показана форма взаимной корреляции для выборочного сигнала (красным), в данном случае реального усеченного синуса, длительностью $T\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 1\; \}$секунд единичной амплитуды и частоты $f\; 0\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; f\_\; \{0\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 10\}$герц. Два эхо-сигнала (отмечены синим цветом) возвращаются с задержкой 3 и 5 секунд и амплитудами, равными 0,5 и 0,3 амплитуды переданного импульса, соответственно; это просто случайные значения для примера. Поскольку сигнал реальный, взаимная корреляция взвешивается дополнительным коэффициентом ⁄ 2.

Если два импульса возвращаются (почти) одновременно, взаимная корреляция равна сумме взаимных корреляций двух элементарных сигналов. Чтобы отличить одну «треугольную» огибающую от огибающей другого импульса, четко видно, что время прихода двух импульсов должно быть разделено по крайней мере $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\}$так что максимумы обоих импульсов могут быть разделены. Если это условие не выполняется, оба треугольника смешаются, и их невозможно будет разделить.

Поскольку расстояние, пройденное волной в течение $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\}$, равно $c\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; cT\}$(где c - скорость волны в среде), и поскольку это расстояние соответствует времени обхода, мы получаем:

Результат 1

Разрешение диапазона с синусоидальным импульсом составляет $1\; 2\; c\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; cT\}$, где $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\}$- длительность импульса, а $c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; c\}$, скорость волны. Вывод: для увеличения разрешения необходимо уменьшить длину импульса.

Пример (простой импульс): переданный сигнал отображается красным цветом (несущая 10 Гц, амплитуда 1, длительность 1 секунда) и два эхо-сигнала (синий).

До согласованной фильтрации	После согласованной фильтрации
Если цели достаточно разнесены...	... можно различить эхо.
Если цели слишком близко...	... эхо смешивается.

Требуемая энергия для передачи этого сигнала

Мгновенная мощность переданного импульса составляет $P\; (t)\; =\; |\; с\; |\; 2\; (т)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; P\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; |\; s\; |\; ^\; \{2\}\; (t)\}$. Энергия, вложенная в этот сигнал, равна:

$E\; =\; \int \; 0\; TP\; (t)\; dt\; =\; A\; 2\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; P\; (t)\; dt\; =\; A\; ^\; \{2\}\; T\}$

Аналогично, энергия принятого импульса равна $E\; r\; =\; K\; 2\; A\; 2\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; E\_\; \{r\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; K\; ^\; \{2\}\; A\; ^\; \{2\}\; T\; \}$. Если $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; sigma\}$- стандартное отклонение шума, отношение сигнал / шум (SNR) в приемнике будет:

$SNR\; =\; E\; r\; \sigma \; 2\; знак\; равно\; К\; 2\; A\; 2\; T\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; SNR\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{r\}\}\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\; ^\; \{2\}\; A\; ^\; \{2\}\; T\}\; \{\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}$

SNR пропорционально длительности импульса $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, если другие параметры остаются постоянными. Это вводит компромисс: увеличение $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$улучшает SNR, но снижает разрешение, и наоборот.

Основные принципы

Как можно получить достаточно большой импульс (чтобы по-прежнему иметь хорошее SNR в приемнике) без плохое разрешение? Здесь на сцену выходит сжатие импульсов. Основной принцип заключается в следующем:

• передается сигнал с достаточно длинной длиной, чтобы энергетический баланс был правильным
• этот сигнал разработан так, что после согласованной фильтрации ширина взаимно коррелированных сигналов составляет меньше, чем ширина, полученная стандартным синусоидальным импульсом, как объяснено выше (отсюда и название метода: сжатие импульса).

В приложениях радар или сонар линейный щебетание - наиболее часто используемые сигналы для сжатия импульсов. Поскольку импульс имеет конечную длину, его амплитуда представляет собой функцию прямоугольника . Если переданный сигнал имеет продолжительность $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\}$, начинается с $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\}$и линейно перемещает полосу частот $\Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\}$с центром на несущей $f\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; f\_\; \{0\}\}$, это можно записать:

Определение chirp, приведенное выше означает, что фаза чирпированного сигнала (то есть аргумент комплексной экспоненты) является квадратичной:

$\varphi \; (t)\; =\; 2\; \pi \; ((f\; 0\; -\; \Delta \; f\; 2)\; t\; +\; \Delta \; f\; 2\; T\; t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (t)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (f\_\; \{0\}\; \backslash ,\; -\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; t\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{2T\}\}\; t\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; right)\}$

таким образом, мгновенная частота равна (по определению):

$f\; (t)\; =\; 1\; 2\; \pi \; [d\; \varphi \; dt]\; T\; знак\; равно\; f\; 0\; -\; \Delta \; е\; 2\; +\; \Delta \; е\; T\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; phi\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{t\}\; =\; f\_\; \{0\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{T\}\}\; t\}$

whi ch - предполагаемый линейный наклон, идущий от $f\; 0\; -\; \Delta \; f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; f\_\; \{0\}\; \backslash ,\; -\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{2\}\}\}$от $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0\}$до $f\; 0\; +\; \Delta \; f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; f\_\; \{0\}\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{2\}\}\}$при $t\; =\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; T\}$.

Отношение фазы к частоте часто используется в другом направлении, начиная с желаемого $f\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\}$и записывая фазу щебета через интегрирование частоты:

$\varphi \; (t)\; =\; 2\; \pi \; \int \; 0\; tf\; (u)\; du\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (t)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; f\; (u)\; \backslash ,\; du\}$

Взаимная корреляция между переданным и принятый сигнал

Что касается «простого» импульса, давайте вычислим взаимную корреляцию между переданным и принятым сигналом. Для упрощения будем считать, что щебетание записывается не так, как указано выше, а в этой альтернативной форме (окончательный результат будет таким же):

Поскольку эта взаимная корреляция равна (за исключением коэффициента затухания $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$), чтобы автокорреляционная функция $sc\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; s\_\; \{c\; \text{'}\}\}$, это то, что мы рассматриваем:

$⟨sc\; \prime ,\; sc\; \prime ⟩\; (t)\; =\; \int \; -\; \infty \; +\; \infty \; sc\; \prime \; \star \; (-\; t\; \prime )\; sc\; \prime \; (t\; -\; t\; \prime )\; dt\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; s\_\; \{c\; \text{'}\},\; s\_\; \{c\text{'}\}\; \backslash \; rangle\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \; infty\}\; s\_\; \{c\; \text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; star\}\; (-\; t\text{'})\; s\_\; \{c\; \text{'}\}\; (t-t\text{'})\; dt\; \text{'}\}$

Можно показать, что функция автокорреляции $sc\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{c\; \text{'}\}\}$равно:

$⟨sc\; \prime ,\; sc\; \prime ⟩\; (t)\; =\; A\; 2\; T\; \Lambda \; (t\; T)\; sinc\; [\Delta \; ft\; \Lambda \; (t\; T)\; ]\; е\; 2\; я\; \pi \; е\; 0\; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; s\_\; \{c\; \text{'}\},\; s\_\; \{c\text{'}\}\; \backslash \; rangle\; (t)\; =\; A\; ^\; \{2\}\; T\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{T\}\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; mathrm\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; Delta\; ft\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; ri\; ght]\; e\; ^\; \{2i\; \backslash \; pi\; f\_\; \{0\}\; t\}\}$

Максимум функции автокорреляции $sc\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; s\_\; \{c\; \text{'}\}\}$достигается при 0. Около 0 эта функция ведет себя как член sinc (или кардинальный синус), определяемый здесь как $sinc\; (x)\; =\; sin\; (\pi \; x)\; /\; (\pi \; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; sinc\; (\; х)\; =\; грех\; (\backslash \; пи\; х)\; /\; (\backslash \; пи\; х)\}$. Временная ширина этого кардинального синуса -3 дБ более или менее равна $T\; \text{'}=\; 1\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\text{'}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; f\}\}\}$. Все происходит так, как если бы после согласованной фильтрации у нас было разрешение, которое было бы достигнуто с помощью простого импульса длительностью $T\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\; \text{'}\}$. Для общих значений $\Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\}$, $T\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\; \text{'}\}$меньше, чем $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\}$, отсюда и название сжатия импульса.

Поскольку кардинальный синус может иметь раздражающие боковые лепестки, обычной практикой является фильтрация результата с помощью окна (Хэмминга, Ханна и т. Д.). На практике это может быть сделано в то же время, как адаптированные фильтрации пути умножения опорного чирпа с фильтром. Результатом будет сигнал с немного меньшей максимальной амплитудой, но боковые лепестки будут отфильтрованы, что более важно.

Результат 2

Разрешение по расстоянию, достижимое с помощью линейной частотной модуляции импульса в полосе пропускания $\Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\}$, составляет: $c\; 2\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{2\; \backslash \; Delta\; f\}\}\}$, где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; c\}$- скорость волна.

Определение
Соотношение $TT\; \prime \; =\; T\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{T\; ^\; \{\backslash \; prime\}\}\}\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; T\; \backslash \; Delta\; f\}$- степень сжатия импульса. Обычно он больше 1 (обычно от 20 до 30).

Пример (чирпированный импульс): переданный сигнал выделен красным цветом (несущая 10 Гц, модуляция 16 Гц, амплитуда 1, длительность 1 секунда) и два эхо-сигнала (синим цветом).

До согласованной фильтрации

После согласованной фильтрации: эхо-сигналы короче по времени.

Улучшение отношения сигнал / шум посредством сжатия импульсов

Энергия сигнала не изменяется во время сжатия импульса. Однако теперь он находится в главном лепестке кардинального синуса, ширина которого составляет приблизительно $T\; \prime \; \approx \; 1\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\; \text{'}\backslash ,\; \backslash \; приблизительно\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; f\}\}\}$. Если $P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; P\}$- мощность сигнала до сжатия, а $P\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; P\; \text{'}\}$- мощность сигнал после сжатия, мы имеем:

$P\; \times \; T\; =\; P\; \prime \; \times \; T\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; times\; T\; =\; P\; \text{'}\backslash \; times\; T\text{'}\}$

, что дает:

$P\; \prime \; =\; P\; \times \; TT\; \prime \; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; \text{'}=\; P\; \backslash \; times\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{T\text{'}\}\}\}$

Как следствие:

Результат 3
После сжатия импульса можно учитывать мощность принятого сигнала как усиленный $T\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\; \backslash \; Delta\; f\}$. Это дополнительное усиление можно ввести в уравнение радара.

Пример: те же сигналы, что и выше, плюс аддитивный гауссовский белый шум ($\sigma \; =\; 0,5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; 0,5\}$)

До согласованной фильтрации: сигнал скрыт в шуме

После согласованной фильтрации: эхо-сигналы становятся видимыми.

Обработка растяжения

В то же время сжатие импульсов может обеспечить хорошее соотношение сигнал / шум и точное разрешение по диапазону одновременно цифровая обработка сигнала в такой системе может быть затруднена из-за высокой мгновенной ширины полосы сигнала ($\Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\}$может составлять сотни мегагерц или даже превышают 1 ГГц.) Обработка растяжения - это метод согласованной фильтрации широкополосной формы колебательного сигнала, который подходит для приложений, которым требуется очень точное разрешение диапазона в относительно коротких интервалах.

На рисунке выше показан сценарий анализа обработки растяжения. Центральная контрольная точка (CRP) находится в середина интересующего окна диапазона в диапазоне $R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; R\_\; \{0\}\}$, что соответствует временной задержке $t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\_\; \{0\}\}$.

Если переданный сигнал является формой сигнала ЛЧМ:

$x\; (t)\; =\; exp\; \; (j\; \pi \; \Delta \; f\; T\; (t)\; 2)\; exp\; \; (j\; 2\; \pi \; f\; 0\; (t)),\; 0\; \le \; T\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (j\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{T\}\}\; (t)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; exp\; (j2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{0\}\; (t)),\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\}$

, то эхо-сигнал от цели на расстоянии $R\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; R\_\; \{b\}\}$может быть выражается как:

$x\; ¯\; (t)\; =\; \rho \; exp\; \; (j\; \pi \; \Delta \; f\; T\; (t\; -\; tb)\; 2)\; exp\; \; (j\; 2\; \pi \; f\; 0\; (t\; -\; tb)),\; 0\; \le \; t\; -\; tb\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\; (t)\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (j\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{T\}\}\; (t-t\_\; \{b\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; ехр\; (j2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{0\}\; (t-t\_\; \{b\})),\; 0\; \backslash \; leq\; t-t\_\; \{b\}\; \backslash \; leq\; T\}$

где $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; rho\}$пропорционален отражательной способности рассеивателя. Затем мы умножаем эхо на $exp\; \; (-\; j\; 2\; \pi \; f\; 0\; t)\; exp\; \; (-\; j\; \pi \; \Delta \; f\; T\; (t\; -\; t\; 0)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; exp\; (-j2\; \backslash \; pi\; f\_\; \{0\}\; t)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-j\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{T\}\}\; (t-t\_\; \{0\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$и эхо станет следующим:

$y\; (t)\; =\; \rho \; exp\; \; (-\; j\; 4\; \pi \; R\; b\; \lambda )\; exp\; \; (-\; j\; 2\; \pi \; \Delta \; f\; T\; \delta \; tb\; (t\; -\; t\; 0))\; exp\; \; (j\; \pi \; \Delta \; f\; T\; (\delta \; tb)\; 2),\; t\; 0\; \le \; t\; -\; \delta \; tb\; \le \; t\; 0\; +\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\; =\; \backslash \; rho\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-j\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\; R\_\; \{b\}\}\; \{\; \backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-j2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{T\}\}\; \backslash \; delta\; t\_\; \{b\}\; (t-t\_\; \{0\})\; \backslash \; right)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\; j\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{T\}\}\; (\backslash \; delta\; t\_\; \{b\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\; t\_\; \{0\}\; \backslash \; leq\; t-\; \backslash \; delta\; t\_\; \{b\}\; \backslash \; leq\; t\_\; \{0\; \}\; +\; T\}$

где $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; lambda\}$- длина волны электромагнитной волны в воздухе.

После проведения выборки и дискретного преобразования Фурье по y (t) частота синусоиды $F\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; F\_\; \{b\}\}$может быть решена:

$F\; b\; =\; -\; \delta \; tb\; \Delta \; f\; T\; (H\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{b\}\; =\; -\; \backslash \; delta\; t\_\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{T\}\}\; (Гц)\}$

и диапазон разности $\delta \; R\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; delta\; R\_\; \{b\}\}$можно получить:

$\delta \; R\; b\; =\; -\; c\; TF\; b\; 2\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; R\_\; \{b\; \}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{cTF\_\; \{b\}\}\; \{2\; \backslash \; Delta\; f\}\}\}$

Чтобы показать, что полоса пропускания y (t) меньше исходной полосы пропускания сигнала $\Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\}$, мы предполагаем, что окно диапазона равно $R\; w\; =\; c\; T\; w\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; R\_\; \{w\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{cT\_\; \{w\}\}\; \{2\}\; \}\}$длинный. Если цель находится на нижней границе окна диапазона, эхо будет достигнуто $t\; 0\; -\; T\; w\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\_\; \{0\}\; -T\_\; \{w\}\; /\; 2\}$секунды после передачи; аналогично, если цель находится на верхней границе окна диапазона, эхо будет достигнуто $t\; 0\; +\; T\; w\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\_\; \{0\}\; +\; T\_\; \{w\}\; /\; 2\}$секунд после передачи. Дифференциальное время прибытия $\delta \; tb\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; delta\; t\_\; \{b\}\}$для каждого случая составляет $-\; T\; w\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; -T\_\; \{w\}\; /\; 2\}$и $T\; w\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\_\; \{w\}\; /\; 2\}$соответственно.

Затем мы можем получить полосу пропускания, учитывая разницу в частоте синусоиды для целей на нижней и верхней границе окна дальности:

$\Delta \; fs\; =\; F\; b,\; ближний\; -\; F\; b,\; дальний\; =\; -\; \Delta \; е\; T\; (-\; T\; w\; /\; 2\; -\; T\; w\; /\; 2)\; знак\; равно\; T\; w\; T\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\_\; \{s\}\; =\; F\_\; \{b,\; near\}\; -F\_\; \{b,\; far\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Дельта\; f\}\; \{T\}\}\; (-\; T\_\; \{w\}\; /\; 2-T\_\; \{w\}\; /\; 2)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{w\}\}\; \{T\}\}\; \backslash \; Delta\; f\}$

Как следствие:

Результат 4
Благодаря обработке растяжения полоса пропускания на выходе приемника меньше, чем исходная полоса пропускания сигнала, если , тем самым облегчая реализацию системы DSP в радиолокационной системе с линейной частотной модуляцией.

Чтобы продемонстрировать, что обработка растяжения сохраняет разрешение по дальности, нам нужно понимать, что y (t) на самом деле представляет собой последовательность импульсов с длительностью импульса T и периодом $T\; trans\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; T\_\; \{trans\}\}$, который равен периоду переданной последовательности импульсов. В результате преобразование Фурье y (t) на самом деле является функцией sinc с разрешением Рэлея $1\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\}$. То есть процессор сможет разрешать рассеиватели, $F\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; F\_\; \{b\}\}$как минимум $\Delta \; F\; b\; =\; 1\; /\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; стиль\; сценария\; \backslash \; Delta\; F\_\; \{b\}\; =\; 1\; /\; T\}$на расстоянии.

Следовательно,

$1\; T\; =\; |\; \Delta \; f\; T\; \Delta \; (\delta \; t\; b)\; |\; \Rightarrow \; |\; \Delta \; (\delta \; t\; b)\; |\; Знак\; равно\; 1\; \Delta \; е\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{T\}\}\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; delta\; t\_\; \{b\})\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; delta\; t\_\; \{b\})\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; f\}\}\}$

и

$\Delta \; (\delta \; R\; b)\; =\; c\; \Delta \; (\; \delta \; tb)\; 2\; знак\; равно\; с\; 2\; \Delta \; е\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; delta\; R\_\; \{b\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; delta\; t\_\; \{b\})\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{2\; \backslash \; Delta\; f\}\}\}$

, что совпадает с разрешением исходного сигнала линейной частотной модуляции.

Форма волны ступенчатого изменения частоты

Хотя обработка растяжения может уменьшить полосу пропускания принимаемого сигнала основной полосы частот, все аналоговые компоненты во входной РЧ-схеме должны поддерживать мгновенную ширину полосы $\Delta \; е\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\}$. Кроме того, эффективная длина волны электромагнитной волны изменяется во время развертки частоты ЛЧМ-сигнала, и поэтому направление взгляда антенны неизбежно будет изменено в системе с фазированной решеткой.

Сигналы со ступенчатым изменением частоты - это альтернативный метод, позволяющий сохранить точное разрешение по диапазону и ОСШ принятого сигнала без большой мгновенной ширины полосы. В отличие от чирпирующего сигнала, который линейно перемещается по общей полосе пропускания $\Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\}$за один импульс, сигнал ступенчатой ​​частоты использует последовательность импульсов, где частота каждый импульс увеличивается на $\Delta \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; F\}$от предыдущего импульса. Сигнал основной полосы частот может быть выражен как:

$x\; (t)\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; M\; -\; 1\; xp\; (t\; -\; m\; T)\; ej\; 2\; \pi \; m\; \Delta \; F\; (t\; -\; m\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; x\_\; \{p\}\; (t-mT)\; e\; ^\; \{j2\; \backslash \; pi\; m\; \backslash \; Delta\; F\; (t-mT)\}\}$

где $xp\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; x\_\; \{p\}\; (t)\}$- прямоугольный импульс длиной $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; tau\}$, а M - количество импульсы в одной последовательности импульсов. Общая ширина полосы сигнала по-прежнему равна $\Delta \; f\; =\; M\; \Delta \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\; =\; M\; \backslash \; Delta\; F\}$, но аналоговые компоненты можно сбросить для поддержки частота следующего импульса во время между импульсами. В результате можно избежать упомянутой выше проблемы.

Для вычисления расстояния до цели, соответствующего задержке $tl\; +\; \delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\_\; \{l\}\; +\; \backslash \; delta\; t\}$, отдельные импульсы обрабатываются через простой импульсный согласованный фильтр:

$hp\; (t)\; =\; xp\; \ast \; (-\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{p\}\; (t)\; =\; x\_\; \{p\}\; ^\; \{*\}\; (-\; t)\}$

и выход согласованного фильтра:

$ym\; (t)\; =\; sp\; \ast \; (t\; -\; (tl\; +\; \delta \; t)\; -\; m\; T)\; ej\; 2\; \pi \; m\; \Delta \; F\; (t\; -\; (tl\; +\; \delta \; t)\; -\; m\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{m\}\; (t)\; =\; s\_\; \{p\}\; ^\; \{*\}\; (t-\; (t\_\; \{l\}\; +\; \backslash \; delta\; t)\; -mT)\; e\; ^\; \{j2\; \backslash \; pi\; m\; \backslash \; Delta\; F\; (t-\; (t\_\; \{l\; \}\; +\; \backslash \; delta\; t)\; -mT)\}\}$

где

$sp\; \ast \; (t\; -\; (tl\; +\; \delta \; t)\; -\; m\; T)\; =\; xp\; (t\; -\; (tl\; +\; \delta \; t)\; -\; m\; T)\; \ast \; hp\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; s\_\; \{p\}\; ^\; \{*\}\; (t-\; (t\_\; \{l\}\; +\; \backslash \; delta\; t)\; -mT)\; =\; x\_\; \{p\}\; (t-\; (t\_\; \{l\}\; +\; \backslash \; delta\; t)\; -mT)\; *\; h\_\; \{p\}\; (t)\}$

Если взять образец $ym\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; y\_\; \{m\}\; (t)\}$at $t\; =\; tl\; +\; m\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\; =\; t\_\; \{l\}\; +\; mT\}$, мы можем получить:

$y\; [l,\; m]\; =\; sp\; \ast \; (\delta \; t)\; ej\; 2\; \pi \; m\; \Delta \; F\; \delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; [l,\; m]\; =\; s\_\; \{p\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; delta\; t)\; e\; ^\; \{j2\; \backslash \; pi\; m\; \backslash \; Delta\; F\; \backslash \; delta\; t\}\}$

, где l означает диапазон l. Проведите DTFT (здесь m используется как время), и мы можем получить:

$Y\; [l,\; \omega ]\; =\; \sum \; m\; =\; 0\; M\; -\; 1\; y\; [l,\; m]\; e\; -\; j\; \omega \; m\; =\; sp\; \ast \; (\delta \; t)\; \sum \; м\; знак\; равно\; 0\; M\; -\; 1\; ej\; (\omega \; -\; 2\; \pi \; \Delta \; F\; \delta \; t)\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; [l,\; \backslash \; omega]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; y\; [l,\; m]\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; omega\; m\}\; =\; s\_\; \{p\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; delta\; t)\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 0\}\; ^\; \{M-1\}\; e\; ^\; \{j\; (\backslash \; omega\; -2\; \backslash \; pi\; \backslash \; Delta\; F\; \backslash \; delta\; t)\; m\}\}$

, и пик суммирования происходит, когда $\omega \; =\; 2\; \pi \; \Delta \; F\; \delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; omega\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; Delta\; F\; \backslash \; delta\; t\}$.

Следовательно, ДВПФ $y\; [l,\; m]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; y\; [l,\; m]\}$обеспечивает меру задержки цели относительно задержки ячейки диапазона $tl\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\_\; \{l\}\}$:

$\delta \; t\; =\; \omega \; p\; 2\; \pi \; \Delta \; F\; =\; fp\; \Delta \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; t\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{p\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; Delta\; F\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\_\; \{p\}\}\; \{\backslash \; Delta\; F\}\}\}$

и можно получить дифференциальный диапазон:

$\delta \; R\; =\; cfp\; 2\; \Delta \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; R\; =\; \{\backslash \; frac\; \{cf\_\; \{p\}\}\; \{2\; \backslash \; Delta\; F\}\}\}$

где c - скорость света.

Чтобы продемонстрировать ступенчатую форму сигнала с сохранением разрешения по диапазону, следует отметить, что $Y\; [l,\; \omega ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; Y\; [l,\; \backslash \; omega]\}$равно функция, подобная sinc, и поэтому она имеет разрешение Рэлея $\Delta \; fp\; =\; 1\; /\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; Delta\; f\_\; \{p\}\; =\; 1\; /\; M\}$. В результате:

$\Delta \; (\delta \; t)\; =\; 1\; M\; \Delta \; F\; =\; 1\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; delta\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{M\; \backslash \; Delta\; F\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; Delta\; f\}\}\}$

и, следовательно, разрешение дифференциального диапазона равно:

$\Delta \; (\delta \; R)\; =\; c\; 2\; \Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; (\backslash \; delta\; R)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{2\; \backslash \; Delta\; f\}\}\}$

, что совпадает с разрешением исходного сигнала линейной частотной модуляции.

Существуют и другие способы модуляции сигнала. Фазовая модуляция - широко используемый метод; в этом случае импульс делится на $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; N\}$временных интервалов длительностью $TN\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{N\}\}\}$, для которого фаза в исходной точке выбирается в соответствии с заранее установленным соглашением. Например, можно не изменять фазу в течение некоторых временных интервалов (что сводится к тому, чтобы просто оставить сигнал таким, какой он есть в этих слотах) и сдвигать фазу сигнала в других слотах на $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; pi\}$(что эквивалентно изменению знака сигнала). Точный способ выбора последовательности фаз $\{0,\; \pi \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; \{0,\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \}\}$осуществляется в соответствии с техникой, известной как Коды Баркера. Возможно кодирование последовательности более чем на двух фазах (многофазное кодирование). Как и в случае с линейным чирпом, сжатие импульсов достигается за счет взаимной корреляции.

Преимущества кодов Баркера заключаются в их простоте (как указано выше, $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; pi\}$смещение фазы - это простая смена знака), но степень сжатия импульса ниже, чем в случае щебета, и сжатие очень чувствительно к изменениям частоты из-за эффекта Доплера, если это изменение больше, чем $1\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\}$.

• Надав Леванон и Эли Мозесон. Радиолокационные сигналы. Вайли. com, 2004.
• Хао Хэ, Цзянь Ли и Петре Стойка. Разработка формы волны для активных систем зондирования: вычислительный подход. Cambridge University Press, 2012.
• М. Солтаналиан. Дизайн сигналов для активного зондирования и связи. Упсальские диссертации факультета науки и технологий (напечатано Elanders Sverige AB), 2014.
• Соломон В. Голомб и Гуан Гун. Дизайн сигнала для хорошей корреляции: для беспроводной связи, криптографии и радара. Cambridge University Press, 2005.
• Фульвио Джини, Антонио Де Майо и Ли Паттон, ред. Дизайн и разнообразие форм сигналов для продвинутых радарных систем. Институт инженерии и технологий, 2012.
• Джон Дж. Бенедетто, Иоаннис Константинидис и Муралидхар Рангасвами. «Сигналы с фазовой кодировкой и их конструкция.» Журнал обработки сигналов IEEE, 26.1 (2009): 22-31.
• Дукофф, Майкл Р. и Байрон В. Титджен. «РЛС сжатия импульсов». Radar Handbook (2008): 8-3.

• Расширенный спектр
• Сжатие ЛЧМ