Неархимедово упорядоченное поле

В математике неархимедово упорядоченное поле - это упорядоченное поле, которое не удовлетворяет свойству Архимеда. Примерами являются поле Леви-Чивиты, гиперреальные числа, сюрреалистические числа, поле Дена и поле рациональные функции с действительными коэффициентами подходящего порядка.

Архимедово свойство - это свойство определенных упорядоченных полей, таких как рациональные числа или действительные числа, утверждая, что каждые два элемента находятся в пределах целого числа, кратного друг другу. Если поле содержит два положительных элемента x < y for which this is not true, then x/y must be an бесконечно малое, больше нуля, но меньше любого целого числа единичной дроби. Следовательно, отрицание архимедова свойства равносильно существованию бесконечно малых величин.

Гиперреальные поля, неархимедовы упорядоченные поля, содержащие действительные числа в качестве подполя, могут использоваться для обеспечения математической основы для нестандартного анализа.

Макс Ден использовал поле Дена, пример неархимедова упорядоченного поля, для построения неевклидовых геометрий, в которых параллельный постулат не выполняется, но, тем не менее, углы треугольников равны π.

Поле рациональных функций над $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$может использоваться для построения упорядоченного поля, которое завершено (в смысле сходимости последовательностей Коши), но не действительные числа. Это завершение можно описать как поле формального ряда Лорана над $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Иногда термин «полный» используется для обозначения того, что выполняется свойство наименьшей верхней границы. При таком значении полный не существует полных неархимедовых упорядоченных полей. Тонкое различие между этими двумя употреблениями слова «завершенный» иногда является источником путаницы.