Идеал увеличения

редактировать

В алгебре идеал увеличения - это идеал которое может быть определено в любом групповом кольце.

Если G является группой, а R коммутативным кольцом, существует кольцевой гомоморфизм $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , называемая карта увеличения, из группового кольца $R [G] {\ displaystyle R [G] }$ $R inventory$ до $R {\ displaystyle R}$ $R$ , определяемый взятием (конечной) суммы $∑ rigi {\ displaystyle \ sum r_ {i} g_ {i} }$ $\ sum r_ {i} g_ { i}$ - $ri. {\ displaystyle \ sum r_ {i}.}$ $\ sum r_ {i}.$ (Здесь $ri ∈ R {\ displaystyle r_ {i} \ in R}$ $r_ {i} \ in R$ и $gi ∈ G { \ displaystyle g_ {i} \ in G}$ ${\ displaystyle g_ {i} \ in G}$ .) В менее формальных терминах $ε (g) = 1 R {\ displaystyle \ varepsilon (g) = 1_ {R}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon (g) = 1_ {R}}$ для любого элемента $g ∈ G {\ displaystyle g \ in G}$ $г \ в G$ , $ε (r) = r {\ displaystyle \ varepsilon (r) = r}$ ${\ displaystyle \ varepsilon (r) = r}$ для любого элемента $r ∈ R {\ displaystyle r \ in R}$ $r \ in R$ , а $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ затем расширяется до гомоморфизма модулей R- очевидным образом.

идеал увеличения A - это ядро $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ и, следовательно, два -сторонний идеал в R [G].

A генерируется различиями $g - g '{\ displaystyle g-g'}$ $g-g'$ элементов группы. Эквивалентно, он также генерируется ${g - 1: g ∈ G} {\ displaystyle \ {g-1: g \ in G \}}$ ${\ displaystyle \ {g-1: g \ in G \}}$ , который является базисом в качестве свободного R -модуль.

Для R и G, как указано выше, групповое кольцо R [G] является примером дополненной R-алгебры. Такая алгебра снабжена кольцевым гомоморфизмом к R. Ядро этого гомоморфизма является идеалом дополнения алгебры.

Идеал увеличения играет основную роль в групповой когомологии, среди других приложений.

Примеры факторов на основе идеала увеличения

Пусть G - группа, а $Z [G] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$ групповое кольцо над целые числа. Обозначим I идеал увеличения $Z [G] {\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$ . Тогда фактор-группа I / I изоморфна абелианизации группы G, определяемой как фактор-группа G по ее коммутатору.
Комплексное представление V группы G - это $C [G] {\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ - модуль. Коинварианты V затем могут быть описаны как частное V по IV, где I - идеал увеличения в $C [G] {\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ .
Другой класс примеров Идеал дополнения может быть ядром counit $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ любой алгебры Хопфа.

Примечания

Список литературы

Д. Л. Джонсон (1990). Презентации групп. Тексты студентов Лондонского математического общества. 15. Издательство Кембриджского университета. С. 149–150. ISBN 0-521-37203-8.
Даммит и Фут, Абстрактная алгебра