Стандартное геометрическое отклонение

редактировать

В теории вероятностей и статистике, геометрическое стандартное отклонение (GSD ) описывает, насколько разбросаны наборы чисел, предпочтительные среднее - это среднее геометрическое. Для таких данных может быть предпочтительнее более обычное стандартное отклонение. Обратите внимание, что в отличие от обычного арифметического стандартного отклонения, геометрическое стандартное отклонение является мультипликативным фактором и, таким образом, имеет безразмерный, а не тот же размер, что и входные значения. Таким образом, геометрическое стандартное отклонение более уместно называть геометрическим SD-фактором . При использовании геометрического SD-фактора в сочетании со средним геометрическим его следует описывать как «диапазон от (среднее геометрическое, деленное на геометрический SD-фактор) до (среднее геометрическое, умноженное на геометрический SD-фактор), и нельзя прибавлять / вычитать «геометрическое стандартное отклонение» от / до среднего геометрического.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Выведение
  • 3 Геометрическая стандартная оценка
  • 4 Связь с логнормальным распределением
  • 5 Ссылки
  • 6 См. Также
  • 7 Внешние ссылки

Определение

Если среднее геометрическое набора чисел {A 1, A 2,..., A n } обозначается как μ g, тогда геометрическое стандартное отклонение составляет

σ g = exp ⁡ (∑ i = 1 n (ln ⁡ A i μ g) 2 n). (1) {\ displaystyle \ sigma _ {g} = \ exp \ left ({\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ ln {A_ {i} \ over) \ mu _ {g}} \ right) ^ {2} \ over n}} \ right). \ qquad \ qquad (1)}{\ displaystyle \ sigma _ {g} = \ exp \ left ({\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ ln {A_ {i } \ over \ mu _ {g}} \ right) ^ {2} \ over n}} \ right). \ qquad \ qquad (1)}

Вывод

Если среднее геометрическое равно

μ g = A 1 A 2 ⋯ A nn. {\ displaystyle \ mu _ {g} = {\ sqrt [{n}] {A_ {1} A_ {2} \ cdots A_ {n}}}. \,}\ mu _ {g} = {\ sqrt [{n}] {A_ {1} A_ {2} \ cdots A_ {n}}}. \,

, то взятие натурального логарифма обеих частей приводит к

ln ⁡ μ g = 1 n ln ⁡ (A 1 A 2 ⋯ A n). {\ displaystyle \ ln \ mu _ {g} = {1 \ over n} \ ln (A_ {1} A_ {2} \ cdots A_ {n}).}\ ln \ mu _ {g} = {1 \ over n} \ ln (A_ {1} A_ {2} \ cdots A_ {n}).

Логарифм продукта представляет собой сумму логарифмы (при условии, что A i {\ displaystyle A_ {i}}A_ {i} положительно для всех i {\ displaystyle i}i ), поэтому

ln ⁡ μ g = 1 n [ln A 1 + ln ⁡ A 2 + ⋯ + ln ⁡ A n]. {\ displaystyle \ ln \ mu _ {g} = {1 \ over n} [\ ln A_ {1} + \ ln A_ {2} + \ cdots + \ ln A_ {n}]. \,}\ ln \ mu _ {g} = {1 \ over n} [\ ln A_ {1} + \ ln A_ {2} + \ cdots + \ ln A_ {n}]. \,

Теперь можно увидеть, что ln μ g {\ displaystyle \ ln \, \ mu _ {g}}\ ln \, \ mu _ {g} - это среднее арифметическое набора {ln ⁡ A 1, пер A 2,…, пер ⁡ A n} {\ displaystyle \ {\ ln A_ {1}, \ ln A_ {2}, \ dots, \ ln A_ {n} \}}\ {\ ln A_ {1}, \ ln A_ {2}, \ dots, \ ln A_ {n} \} , поэтому стандартное арифметическое отклонение этого же набора должно быть

ln ⁡ σ g = ∑ i = 1 n (ln ⁡ A i - ln ⁡ μ g) 2 n. {\ Displaystyle \ ln \ sigma _ {g} = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ ln A_ {i} - \ ln \ mu _ {g}) ^ {2} \ над n}}.}\ ln \ sigma _ { g} = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} (\ ln A_ {i} - \ ln \ mu _ {g}) ^ {2} \ over n}}.

Это упрощается до

σ g = exp ⁡ ∑ i = 1 n (ln ⁡ A i μ g) 2 n. {\ displaystyle \ sigma _ {g} = \ exp {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ ln {A_ {i} \ over \ mu _ {g}} \ right) ^ {2} \ over n}}.}{\ displaystyle \ sigma _ { g} = \ exp {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ ln {A_ {i} \ over \ mu _ {g}} \ right) ^ {2} \ over n }}.}

Геометрическая стандартная оценка

Геометрическая версия стандартной оценки :

z = ln ⁡ (x) - ln ⁡ (μ g) ln ⁡ σ g = log σ g ⁡ (x / μ g). {\ displaystyle z = {{\ ln (x) - \ ln (\ mu _ {g})} \ over \ ln \ sigma _ {g}} = {\ log _ {\ sigma _ {g}} (x / \ mu _ {g})}. \,}z = {{\ ln (x) - \ ln (\ mu _ {g})} \ over \ ln \ sigma _ {g}} = {\ log _ {{\ sigma _ {g}}} (x / \ mu _ {g})}. \,

Если известны среднее геометрическое, стандартное отклонение и z-оценка базы данных, то исходная оценка может быть восстановлена ​​с помощью

х = μ g σ gz. {\ displaystyle x = \ mu _ {g} {\ sigma _ {g}} ^ {z}.}x = \ mu _ {g} {\ sigma _ {g}} ^ {z}.

Отношение к логнормальному распределению

Геометрическое стандартное отклонение используется как мера нормальный логарифм дисперсия, аналогичная среднему геометрическому. Поскольку логарифмическое преобразование логарифмически-нормального распределения приводит к нормальному распределению, мы видим, что геометрическое стандартное отклонение является экспоненциальным значением стандартного отклонения логарифмически преобразованных значений, то есть σ g = exp ⁡ (stdev ⁡ (пер ⁡ (A))) {\ displaystyle \ sigma _ {g} = \ exp (\ operatorname {stdev} (\ ln (A)))}\ sigma _ {g} = \ exp (\ operatorname {stdev} (\ ln ( A))) .

Таким образом, среднее геометрическое и стандартное геометрическое отклонение выборки данных из нормально распределенной генеральной совокупности можно использовать для определения границ доверительных интервалов аналогично тому, как среднее арифметическое и стандартное отклонение используются для ограничения доверительных интервалов для нормального распределения. См. Подробности в разделе нормальное логарифмическое распределение.

Ссылки

См. Также

.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-21 03:44:55
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте