В теории вероятностей и статистике, геометрическое стандартное отклонение (GSD ) описывает, насколько разбросаны наборы чисел, предпочтительные среднее - это среднее геометрическое. Для таких данных может быть предпочтительнее более обычное стандартное отклонение. Обратите внимание, что в отличие от обычного арифметического стандартного отклонения, геометрическое стандартное отклонение является мультипликативным фактором и, таким образом, имеет безразмерный, а не тот же размер, что и входные значения. Таким образом, геометрическое стандартное отклонение более уместно называть геометрическим SD-фактором . При использовании геометрического SD-фактора в сочетании со средним геометрическим его следует описывать как «диапазон от (среднее геометрическое, деленное на геометрический SD-фактор) до (среднее геометрическое, умноженное на геометрический SD-фактор), и нельзя прибавлять / вычитать «геометрическое стандартное отклонение» от / до среднего геометрического.
Если среднее геометрическое набора чисел {A 1, A 2,..., A n } обозначается как μ g, тогда геометрическое стандартное отклонение составляет
Если среднее геометрическое равно
, то взятие натурального логарифма обеих частей приводит к
Логарифм продукта представляет собой сумму логарифмы (при условии, что положительно для всех ), поэтому
Теперь можно увидеть, что - это среднее арифметическое набора , поэтому стандартное арифметическое отклонение этого же набора должно быть
Это упрощается до
Геометрическая версия стандартной оценки :
Если известны среднее геометрическое, стандартное отклонение и z-оценка базы данных, то исходная оценка может быть восстановлена с помощью
Геометрическое стандартное отклонение используется как мера нормальный логарифм дисперсия, аналогичная среднему геометрическому. Поскольку логарифмическое преобразование логарифмически-нормального распределения приводит к нормальному распределению, мы видим, что геометрическое стандартное отклонение является экспоненциальным значением стандартного отклонения логарифмически преобразованных значений, то есть .
Таким образом, среднее геометрическое и стандартное геометрическое отклонение выборки данных из нормально распределенной генеральной совокупности можно использовать для определения границ доверительных интервалов аналогично тому, как среднее арифметическое и стандартное отклонение используются для ограничения доверительных интервалов для нормального распределения. См. Подробности в разделе нормальное логарифмическое распределение.
.