Наклонная проекция

редактировать

В этой статье обсуждается отображение 3D-объектов. Для абстрактного математического обсуждения см. Проекция (линейная алгебра).

Классификация наклонной проекции и некоторые 3D-проекции

Косая проекция - это простой тип технического чертежа графической проекции, используемый для создания двухмерных изображений трехмерных объектов. Объекты не входят в перспектива, поэтому они не соответствуют никакому виду объекта, который может быть получен на практике, но эта техника дает несколько убедительные и полезные изображения.

Наклонная проекция обычно используется в техническом рисовании. кавалерийская проекция использовалась французскими военными художниками в 18 веке для изображения укреплений. Косая проекция использовалась почти повсеместно китайскими художниками с первого или второго веков до 18 века, особенно при изображении прямолинейных объектов, таких как дома.

Содержание

1 Обзор
2 Наклонное изображение
3 Кавалерская проекция
4 Проекция корпуса
- 4.1 Математическая формула
5 Военная проекция
6 Примеры
7 См. Также
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Обзор

Сравнение нескольких типов графической проекции. Наличие одного или нескольких углов 90 ° в графическом изображении обычно является хорошим показателем того, что перспектива наклонная.

Различные графические проекции и способы их создания

Наклонная проекция куба с половинным ракурсом, если смотреть со стороны сторона

Вид сверху сравнения наклонной проекции (слева) и ортогональной проекции (справа) единичного куба (голубой) на плоскость проекции (красный). Коэффициент ракурса (1/2 в этом примере) обратно пропорционален касательной угла (63,43 ° в этом примере) между плоскостью проекции ( окрашены в коричневый цвет) и линии проекции (пунктирные).

Вид спереди того же.

Наклонная проекция - это тип параллельной проекции :

, она проецирует изображение путем пересечения параллельных лучей (проекторы)
из трехмерного исходного объекта с поверхностью рисования (плоскость проекции).

И в наклонной проекции, и в ортогональной проекции параллельные линии исходного объекта создают параллельные линии на проецируемом изображении. Проекторы в наклонной проекции пересекают плоскость проекции под наклонным углом для получения проецируемого изображения, в отличие от перпендикулярного угла, используемого в ортогональной проекции.

Математически параллельная проекция точки $(x, y, z) {\ displaystyle (x, y, z)}$ $(x,y,z)$ на $xy {\ displaystyle xy}$ $xy$ -плоскость дает $(x + az, y + bz, 0) {\ displaystyle (x + az, y + bz, 0)}$ $(x+az,y+bz,0)$ . Константы $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ однозначно определяют параллельную проекцию. Когда $a = b = 0 {\ displaystyle a = b = 0}$ $a = b = 0$ , проекция называется «ортогональной» или «ортогональной». В противном случае он «косой». Константы $a {\ displaystyle a}$ $a$ и $b {\ displaystyle b}$ $b$ не обязательно меньше 1, и, как следствие, длины, измеренные на наклонной проекции. могут быть больше или короче, чем были в космосе. В общей наклонной проекции сферы пространства проецируются как эллипсы на плоскости рисования, а не как круги, как если бы они выглядели из ортогональной проекции.

Рисование под углом также является самым грубым методом рисования «3D», но с ним легче всего справиться. Один из способов рисования с использованием наклонного обзора - это нарисовать сторону объекта, на которую вы смотрите, в двух измерениях, то есть плоской, а затем нарисовать другие стороны под углом 45 °, но вместо того, чтобы рисовать стороны в полный размер, они рисуется только с половиной глубины, создавая «принудительную глубину» - добавляя элемент реализма к объекту. Даже при такой «вынужденной глубине» косые рисунки выглядят для глаза очень неубедительно. По этой причине наклонные изображения редко используются профессиональными дизайнерами или инженерами.

Изображение под наклоном

На чертеже углы, отображаемые между осями, а также коэффициенты (масштаб) ракурса являются произвольными. Точнее, любой заданный набор из трех копланарных сегментов, исходящих из одной точки, может быть истолкован как образующий некоторую наклонную перспективу трех сторон куба. Этот результат известен как теорема Польке от немецкого математика Польке, который опубликовал его в начале 19 века.

Возникающие искажения делают технику непригодной для формального применения., рабочие чертежи. Тем не менее, искажения частично преодолеваются путем совмещения одной плоскости изображения параллельно плоскости проецирования. Таким образом создается изображение истинной формы выбранной плоскости. Это особая категория наклонных проекций, при которой длины вдоль направлений $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ сохраняются, но длины вдоль направления $z {\ displaystyle z}$ $z$ нарисованы под углом с использованием коэффициента уменьшения, что очень часто используется для промышленных чертежей.

Кавалерийская проекция - это название такой проекции, где длина по оси $z {\ displaystyle z}$ $z$ остается немасштабированной.
Проекция шкафа, популярная в иллюстрациях мебели, является примером такой техники, где по оси удаления масштабируется до половины размера (иногда вместо двух третей от оригинала).

Кавалерская проекция

В кавалерийская проекция ( иногда кавалерийская перспектива или высокая точка обзора ) точка объекта представлена тремя координатами: x, y и z. На чертеже он представлен только двумя координатами x ″ и y ″. На плоском чертеже две оси, x и z на рисунке, расположены перпендикулярно, а длины по этим осям нанесены в масштабе 1: 1; таким образом, она похожа на диметрические проекции, хотя это не аксонометрическая проекция, поскольку третья ось, здесь y, проведена по диагонали, образуя произвольный угол с x ″ ось, обычно 30 или 45 °. Длина третьей оси не масштабируется.

Рисовать очень легко, особенно ручкой и бумагой. Таким образом, он часто используется, когда фигура должна быть нарисована от руки, например на черной доске (урок, устный экзамен).

Изображение изначально использовалось для военных укреплений. По-французски «кавалер» (буквально всадник, всадник, см. Кавалерия ) - это искусственный холм за стенами, который позволяет видеть врага над стенами. Кавалерская перспектива - это то, как вещи рассматривались с этой высокой точки. Некоторые также объясняют это название тем, что всадник мог видеть небольшой объект на земле со своего коня.

Проекция кабинета

Термин «выступ корпуса» происходит от его использования в иллюстрации мебельной промышленности. Как и в кавалерской перспективе, одна грань проецируемого объекта параллельна плоскости просмотра, а третья ось проецируется как уходящая под углом (обычно atan (2)или около ~ 63,4 °). В отличие от кавалерийской проекции, где третья ось сохраняет свою длину, в корпусной проекции длина отступающих линий сокращается вдвое.

Математическая формула

В качестве формулы, если плоскость, обращенная к наблюдателю, равна xy, а ось удаления - z, то точка P проецируется следующим образом:

P (xyz) знак равно (Икс + 1 2 Z соз ⁡ α Y + 1 2 Z грех ⁡ α 0) {\ Displaystyle P {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + {\ frac {1} {2}} z \ cos \ alpha \\ y + {\ frac {1} {2}} z \ sin \ alpha \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle P {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + {\ frac {1} {2}} z \ cos \ alpha \\ y + {\ frac {1} {2}} z \ sin \ alpha \\ 0 \ end {pmatrix}}}

Где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - упомянутый угол.

Матрица преобразования :

P = [1 0 1 2 cos ⁡ α 0 1 1 2 sin ⁡ α 0 0 0] {\ displaystyle P = {\ begin { bmatrix} 1 0 {\ frac {1} {2}} \ cos \ alpha \\ 0 1 {\ frac {1} {2}} \ sin \ alpha \\ 0 0 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1 0 {\ frac {1} {2}} \ cos \ alpha \\ 0 1 {\ frac {1} {2}} \ sin \ alpha \\ 0 0 0 \ end {bmatrix}}}

В качестве альтернативы можно было бы удалите одну треть от ведущей руки, выступающей за стартовую поверхность, что даст тот же результат.

Военная проекция

В военной проекции углы осей x и z, а также оси y и z составляют 45 °, что означает, что угол между осью x и Ось Y - 90 °. То есть плоскость xz не перекошена. Однако он поворачивается более чем на 45 °.

Примеры

Помимо технических чертежей и иллюстраций, видеоигры (особенно те, которые предшествовали появлению 3D-игр) также часто используют форма косой проекции. Примеры включают SimCity, Ultima VII, Ultima Online, EarthBound, Paperboy и, в последнее время, Большеберцовая кость.

Цифры слева - орфографические проекции. На рисунке справа изображена наклонная проекция с углом 30 ° и соотношением ⁄ 2.
скамейка для заливки, нарисованная в проекции шкафа под углом 45 ° и соотношением 2/3.
Фрагменты укрепления в перспективе кавалера (Cyclopaedia vol. 1, 1728).
Как координаты используются для размещения точки в перспективе кавалера .
Каменная арка, нарисованная в военной перспективе .
Каменная арка, нарисованная в перспективе кабинета .
Представитель Корейская картина, изображающая два королевских дворца, Чхандоккун и Чангёнгун, расположенных на востоке от главного дворца Кёнбоккун.
Вход и двор ямэна. Фрагмент свитка о Сучжоу Сюй Яна по приказу императора Цяньлуна. 18 век
План 18 века Порт-Рояль-де-Шам, нарисованный в военной проекции
Вариант военной проекции используется в видеоигре SimCity
A 3D-рендеринг магнитно-резонансная ангиография, показанная в косой проекции, чтобы различить аберрантную подключичную артерию

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

На Викискладе есть материалы, связанные с Наклонной проекцией.

На Викискладе есть СМИ, связанные с проекцией кабинета.

Викискладе есть СМИ, связанные с перспективой кавалера.

Фоли, Джеймс (1997). Компьютерная графика. Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-84840-6.
Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек, Планарные геометрические проекции и преобразования просмотра, Вычислительные исследования ACM, v.10 n.4, п. 465–502, декабрь 1978 г.
Альфа и др. 1988 г. Атлас наклонных карт, Коллекция изображений рельефа выбранных территорий мира (Геологическая служба США )

Внешние ссылки

Illustrator Draftsman 3 2 - Volume 2 Standard Practices and Theory, page 68 from https://web.archive.org/web/20100822152816/http://www.tpub.com : 80 /