ProbOnto

ProbOnto
Ключевые слова	Статистика, Распределение вероятностей
Цель	Спроектировать, реализовать и поддерживать базу знаний и онтологию распределений вероятностей.
Продолжительность	2015 -
Веб-сайт	probonto.org

ProbOnto - это база знаний и онтология вероятности d istributions. ProbOnto 2.5 (выпущенный 16 января 2017 г.) содержит более 150 uni - и многомерных распределений и альтернативных параметризаций, более 220 взаимосвязей и формул повторной параметризации, а также поддерживает кодирование эмпирических и одномерное распределения смеси.

• 1 Введение
• 2 База знаний
  • 2.1 Взаимосвязи
  • 2.2 Альтернативные параметризации
    • 2.2.1 Нормальное распределение
      • 2.2.1.1 Повторная параметризация формулы
    • 2.2.2 Логнормальное распределение
      • 2.2.2.1 Примеры повторной параметризации
• 3 Онтология
• 4 ProbOnto в PharmML
  • 4.1 Пример использования
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

ProbOnto изначально был разработан для облегчения кодирования нелинейно-смешанных моделей эффектов и их аннотации на языке разметки фармакометрии (PharmML), разработанном DDMoRe, проект Innovative Medicines Initiative. Однако ProbOnto, благодаря своей общей структуре, может применяться на других платформах и в инструментах моделирования для кодирования и аннотирования различных моделей, применимых к дискретным (например, count, категориальному и time-to-event ) и непрерывные данные.

Обзор поддерживаемых распределений в ProbOnto, версия 2.5 и взаимосвязи между одномерными распределениями вероятностей.

В базе знаний хранятся данные для каждого распределения:

• Плотность вероятности или функции массы и, если возможно, кумулятивного распределения, опасности и выживаемости функций.
• Связанные величины, такие как среднее, медиана, мода и дисперсия.
• Параметры и поддерживают определения / диапазона и тип распределения.
• Код LaTeX и R для математических функций.
• Определение модели и ссылки.

Взаимосвязи

ProbOnto хранит в версии 2.5 более 220 взаимосвязей между одномерными распределениями с повторной параметризацией в качестве особого случая, см. Рисунок. Хотя в литературе этой формой отношений часто пренебрегают, и авторы концентрируют одну конкретную форму для каждого распределения, они имеют решающее значение с точки зрения совместимости. ProbOnto фокусируется на этом аспекте и предлагает более 15 дистрибутивов с альтернативными параметризациями.

Альтернативные параметризации

Многие распределения определяются с помощью математически эквивалентных, но алгебраически различных формул. Это приводит к проблемам при обмене моделями между программными инструментами. Следующие примеры иллюстрируют это.

Нормальное распределение

Нормальное распределение можно определить по крайней мере тремя способами

• Нормальное1 (μ, σ) с средним, μ и стандартным отклонением, σ

$P\; (x;\; \mu ,\; \sigma )\; =\; 1\; \sigma \; 2\; \pi \; exp\; \; [-\; (x\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\}),\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; [\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Big]\}\}$

• Нормальный2 (μ, υ) со средним значением, μ и дисперсией, υ = σ ^ 2 или

$п\; (х;\; \mu ,\; v)\; знак\; равно\; 1\; v\; 2\; \pi \; ехр\; \; [-\; (x\; -\; \mu )\; 2\; 2\; v]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\; \})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{v\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; [\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\; \}\; \{2v\}\}\; \{\backslash \; Big]\}\}$

• Нормальный3 (μ, τ) со средним, μ и точностью, τ = 1 / υ = 1 / σ ^ 2.

$P\; (Икс;\; \mu ,\; \tau )\; знак\; равно\; \tau \; 2\; \pi \; [-\; \tau \; 2\; (x\; -\; \mu )\; 2]\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (x;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; tau\}\})\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \{\backslash \; Big\; [\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{2\}\}\; (x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; Big]\}\}$

.

Формулы повторной параметризации

Следующие формулы c может использоваться для повторного вычисления трех различных форм нормального распределения (мы используем сокращения, например, $N\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N1\}$вместо $N\; ormal\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; Normal1\}$и т. Д.)

• $N\; 1\; (\mu ,\; \sigma )\; \to \; N\; 2\; (\mu ,\; v):\; v\; =\; \sigma \; 2\; и\; N\; 2\; (\mu ,\; v)\; \to \; N\; 1\; (\mu ,\; \sigma ):\; \sigma \; =\; v;\; \{\backslash \; displaystyle\; N1\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma)\; \backslash \; rightarrow\; N2\; (\backslash \; mu,\; v):\; v\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{and\}\}\; N2\; (\backslash \; mu,\; v)\; \backslash \; rightarrow\; N1\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma):\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{v\}\};\}$

• $N\; 1\; (\mu ,\; \sigma )\; \to \; N\; 3\; (\mu ,\; \tau ):\; \tau \; =\; 1\; /\; \sigma \; 2\; и\; N\; 3\; (\mu ,\; \tau )\; \to \; N\; 1\; (\mu ,\; \sigma ):\; \sigma \; =\; 1\; /\; \tau ;\; \{\backslash \; displaystyle\; N1\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma)\; \backslash \; rightarrow\; N3\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; tau):\; \backslash \; tau\; =\; 1\; /\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{and\}\}\; N3\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; tau)\; \backslash \; rightarrow\; N1\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma):\; \backslash \; sigma\; =\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; tau\}\};\}$

• $N\; 2\; (\mu ,\; v)\; \to \; N\; 3\; (\mu ,\; \tau ):\; \tau \; =\; 1\; /\; v\; и\; N\; 3\; (\mu ,\; \tau )\; \to \; N\; 2\; (\mu ,\; v):\; v\; =\; 1\; /\; \tau .\; \{\backslash \; Displaystyle\; N2\; (\backslash \; му,\; v)\; \backslash \; rightarrow\; N3\; (\backslash \; му,\; \backslash \; тау):\; \backslash \; тау\; =\; 1\; /\; v\; \{\backslash \; t\_dv\; \{и\}\}\; N3\; (\backslash \; му,\; \backslash \; тау)\; \backslash \; rightarrow\; N2\; (\backslash \; му,\; v):\; v\; =\; 1\; /\; \backslash \; tau.\}$

Логнормальное распределение

В случае логнормального распределения есть больше вариантов. Это связано с тем, что его можно параметризовать в терминах параметров в натуральном и логарифмическом масштабе, см. Рисунок.

Обзор параметризации логнормальных распределений. Поддержка различных параметризаций логарифмически-нормального дистрибутивов в различных инструментах и ​​их соединениях, примеры см. в тексте. Отображаемые инструменты: Matlab (поддерживает LN1), MCSim (LN6), Monolix (LN2 LN3), PFIM (LN2 LN3), Phoenix NLME (LN1, LN3 LN6), PopED (LN7), R (язык программирования) (LN1), Simcyp Simulator (LN1), Simulx (LN1) и winBUGS (LN5)

Доступные формы в ProbOnto 2.0:

• LogNormal1 (μ, σ) со средним значением μ и стандартным отклонением σ, обе в логарифмической шкале

$P\; (x;\; \mu ,\; \sigma )\; =\; 1\; x\; \sigma \; 2\; \pi \; ехр\; \; [-\; (журнал\; \; Икс\; -\; \mu )\; 2\; 2\; \sigma \; 2]\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (х;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \{\backslash \; frac\; \{-\; (\backslash \; log\; x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Big]\}\}$

• LogNormal2 (μ, υ) со средним, μ и дисперсией, υ, оба в логарифмической шкале

$P\; (x;\; \mu ,\; v)\; =\; 1\; xv\; 2\; \pi \; exp\; \; [-\; (\; журнал\; \; x\; -\; \mu )\; 2\; 2\; v]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{v\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \{\backslash \; sqrt\; \{v\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \{\backslash \; frac\; \{-\; (\backslash \; log\; x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{2v\}\}\; \{\backslash \; Big]\}\}$

• LogNormal3 (m, σ) с медианной, m, в натуральном масштабе и st андардное отклонение, σ, по логарифмической шкале

$P\; (x;\; м,\; \sigma )\; знак\; равно\; 1\; Икс\; \sigma \; 2\; \pi \; ехр\; \; [-\; [журнал\; \; (х\; /\; м)]\; 2\; 2\; \sigma \; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{m\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\}\; \})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \backslash \; sigma\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \{\backslash \; frac\; \{-\; [\backslash \; log\; (x\; /\; m)]\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Big]\}\}$

• LogNormal4 (m, cv) с медианой, m, и коэффициентом вариации, cv, оба в натуральном масштабе

$П\; (Икс;\; м,\; CV)\; знак\; равно\; 1\; Икс\; журнал\; \; (CV\; 2\; +\; 1)\; 2\; \pi \; ехр\; \; [-\; [журнал\; \; (х\; /\; м)]\; 2\; 2\; журнал\; \; (CV\; 2\; +\; 1)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (x;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{m\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{cv\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; log\; (cv\; ^\; \{2\}\; +1)\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \{\backslash \; frac\; \{-\; [\backslash \; log\; (x\; /\; m)]\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; log\; (cv\; ^\; \{2\}\; +1)\}\}\; \{\backslash \; Big\; ]\}\}$

• LogNormal5 (μ, τ) со средним значением μ и точностью τ, оба в логарифмическом масштабе

$P\; (x;\; \mu ,\; \tau )\; =\; \tau \; 2\; \pi \; 1\; x\; exp\; \; [-\; \tau \; 2\; (журнал\; \; Икс\; -\; \mu )\; 2]\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (х;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; tau\}\})\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; log\; x-\; \backslash \; mu)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Big]\; \}\}$

• LogNormal6 (m, σ g) с медианой, m и геометрическим стандартом де viation, σ g, оба в натуральном масштабе

$P\; (x;\; м,\; \sigma \; г)\; знак\; равно\; 1\; Икс\; журнал\; \; (\sigma \; г)\; 2\; \pi \; ехр\; \; [-\; [журнал\; \; (х\; /\; м)]\; 2\; 2\; журнал\; 2\; \; (\sigma \; г)]\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (х;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; m\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{g\}\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \backslash \; log\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{g\})\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\; \backslash \; Big\; [\}\; \{\backslash \; frac\; \{-\; [\backslash \; log\; (x\; /\; m)]\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; log\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{g\})\}\}\; \{\backslash \; Big]\}\}$

• LogNormal7 (μ N,σN) со средним значением μ N и стандартным отклонением σ N, оба в натуральной шкале

$P\; (x;\; \mu \; N,\; \sigma \; N)\; =\; 1\; x\; 2\; \pi \; журнал\; \; (1\; +\; \sigma \; N\; 2\; /\; \mu \; N\; 2)\; exp\; \; (-\; [журнал\; \; (x)\; -\; журнал\; \; (\mu \; N\; 1\; +\; \sigma \; N\; 2\; /\; \mu \; N\; 2)]\; 2\; 2\; журнал\; \; (\; 1\; +\; \sigma \; N\; 2\; /\; \mu \; N\; 2))\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (x;\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{N\}\}\},\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{N\}\}\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{x\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; log\; \{\backslash \; Big\; (\}\; 1+\; \backslash \; sigma\; \_\; \{N\}\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{N\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; Big)\}\}\}\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Bigg\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \{\backslash \; Big\; [\}\; \backslash \; log\; (x)\; -\; \backslash \; log\; \{\backslash \; Big\; (\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{N\}\})\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; N\}\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{N\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \{\backslash \; Big]\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; log\; \{\backslash \; Big\; (\}\; 1+\; \backslash \; sigma\; \_\; \{\; N\}\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{N\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; Big)\}\}\}\; \{\backslash \; Bigg)\}\}$

База знаний ProbOnto хранит такие формулы повторной параметризации, позволяющие правильно переводить m одели между инструментами.

Примеры повторной параметризации

Рассмотрим ситуацию, когда нужно запустить модель с использованием двух различных инструментов оптимального проектирования, например ПФИМ и ПопЕД. Первый поддерживает LN2, второй - параметризацию LN7 соответственно. Следовательно, требуется повторная параметризация, иначе два инструмента дадут разные результаты.

Для перехода $LN\; 2\; (\mu ,\; v)\; \to \; LN\; 7\; (\mu \; N,\; \sigma \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; LN2\; (\backslash \; mu,\; v)\; \backslash \; rightarrow\; LN7\; (\backslash \; mu\; \_\; \{N\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{N\})\}$справедливы следующие формулы $\mu \; N\; =\; exp\; \; (\mu \; +\; v\; /\; 2)\; и\; \sigma \; N\; =\; exp\; \; (\mu \; +\; v\; /\; 2)\; exp\; \; (v)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{N\}\; =\; \backslash \; exp\; (\backslash \; mu\; +\; v\; /\; 2)\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{N\}\; =\; \backslash \; exp\; (\backslash \; mu\; +\; v\; /\; 2)\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; \backslash \; exp\; (v)\; -1\}\}\}$.

Для перехода $LN\; 7\; (\mu \; N,\; \sigma \; N)\; \to \; LN\; 2\; (\mu ,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; LN7\; (\backslash \; mu\; \_\; \{N\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{N\})\; \backslash \; rightarrow\; LN2\; (\backslash \; mu,\; v)\}$следующие формулы имеют место $\mu \; =\; log\; \; (\mu \; N\; /\; 1\; +\; \sigma \; N\; 2\; /\; \mu \; N\; 2)\; и\; v\; =\; log\; \; (1\; +\; \sigma \; N\; 2\; /\; \mu \; N\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; log\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{N\}\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; \backslash \; sigma\; \_\; \{N\}\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{N\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; v\; =\; \backslash \; log\; (1+\; \backslash \; sigma\; \_\; \{N\}\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; mu\; \_\; \{N\}\; ^\; \{2\})\}$.

Все остальные формулы повторной параметризации можно найти в документе спецификации на веб-сайте проекта.

База знаний построена на основе простой онтологической модели. По своей сути вероятностное распределение является экземпляром своего класса, специализацией класса математических объектов. Распределение относится к ряду других индивидов, которые являются экземплярами различных категорий в онтологии. Например, это параметры и связанные функции, связанные с заданным распределением вероятностей. Эта стратегия позволяет богатое представление атрибутов и отношений между объектами предметной области. Онтологию можно рассматривать как концептуальную схему в области математики, и она была реализована как база знаний PowerLoom. Версия OWL создается программно с использованием Jena API.

Вывод для ProbOnto предоставляется в качестве дополнительных материалов и публикуется на веб-сайте probonto.org или по ссылкам с него. Версия OWL ProbOnto доступна через службу поиска онтологий (OLS), чтобы упростить поиск и визуализацию контента. Кроме того, OLS API предоставляет методы для программного доступа к ProbOnto и его интеграции в приложения. ProbOnto также зарегистрирован на портале BioSharing.

Интерфейс PharmML предоставляется в форме общей схемы XML для определения распределений и их параметров. Определение функций, таких как функция плотности вероятности (PDF), функция вероятности-массы (PMF), функция риска (HF) и функция выживания (SF), можно получить с помощью методов, представленных в схеме PharmML.

Пример использования

В этом примере показано, как расширенное нулем распределение Пуассона кодируется с использованием его кодового имени и объявления его параметров («rate» и «вероятностьOfZero»). Параметры модели Лямбда и P0 присваиваются кодовым названиям параметров.

Чтобы однозначно указать любой данный дистрибутив с помощью ProbOnto, достаточно объявить его кодовое имя и кодовые имена его параметров. Дополнительные примеры и подробную спецификацию можно найти на веб-сайте проекта.

• Список вероятностных распределений
• Онтология (information_science)
• Отношения между вероятностными распределениями
• Язык веб-онтологий

• Веб-сайт ProbOnto
• Диаграмма Лемиса
• Ultimate Univariate Probability Distribution Explorer - скорее всего, самая большая бесплатная коллекция одномерных распределений и их функций.
• UncertML