Комплекс Пуанкаре

редактировать

В математике, и особенно топологии, комплекс Пуанкаре (названный в честь математика Анри Пуанкаре ) является абстракцией сингулярно-цепного комплекса замкнутого, ориентируемого многообразия.

Особые гомологии и группы когомологий замкнутого ориентируемого многообразия связаны двойственностью Пуанкаре. Двойственность Пуанкаре - это изоморфизм между гомологиями и группами когомологий. Цепной комплекс называется комплексом Пуанкаре, если его группы гомологий и группы когомологий обладают абстрактными свойствами двойственности Пуанкаре.

A Пространство Пуанкаре - топологическое пространство, сингулярный цепной комплекс которого является комплексом Пуанкаре. Они используются в теории хирургии для алгебраического анализа многообразий.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Определение

Пусть $C = {C i } {\ displaystyle C = \ {C_ {i} \}}$ ${\ displaystyle C = \ {C_ {i} \}}$ быть цепным комплексом из абелевых групп, и предположим, что группы гомологий $C {\ displaystyle C}$ $C$ являются конечно сгенерированными. Предположим, что существует карта $Δ: C → C ⊗ C {\ displaystyle \ Delta \ двоеточие C \ to C \ otimes C}$ ${\ displaystyle \ Delta \ двоеточие C \ to C \ otimes C}$ , называемая цепно-диагональной, со свойством, что $(ε ⊗ 1) Δ знак равно (1 ⊗ ε) Δ {\ displaystyle (\ varepsilon \ otimes 1) \ Delta = (1 \ otimes \ varepsilon) \ Delta}$ ${\ displaystyle (\ varepsilon \ otimes 1) \ Delta = (1 \ otimes \ varepsilon) \ Delta}$ . Здесь карта $ε: C 0 → Z {\ displaystyle \ varepsilon \ двоеточие C_ {0} \ to \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ двоеточие C_ {0} \ to \ mathbb {Z}}$ обозначает кольцевой гомоморфизм, известный как карта увеличения, которая определяется следующим образом: если $n 1 σ 1 + ⋯ + nk σ k ∈ C 0 {\ displaystyle n_ {1} \ sigma _ {1} + \ cdots + n_ {k} \ sigma _ {k} \ in C_ {0}}$ ${\ displaystyle n_ {1} \ sigma _ {1} + \ cdots + n_ {k} \ sigma _ {k} \ in C_ {0}}$ , тогда $ε (n 1 σ 1 + ⋯ + nk σ k) = n 1 + ⋯ + nk ∈ Z { \ Displaystyle \ varepsilon (n_ {1} \ sigma _ {1} + \ cdots + n_ {k} \ sigma _ {k}) = n_ {1} + \ cdots + n_ {k} \ in \ mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle \ varepsilon (n_ {1} \ sigma _ {1} + \ cdots + n_ {k} \ sigma _ {k}) = n_ {1} + \ cdots + n_ {k} \ in \ mathbb {Z}}$ .

Используя диагональ, как определено выше, мы можем формировать пары, а именно:

ρ: H k (C) ⊗ H n (C) → H n - k (C), где ρ (x ⊗ y) знак равно Икс ⌢ Y {\ Displaystyle \ rho \ двоеточие H ^ {k} (C) \ otimes H_ {n} (C) \ to H_ {nk} (C), \ {\ text {where}} \ \ \ rho (x \ otimes y) = x \ frown y}

{\ displaystyle \ rho \ двоеточие H ^ {k} (C) \ otimes H_ {n } (C) \ к H_ {nk} (C), \ {\ text {where}} \ \ \ rho (x \ otimes y) = x \ frown y}

где $⌢ {\ displaystyle \ scriptstyle \ frown}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ frown }$ обозначает cap product.

Цепной комплекс C называется геометрическим, если цепочка- гомотопия существует между $Δ {\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ и $τ Δ {\ displaystyle \ tau \ Де lta}$ ${\ displaystyle \ tau \ Delta}$ , где $τ: C ⊗ C → C ⊗ C {\ displaystyle \ tau \ двоеточие C \ otimes C \ to C \ otimes C}$ ${\ displaystyle \ tau \ двоеточие C \ otimes C \ to C \ otimes C}$ - транспонирование / перевернуть, задаваемое $τ (a ⊗ b) = b ⊗ a {\ displaystyle \ tau (a \ otimes b) = b \ otimes a}$ ${\ displaystyle \ tau ( a \ otimes b) = b \ otimes a}$ .

Геометрический цепной комплекс называется алгебраическим комплексом Пуанкаре размерности n, если существует бесконечный- упорядоченный элемент n-мерной группы гомологий, скажем $μ ∈ H n (C) {\ displaystyle \ mu \ in H_ {n } (C)}$ ${\ displaystyle \ mu \ in H_ {n } (C)}$ , такие, что карты, заданные

(⌢ μ): H k (C) → H n - k (C) {\ displaystyle (\ frown \ mu) \ двоеточие H ^ {k} (C) \ to H_ {nk} (C)}

{\ displaystyle ( \ frown \ mu) \ двоеточие H ^ {k} (C) \ to H_ {nk} (C)}

- это группа изоморфизмов для всех $0 ≤ k ≤ n {\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n }$ $0 \ le qk \ leq n$ . Эти изоморфизмы являются изоморфизмами двойственности Пуанкаре.

Пример

Особый цепной комплекс ориентируемого замкнутого n-мерного многообразия $M {\ displaystyle M}$ $M$ является примером комплекса Пуанкаре, в котором изоморфизмы двойственности задаются ограничением фундаментальным классом $[M] ∈ H n (M; Z) {\ displaystyle [M] \ in H_ {n} (M; \ mathbb {Z})}$ ${\ displaystyle [M] \ in H_ {n} (M; \ mathbb {Z})}$ .

См. также

пространство Пуанкаре

Ссылки

Внешние ссылки

Классификация комплексов Пуанкаре через фундаментальные тройки на Атлас коллектора