Доказательства квадратичной взаимности

В теории чисел закон квадратичной взаимности, например Теорема Пифагора поддалась необычному количеству доказательств. Было опубликовано несколько сотен доказательств закона квадратичной взаимности (большинство из которых являются вариантами ранее известных доказательств).

• 1 Доступные доказательства
• 2 Доказательство Эйзенштейна
  • 2.1 Доказательство леммы Эйзенштейна
• 3 Доказательство с использованием квадратичных сумм Гаусса
  • 3.1 Второй дополнительный случай
  • 3.2 Общий случай
• 4 Доказательство с использованием теории алгебраических чисел
  • 4.1 Настройка циклотомического поля
  • 4.2 Автоморфизм Фробениуса
  • 4.3 Завершение доказательства
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Из относительно элементарных комбинаторных доказательств есть два, которые применяют типы двойного счета. Один автор Готтхольд Эйзенштейн подсчитывает точек решетки. Другой пример применяет лемму Золотарёва к $(Z\; /\; pq\; Z)\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; pq\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$, выражается китайской теоремой об остатках как $(Z\; /\; p\; Z)\; \times \; \times \; (Z\; /\; q\; Z)\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; times\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; q\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$и вычисляет сигнатуру перестановки.

Доказательство Эйзенштейна квадратичной взаимности является упрощением третьего доказательства Гаусса. Это более интуитивно геометрически и требует меньше технических манипуляций.

Отправной точкой является «лемма Эйзенштейна», в которой говорится, что для различных нечетных простых чисел p, q,

$(qp)\; =\; (-\; 1)\; \sum \; u\; \lfloor \; qu\; /\; p\; \rfloor ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{u\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; qu\; /\; p\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\},\}$

где $\lfloor \; x\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; x\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\}$обозначает функцию пола (наибольшее целое число, меньшее или равное x), где сумма берется целые четные числа u = 2, 4, 6,..., p − 1. Например,

$(7\; 11)\; =\; (-\; 1)\; \lfloor \; 14/11\; \rfloor \; +\; \lfloor \; 28/11\; \rfloor \; +\; \lfloor \; 42/11\; \rfloor \; +\; \lfloor \; 56/11\; \rfloor \; +\; \lfloor \; 70/11\; \rfloor \; =\; (-\; 1)\; 1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 6\; =\; (-\; 1)\; 17\; =\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{7\}\; \{11\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; 14\; /\; 11\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; +\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; 28/11\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; +\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; 42/11\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; +\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; 56/11\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; +\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; 70/11\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 6\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{17\}\; =\; -\; 1.\}$

Этот результат очень похож на лемму Гаусса, и доказывается аналогичным образом (доказательство приводится ниже).

Используя это представление (q / p), главный аргумент довольно элегантен. Сумма $\Sigma \; u\; \lfloor \; qu\; /\; p\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{u\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; qu\; /\; p\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\}$подсчитывает количество точек решетки с четной координатой x внутри треугольника ABC на следующей диаграмме:

Диаграмма точек решетки

Пример, показывающий точки решетки внутри ABC с четными координатами x, для p = 11 и q = 7

Поскольку каждый столбец имеет четную количество точек (а именно q − 1 точек), количество таких точек решетки в области BCYX такое же по модулю 2, что и количество таких точек в области CZY:

Количество точек с четной x-координатой внутри BCYX (отмеченный значками O) равен по модулю 2 количеству таких точек в CZY (отмеченных значками X)

Затем, перевернув диаграмму по обеим осям, мы видим, что количество точек с четной координатой x внутри CZY равно то же, что и количество точек внутри AXY с нечетными координатами x:

Количество точек с четной координатой x внутри CZY равно количеству точек с нечетной координатой x внутри AXY

Th Вывод таков:

$(qp)\; =\; (-\; 1)\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; mu\},\}$

где μ - общее количество точек решетки внутри AYX. Переключение p и q, тот же аргумент показывает, что

$(pq)\; =\; (-\; 1)\; \nu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; nu\},\}$

где ν - количество точек решетки внутри WYA. Поскольку на самой прямой AY нет точек решетки (поскольку p и q относительно просты ), и поскольку общее количество точек в прямоугольнике WYXA равно

$(p\; -\; 1\; 2)\; (q\; -\; 1\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right),\}$

мы окончательно получим

$(qp)\; (pq)\; =\; (-\; 1)\; \mu \; +\; \nu \; =\; (-\; 1)\; (p\; -\; 1)\; (q\; -\; 1)\; /\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; mu\; +\; \backslash \; nu\}\; =\; (\; -1)\; ^\; \{(p-1)\; (q-1)\; /\; 4\}.\}$

Доказательство леммы Эйзенштейна

Для четного целого числа u в диапазоне 1 ≤ u ≤ p − 1 обозначим через r (u) наименьший положительный вычет qu по модулю p. (Например, для p = 11, q = 7 мы допускаем u = 2, 4, 6, 8, 10, а соответствующие значения r (u) равны 3, 6, 9, 1, 4.) Числа (−1) r (u), снова рассматриваемые как наименьшие положительные вычеты по модулю p, все четны (в нашем текущем примере это 8, 6, 2, 10, 4.) Более того, все они различны, потому что если ( −1) r (u) ≡ (−1) r (t) (mod p), то мы можем разделить на q, чтобы получить u ≡ ± t (mod p). Это вынуждает u ≡ t (mod p), потому что u и t четные, а p нечетные. Так как их ровно (p − 1) / 2, и они различны, они должны быть просто перестановкой четных целых чисел 2, 4,..., p − 1. Умножая их, получаем

$(-\; 1)\; r\; (2)\; 2\; q\; \cdot \; (-\; 1)\; r\; (4)\; 4\; q\; \cdot \; \cdots \; \cdot \; (-\; 1)\; r\; (p\; -\; 1)\; (p\; -\; 1)\; q\; \equiv \; 2\; \cdot \; 4\; \cdot \; \cdots \; \cdot \; (p\; -\; 1)\; (mod\; p).\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{r\; (2)\}\; 2q\; \backslash \; cdot\; (-1)\; ^\; \{r\; (4)\}\; 4q\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdot\; (-1)\; ^\; \{r\; (p-1)\}\; (p\; -1)\; q\; \backslash \; Equiv\; 2\; \backslash \; cdot\; 4\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cdots\; \backslash \; cdot\; (p-1)\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}.\}$

Последовательное деление на 2, 4,..., p − 1 на обоих сторон (что допустимо, поскольку ни одна из них не делится на p) и переставляя, мы имеем

$q\; (p\; -\; 1)\; /\; 2\; \equiv \; (-\; 1)\; r\; (2)\; +\; r\; (4)\; +\; \cdots \; +\; r\; (p\; -\; 1)\; (mod\; p).\; \{\backslash \; Displaystyle\; Q\; ^\; \{(p-1)\; /\; 2\}\; \backslash \; Equiv\; (-1)\; ^\; \{r\; (2)\; +\; r\; (4)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; r\; (p-1)\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}.\; \}$

С другой стороны, по определению r (u) и минимальной функции,

$qup\; =\; \lfloor \; qup\; \rfloor \; +\; r\; (u)\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{qu\}\; \{p\}\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; \{\backslash \; frac\; \{qu\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\; (u)\}\; \{p\}\},\}$

и так как p нечетно, а u четно, мы видим, что $\lfloor \; qu\; /\; p\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; qu\; /\; p\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\}$и r (u) конгруэнтны по модулю 2. Наконец, это показывает, что

$q\; (\; p\; -\; 1)\; /\; 2\; \equiv \; (-\; 1)\; \sum \; u\; \lfloor \; qu\; /\; p\; \rfloor \; (mod\; p).\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{(p-1)\; /\; 2\}\; \backslash \; Equiv\; (-1)\; ^\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{u\}\; \backslash \; left\; \backslash \; lfloor\; qu\; /\; p\; \backslash \; right\; \backslash \; rfloor\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}.\}$

Мы закончили, потому что левая часть - всего лишь альтернативное выражение для (q / p).

Доказательство квадратичной взаимности с использованием сумм Гаусса является одним из более общие и классические доказательства. Эти доказательства работают путем сравнения вычислений единичных значений двумя разными способами: один с использованием критерия Эйлера, а другой с использованием биномиальной теоремы. В качестве примера того, как используется критерий Эйлера, мы можем использовать его для быстрого доказательства первого дополнительного случая определения $(-\; 1\; p)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{p\}\; \}\; \backslash \; right)\}$для нечетного простого числа p: По критерию Эйлера $(-\; 1\; p)\; \equiv \; (-\; 1)\; p\; -\; 1\; 2\; (mod\; p)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Equiv\; (-1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{p-1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$, но поскольку обе стороны эквивалентность равна ± 1, а p нечетно, мы можем вывести, что $(-\; 1\; p)\; =\; (-\; 1)\; p\; -\; 1\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{p-1\}\; \{2\}\}\}$.

Второй дополнительный случай

Пусть $\zeta \; 8\; =\; e\; 2\; \pi \; i\; /\; 8\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; =\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; /\; 8\}\}$, примитивный корень 8-й степени из единицы и положим $\tau \; =\; \zeta \; 8\; +\; \zeta \; 8\; -\; 1\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; +\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$. Поскольку $\zeta \; 8\; 2\; =\; i\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{2\}\; =\; i\}$и $\zeta \; 8-2\; =\; -\; i\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\; \}\; ^\; \{-\; 2\}\; =\; -\; i\}$мы видим, что $\tau \; 2\; =\; 2\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; =\; 2\}$. Поскольку $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$является целым алгебраическим числом, если p - нечетное простое число, имеет смысл говорить о нем по модулю p. (Формально мы рассматриваем коммутативное кольцо, образованное факторизацией алгебраических целых чисел $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$с идеалом, порожденным p. Поскольку $p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{-\; 1\}\}$не является алгебраическим целым числом, 1, 2,..., p являются отдельными элементами $A\; /\; p\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\; /\; p\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}$.) Используя критерий Эйлера, следует, что

$\tau \; p\; -\; 1\; =\; (\tau \; 2)\; p\; -\; 1\; 2\; =\; 2\; p\; -\; 1\; 2\; \equiv \; (2\; p)\; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; ^\; \{p-1\}\; =\; (\backslash \; tau\; ^\; \{2\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{p-1\}\; \{2\}\}\; =\; 2\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{p-1\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$Тогда мы можем сказать, что $\tau \; p\; \equiv \; (2\; p)\; \tau \; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; ^\; \{p\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; tau\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$Но мы также можем вычислить $\tau \; p\; (mod\; p)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; tau\; ^\; \{p\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$с помощью биномиальной теоремы. Поскольку все перекрестные члены в биномиальном разложении содержат множители p, мы находим, что $\tau \; p\; \equiv \; \zeta \; 8\; p\; +\; \zeta \; 8\; -\; p\; (mod\; p)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; tau\; ^\; \{p\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; zeta\; \_\; \{\; 8\}\; ^\; \{p\}\; +\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{-\; p\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$. Мы можем оценить это более точно, разбив это на два случая

• $p\; \equiv \; \pm \; 1\; (mod\; 8)\; \Rightarrow \; \zeta \; 8\; p\; +\; \zeta \; 8\; -\; p\; =\; \zeta \; 8\; +\; \zeta \; 8\; -\; 1\; \{\backslash \; textstyle\; p\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{8\}\}\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{p\}\; +\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{-\; p\}\; =\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; +\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \}$.
• $p\; \equiv \; \pm \; 3\; (mod\; 8)\; \Rightarrow \; \zeta \; 8\; p\; +\; \zeta \; 8\; -\; p\; =\; -\; \zeta \; 8\; -\; \zeta \; 8\; -\; 1\; \{\backslash \; textstyle\; p\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; pm\; 3\; \{\backslash \; pmod\; \{8\}\}\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{p\}\; +\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{-\; p\}\; =\; -\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; -\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; ^\; \{-\; 1\}\}$.

Это единственные варианты для простое число по модулю 8, и оба эти случая могут быть вычислены с использованием экспоненциальной формы $\zeta \; 8\; =\; e\; 2\; \pi \; i\; 8\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{8\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\; \{8\; \}\}\}$. Мы можем кратко записать это для всех нечетных простых чисел p как

$\tau \; p\; \equiv \; (-\; 1)\; p\; 2-1\; 8\; \tau \; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; ^\; \{p\}\; \backslash \; Equiv\; (-1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{8\}\}\; \backslash \; tau\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$Объединение этих двух выражений для $\tau \; p\; (mod\; p)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; tau\; ^\; \{p\}\; \{\; \backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$и умножая на $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$, получаем, что $2\; 2\; (2\; p)\; \equiv \; 2\; \cdot \; (-\; 1)\; п\; 2\; -\; 1\; 8\; (модуль\; p)\; \{\backslash \; textstyle\; 2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; эквив\; 2\; \backslash \; cdot\; (-1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{\; 2\}\; -1\}\; \{8\}\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$. Поскольку оба $(2\; p)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\}$и $(-\; 1)\; p\; 2\; -\; 1\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{8\}\}\}$равны ± 1 и 2 обратимо по модулю p, мы можем заключить, что $(2\; p)\; =\; (-\; 1)\; п\; 2\; -\; 1\; 8\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{8\}\; \}\}$

Общий случай

Идея общего доказательства вытекает из приведенного выше дополнительного случая: найдите алгебраическое целое число, которое каким-то образом кодирует символы Лежандра для p, затем найдите связь между символами Лежандра, вычислив qth мощность этого алгебраического целого числа по модулю q двумя разными способами, один с использованием критерия Эйлера, другой с использованием биномиальной теоремы.

Пусть

$gp\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; p\; -\; 1\; (kp)\; \zeta \; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{p-1\}\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{k\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; zeta\; \_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$где $\zeta \; p\; =\; e\; 2\; \pi \; i\; /\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; \_\; \{p\}\; =\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; i\; /\; p\}\}$- это примитивный корень p-й степени из единицы. Это квадратичная сумма Гаусса. Фундаментальным свойством этих сумм Гаусса является то, что $gp\; 2\; =\; p\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{p\}\; ^\; \{2\}\; =\; p\; ^\; \{*\}\}$, где $p\; \ast \; =\; (-\; 1\; p)\; п\; \{\backslash \; textstyle\; p\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; p\}$. Чтобы поместить это в контекст следующего доказательства, отдельные элементы суммы Гаусса находятся в круговом поле $L\; =\; Q\; (\zeta \; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{p\})\; \}$но приведенная выше формула показывает, что сама сумма является генератором единственного квадратичного поля, содержащегося в L. Опять же, поскольку квадратичная сумма Гаусса является алгебраическим целым числом, мы можем использовать с ней модульную арифметику. Используя эту фундаментальную формулу и критерий Эйлера, мы находим, что $gpq\; -\; 1\; =\; (gp\; 2)\; q\; -\; 1\; 2\; =\; (p\; \ast )\; q\; -\; 1\; 2\; \equiv \; (p\; \ast \; q)\; (mod\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{p\; \}\; ^\; \{q-1\}\; =\; (g\_\; \{p\}\; ^\; \{2\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{q-1\}\; \{2\}\}\; =\; (p\; ^\; \{*\})\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{q-1\}\; \{2\; \}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; pmod\; \{q\}\}\}$Следовательно, $gpq\; \equiv \; (p\; \ast \; q)\; gp\; (mod\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{p\}\; ^\; \{q\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; g\_\; \{p\}\; \{\backslash \; pmod\; \{q\}\}\}$Использование по биномиальной теореме мы также находим, что $gpq\; \equiv \; \sum \; k\; =\; 1\; p\; -\; 1\; (kp)\; \zeta \; pqk\; (mod\; q)\; \{\backslash \; textstyle\; g\_\; \{p\}\; ^\; \{q\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{p-1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; zeta\; \_\; \{p\}\; ^\; \{qk\}\; \{\backslash \; pmod\; \{q\}\}\}$, если мы позволим a быть мультипликативной обратной величиной $q\; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$, тогда мы можем переписать эту сумму как $(ap)\; \sum \; t\; =\; 1\; p\; -\; 1\; (tp)\; \zeta \; pt\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; sum\; \_\; \{t\; =\; 1\}\; ^\; \{p-1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; zeta\; \_\; \{p\}\; ^\; \{t\}\}$с использованием замены $t\; =\; qk\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; qk\}$, что не соответствует t влияет на диапазон от суммы. Поскольку $(ap)\; =\; (qp)\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\}$, тогда мы можем написать $gpq\; \equiv \; (qp)\; gp\; (mod\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{p\}\; ^\; \{q\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; g\_\; \{p\}\; \{\backslash \; pmod\; \{q\}\}\}$Использование этих двух выражений для $gpq\; (mod\; q)\; \{\backslash \; textstyle\; g\_\; \{p\}\; ^\; \{q\}\; \{\backslash \; pmod\; \{q\}\}\}$, и умножение на $gp\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{p\}\}$дает $(qp)\; p\; \ast \; \equiv \; (p\; \ast \; q)\; p\; \ast \; (mod\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; p\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; p\; ^\; \{*\}\; \{\; \backslash \; pmod\; \{q\}\}\}$Поскольку $p\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{*\}\}$обратимо по модулю q, а символы Лежандра равны либо ± 1, мы можем заключить, что $(qp)\; =\; (p\; \ast \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\}$

Представленное здесь доказательство отнюдь не является самым простым из известных; тем не менее, он довольно глубокий в том смысле, что он мотивирует некоторые идеи взаимности Артина.

Установка циклотомического поля

Предположим, что p - нечетное простое число. Действие происходит внутри кругового поля $L\; =\; Q\; (\zeta \; p),\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{p\}),\}$где ζ p - примитивный корень p из единицы. Основная теория круговых полей сообщает нам, что существует канонический изоморфизм

$G\; =\; Gal\; \; (L\; /\; Q)\; \cong \; (Z\; /\; p\; Z)\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (L\; /\; \backslash \; mathbf\; \{\; Q\})\; \backslash \; cong\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$

, который посылает автоморфизм σ a, удовлетворяющий $\sigma \; a\; (\zeta \; p)\; знак\; равно\; \zeta \; pa\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{a\}\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{p\})\; =\; \backslash \; zeta\; \_\; \{p\}\; ^\; \{a\}\}$к элементу $a\; \in \; (Z\; /\; p\; Z)\; \times .\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; (\backslash \; mathbb\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; mathbb\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}.\}$В частности, этот изоморфизм инъективен, потому что мультипликативная группа поля является циклической группой: $F\; \times \; \cong \; C\; p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; times\}\; \backslash \; cong\; C\_\; \{p-1\}\}$.

Теперь рассмотрим подгруппу H квадратов элементов G.Поскольку G является циклическим, H имеет индекс 2 в G, поэтому подполе, соответствующее H при соответствии Галуа, должно быть квадратичным расширением Q . (Фактически, это единственное квадратичное расширение Q, содержащееся в L.) Теория гауссовского периода определяет, какое из них; оказывается $Q\; (p\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\})\}$, где

$p\; \ast \; =\; \{\; p,\; если\; p\; \equiv \; 1\; (mod\; 4),\; -\; p,\; если\; p\; \equiv \; 3\; (mod\; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{*\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rl\}\; p\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; p\; \backslash \; Equiv\; 1\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; pmod\; \{4\}\},\; \backslash \backslash \; -p\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; p\; \backslash \; Equiv\; 3\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; pmod\; \{4\}\}.\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right.\}$

На этом этапе мы начинаем видеть намек на квадратичная взаимность, возникающая из нашей структуры. С одной стороны, образ H в $(Z\; /\; p\; Z)\; \times \; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; p\; \backslash \; mathbf\; \{Z\})\; ^\; \{\backslash \; times\}\}$состоит в точности (ненулевых) квадратичных вычетов по модулю p. С другой стороны, H связано с попыткой извлечь квадратный корень из p (или, возможно, из -p). Другими словами, если теперь q простое число (отличное от p), мы показали, что

$(q\; p)\; =\; 1\; ⟺\; \sigma \; q\; \in \; H\; ⟺\; \sigma \; q\; фиксирует\; Q\; (p\; \ast ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; iff\; \backslash \; quad\; \backslash \; sigma\; \_\; \{q\}\; \backslash \; in\; H\; \backslash \; quad\; \backslash \; iff\; \backslash \; quad\; \backslash \; sigma\; \_\; \{q\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{fixes\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\}).\}$

Автоморфизм Фробениуса

В кольце целых чисел $OL\; =\; Z\; [\zeta \; p]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{L\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; [\backslash \; zeta\; \_\; \{p\}]\}$, выберите любой неразветвленный простой идеал β, лежащий над q, и пусть $\varphi \; \in \; Gal\; \; (L\; /\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (L\; /\; \backslash \; mathbf\; \{Q\})\}$будет автоморфизмом Фробениуса связано с β; характерным свойством $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$является то, что

$\varphi \; (x)\; \equiv \; x\; q\; (mod\; \beta )\; для\; любого\; x\; \in \; O\; L.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; Equiv\; x\; ^\; \{q\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; pmod\; \{\backslash \; beta\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{для\; любого\}\}\; x\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{\; L\}.\}$

(Существование такого элемента Фробениуса зависит от некоторой части механизма алгебраической теории чисел.)

Ключевой факт о $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, что нам нужно, это то, что для любого подполя K поля L

$\varphi \; фиксирует\; K\; ⟺\; q\; полностью\; разбивается\; в\; K.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{fixes\}\}\; K\; \backslash \; quad\; \backslash \; iff\; \backslash \; quad\; q\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{полностью\; разделяется\; на\}\}\; K.\}$

Действительно, пусть δ - любой идеал в O <246.>K ниже β (и, следовательно, выше q). Тогда, поскольку $\varphi \; (x)\; \equiv \; xq\; (mod\; \delta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\; \backslash \; Equiv\; x\; ^\; \{q\}\; \{\backslash \; pmod\; \{\backslash \; delta\}\}\}$для любого $x\; \in \; OK\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; \_\; \{K\}\}$, мы видим, что $\varphi \; |\; K\; \in \; Gal\; \; (K\; /\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; vert\; \_\; \{K\}\; \backslash \; in\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (K\; /\; \backslash \; mathbf\; \{Q\})\}$- это Фробениус для δ. Стандартный результат для $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$состоит в том, что его порядок равен соответствующей инерционной степени; то есть

$ord\; \; (\varphi \; |\; K)\; =\; [O\; K\; /\; \delta \; O\; K:\; Z\; /\; q\; Z].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ord\}\; (\backslash \; phi\; \backslash \; vert\; \_\; \{K\})\; =\; [O\_\; \{K\}\; /\; \backslash \; delta\; O\_\; \{K\}:\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; /\; q\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}].\}$

Левая часть равна 1 тогда и только тогда, когда φ фиксирует K, а правая часть равна единице тогда и только тогда, когда q полностью разделяется в K, так что мы закончили.

Теперь, поскольку p корней из единицы различны по модулю β (т. Е. Многочлен X - 1 отделим в характеристике q), мы должны иметь

$\varphi \; (\zeta \; p)\; =\; \zeta \; p\; q;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (\backslash \; zeta\; \_\; \{p\})\; =\; \backslash \; zeta\; \_\; \{p\}\; ^\; \{q\};\}$

то есть $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$совпадает с автоморфизм σ q, определенный ранее. Принимая K в качестве интересующего нас квадратичного поля, мы получаем эквивалентность

$(q\; p)\; =\; 1\; ⟺\; q\; полностью\; расщепляется\; в\; Q\; (p\; \ast ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\; \backslash \; quad\; \backslash \; iff\; \backslash \; quad\; q\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{полностью\; разделяется\; на\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\}).\}$

Завершение доказательства

Наконец, мы должны показать, что

$q\; полностью\; распадается\; на\; Q\; (p\; \ast )\; ⟺\; (p\; \ast \; q)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash ,\; \{\backslash \; t\_dv\; \{полностью\; разбивается\; на\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\})\; \backslash \; quad\; \backslash \; iff\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \{\; q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 1.\}$

Как только мы это сделаем, закон квадратичной взаимности немедленно выпадает, поскольку

$(p\; \ast \; q)\; =\; (qp)\; для\; p\; \equiv \; 1\; (mod\; 4),\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{q\}\; \{p\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; p\; \backslash \; Equiv\; 1\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; Pmod\; \{4\}\},\}$

и

$(p\; \ast \; q)\; =\; (-\; pq)\; =\; (-\; 1\; q)\; (pq)\; =\; \{+\; (pq),\; если\; q\; \equiv \; 1\; (mod\; 4),\; -\; (pq),\; если\; q\; \equiv \; 3\; (mod\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; -p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-1\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{случаях\; \}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; t\_dv\; \{if\}\}\; q\; \backslash \; Equiv\; 1\; \{\backslash \; pmod\; \{4\}\},\; \backslash \backslash \; -\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; t\_dv\; \{если\; \}\}\; q\; \backslash \; Equiv\; 3\; \{\backslash \; pmod\; \{4\}\}\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

для $p\; \equiv \; 3\; (mod\; 4)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; Equiv\; 3\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; pmod\; \{4\}\}\}$.

Чтобы показать последнюю эквивалентность, предположим сначала, что $(p\; \ast \; q)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 1.\}$В этом случае существует некоторое целое число x (не делимое на q) такое, что $x\; 2\; \equiv \; p\; \ast \; (mod\; q),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; эквивалент\; p\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; pmod\; \{q\}\},\}$скажем $x\; 2\; -\; p\; \ast \; =\; cq\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; -p\; ^\; \{*\}\; =\; cq\}$для некоторого целого числа c. Пусть $K\; =\; Q\; (p\; \ast ),\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\}),\}$и рассмотрим идеал $(x\; -\; p\; \ast ,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\},\; q)\}$of K. Он, безусловно, разделяет главный идеал (q). Оно не может быть равно (q), поскольку $x\; -\; p\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\}\}$не делится на q. Он не может быть единичным идеалом, потому что тогда

$(x\; +\; p\; \ast )\; =\; (x\; +\; p\; \ast )\; (x\; -\; p\; \ast ,\; q)\; =\; (cq,\; q\; (x\; +\; p\; \ast ))\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\})\; =\; (x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\})\; (x\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\},\; q)\; =\; (cq,\; q\; (\; x\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\}))\}$

делится на q, что снова невозможно. Следовательно, (q) должно расщепляться в K.

И наоборот, предположим, что (q) разбивается, и пусть β простое число из K над q. Тогда $(q)\; ⊊\; \beta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; (q)\; \backslash \; subsetneq\; \backslash \; beta,\}$, поэтому мы можем выбрать

$a\; +\; bp\; \ast \; \in \; \beta \; \setminus \; (q),\; где\; a,\; b\; \in \; Q.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; beta\; \backslash \; setminus\; (q),\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; a,\; b\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}.\}$

На самом деле, поскольку $p\; \ast \; \equiv \; 1\; (mod\; 4),\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Equiv\; 1\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; pmod\; \{4\}\},\}$элементарная теория квадратичной fields означает, что кольцо целых чисел K точно равно $Z\; [1\; +\; p\; \ast \; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\; \}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right],\}$так что знаменатели a и b в худшем случае равны 2. Поскольку q ≠ 2, мы можем смело умножить a и b на 2 и предположить, что $a\; +\; bp\; \ast \; \in \; \beta \; \setminus \; (q),\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; beta\; \backslash \; setminus\; (q),\}$где теперь a и b находятся в Z . В этом случае мы имеем

$(a\; +\; bp\; \ast )\; (a\; -\; bp\; \ast )\; =\; a\; 2\; -\; b\; 2\; p\; \ast \; \in \; \beta \; \cap \; Z\; =\; (q),\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^)\; \{*\}\}\})\; (ab\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\})\; =\; a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; p\; ^\; \{*\}\; \backslash \; in\; \backslash \; beta\; \backslash \; cap\; \backslash \; mathbf\; \{Z\}\; =\; (\; q),\}$

поэтому $q\; \mid \; a\; 2\; -\; b\; 2\; p\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{2\}\; -b\; ^\; \{2\}\; p\; ^\; \{*\}.\}$Однако q не может делить b, поскольку тогда также q делит a, что противоречит нашему выбору $a\; +\; bp\; \ast .\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; \{p\; ^\; \{*\}\}\}.\}$Следовательно, мы можем разделить на b по модулю q, чтобы получить $p\; \ast \; \equiv \; (ab\; -\; 1)\; 2\; (\; mod\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{*\}\; \backslash \; Equiv\; (ab\; ^\; \{-\; 1\})\; ^\; \{2\}\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \{\backslash \; pmod\; \{q\}\}\}$по желанию.

В каждом учебнике по элементарной теории чисел (и немало по теории алгебраических чисел ) есть доказательства квадратичной взаимности. Особого внимания заслуживают два:

Lemmermeyer (2000) имеет множество доказательств (некоторые в упражнениях) как квадратичных, так и высших степенных законов взаимности, а также обсуждает их историю. Его обширная библиография включает цитаты из 196 различных опубликованных доказательств.

Ireland Rosen (1990) также имеет много доказательств квадратичной взаимности (и много упражнений), а также охватывает кубический и биквадратичный случаи. Упражнение 13.26 (стр. 202) говорит само за себя

Подсчитайте количество доказательств закона квадратичной взаимности, приведенных до сих пор в этой книге, и придумайте другое.

• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел, Тексты для выпускников по математике, Vol. 84 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-97329-X
• Леммермейер, Франц (2000), Законы о взаимности : от Эйлера до Эйзенштейна, Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer, ISBN 3-540-66957-4
• Руссо, Г. (1991), «О квадратичном законе взаимности», Журнал Австралийского математического общества, серия A, Cambridge University Press, 51 : 423–425, ISSN 1446-7887
• Вашингтон, Лоуренс К. (2012), Введение в циклотомические поля, Graduate Texts in Mathematics, 83 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4612-7346-2

• Хронология доказательств квадратичного закона взаимности (246 доказательств!)