Сюрреалистический номер

Визуализация сюрреалистического дерева чисел.

В математике, то ирреально номер система представляет собой вполне упорядочен собственный класс, содержащий действительные числа, а также бесконечные и бесконечно малые числа, соответственно, большие или меньшие по абсолютной величине, чем любое положительное действительное число. Сурреальные числа имеют много общих свойств с вещественными числами, включая обычные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление); как таковые, они образуют упорядоченное поле. Сюрреалистические числа, сформулированные в теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя, являются универсальным упорядоченным полем в том смысле, что все другие упорядоченные поля, такие как рациональные числа, действительные числа, рациональные функции, поле Леви-Чивиты, сверхреальные числа, и гиперреальные числа, могут быть реализованы как подполя сюрреалей. Surreals также содержат все трансфинитные порядковые числа ; арифметика над ними дается естественными операциями. Также было показано (в теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя), что гиперреальное поле максимального класса изоморфно сюрреалистическому полю максимального класса.

• 1 История концепции
• 2 Обзор
• 3 Строительство
  • 3.1 Формы
  • 3.2 Числовые формы и их классы эквивалентности
  • 3.3 Порядок
  • 3.4 Индукция
    • 3.4.1 Правило индукции
    • 3.4.2 Свойство дня рождения
• 4 Арифметика
  • 4.1 Отрицание
  • 4.2 Дополнение
  • 4.3 Умножение
  • 4.4 Дивизион
  • 4.5 Последовательность
  • 4.6 Арифметическое закрытие
• 5 Бесконечность
  • 5.1 Содержание S ω
• 6 Трансфинитная индукция
• 7 Степени ω и нормальная форма Конвея
• 8 Пробелы и преемственность
• 9 Экспоненциальная функция
  • 9.1 Другие экспоненты
  • 9.2 Базовая индукция
  • 9.3 Результаты
  • 9.4 Примеры
  • 9.5 Возведение в степень
• 10 номеров Surcomplex
• 11 Игры
• 12 Приложение к комбинаторной теории игр
• 13 Альтернативные реализации
  • 13.1 Расширение знака
    • 13.1.1 Определения
    • 13.1.2 Сложение и умножение
    • 13.1.3 Переписка с реализацией Конвея
  • 13.2 Аксиоматический подход
  • 13.3 Иерархия простоты
  • 13.4 Серия Хана
• 14 Отношение к гиперреалам
• 15 См. Также
• 16 Примечания
• 17 Ссылки
• 18 Дополнительная литература
• 19 Внешние ссылки

Исследования по эндшпиле Go по Конвей привел к первоначальному определению и построению сюрреалистических чисел. Конструкция Конвея была представлена ​​в книге Дональда Кнута 1974 года « Сюрреалистические числа: как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье». В своей книге, которая принимает форму диалога, Кнут ввел термин « сюрреалистические числа» для обозначения того, что Конвей называл просто числами. Позднее Конвей принял термин Кнута и использовал сюрреалистические выражения для анализа игр в своей книге 1976 года « О числах и играх».

Отдельный путь к определению сюрреалей начался в 1907 году, когда Ганс Хан представил ряды Хана как обобщение формальных степенных рядов, а Хаусдорф ввел определенные упорядоченные множества, называемые η α -множествами для ординалов α, и спросил, можно ли найти совместимый упорядоченный ряд. группа или структура поля. В 1962 году Аллинг использовал модифицированную форму ряда Хана для построения таких упорядоченных полей, связанных с определенными ординалами α, а в 1987 году он показал, что, взяв α как класс всех ординалов в его конструкции, дает класс, который является упорядоченным полем, изоморфным сюрреалистические числа.

Если сурреалы рассматриваются как `` просто '' реальное замкнутое поле подходящего размера, то в статье Аллинга 1962 года рассматривается случай сильно недоступных кардиналов, которые, естественно, могут рассматриваться как надлежащие классы, путем отсечения совокупной иерархии вселенной на одну ступень выше кардиналов, и Аллинг, соответственно, заслуживает большой похвалы за открытие / изобретение сюрреалов в этом смысле. На сюрреалах есть важная дополнительная структура поля, которая не видна через эту линзу, а именно понятие `` дня рождения '' и соответствующее естественное описание сюрреалов как результат процесса заполнения вырезок в течение их дней рождения, заданных Конвей. Эта дополнительная структура стала фундаментальной для современного понимания сюрреалистических чисел, и, таким образом, Конвею приписывают открытие сюрреалов в том виде, в каком мы их знаем сегодня - сам Аллинг отдает должное Конвею в статье 1985 года, предшествующей его книге по этому вопросу.

В конструкции Conway, сюрреалистические номера построены в нескольких этапах, наряду с упорядочением ≤ таким, что для любых двух чисел сюрреальных через и б, в ≤ B или B ≤. (Оба могут иметь место, и в этом случае a и b эквивалентны и обозначают одно и то же число.) Каждое число формируется из упорядоченной пары уже построенных подмножеств чисел: данных подмножеств L и R чисел, таких что все члены L равны строго меньше всех членов R, то пара { L | R } представляет собой число промежуточной стоимости между всеми членами L и всех членов R.

Различные подмножества могут в конечном итоге определять одно и то же число: { L | R } и { L ′ | R ′ } может определять одно и то же число, даже если L ≠ L ′ и R ≠ R ′. (Подобное явление происходит, когда рациональные числа определяются как частные от целых чисел: 1/2 и 2/4 - разные представления одного и того же рационального числа.) Строго говоря, сюрреалистические числа являются классами эквивалентности представлений формы { L | R }, обозначающие тот же номер.

На первом этапе построения нет ранее существовавших чисел, поэтому единственное представление должно использовать пустой набор: {| }. Это представление, в котором L и R пусты, называется 0. Последующие этапы дают такие формы, как

{0 | } = 1

{1 | } = 2

{2 | } = 3

а также

{| 0} = -1

{| −1} = −2

{| −2} = −3

Таким образом, целые числа содержатся в сюрреалистических числах. (Вышеупомянутые идентичности являются определениями в том смысле, что правая часть - это имя для левой части. То, что имена действительно подходят, станет очевидным, когда будут определены арифметические операции с сюрреалистическими числами, как в разделе ниже). Точно так же такие представления, как

{0 | 1} = 1/2

{0 | 1/2} = 1/4

{1/2 | 1} = 3/4

возникают, так что диадические рациональные числа (рациональные числа, знаменатели которых являются степенями двойки) содержатся в сюрреалистических числах.

После бесконечного числа этапов становятся доступными бесконечные подмножества, так что любое действительное число a может быть представлено как { L a | R a }, где L a - это множество всех диадических рациональных чисел, меньших, чем a, а R a - это множество всех диадических рациональных чисел, больших, чем a (напоминающее разрез Дедекинда ). Таким образом, реальные числа также включены в сюрреал.

Также есть такие представления, как

{0, 1, 2, 3,... | } = ω

{0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8,...} = ε

где ω - трансфинитное число, большее всех целых чисел, а ε - бесконечно малое число больше 0, но меньше любого положительного действительного числа. Более того, стандартные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) могут быть расширены на эти нереальные числа таким образом, чтобы преобразовать набор сюрреалистических чисел в упорядоченное поле, так что можно говорить о 2ω или ω - 1 и так далее.

Сюрреальные числа строятся индуктивно по эквивалентности классов из пар множеств сюрреальных чисел, ограниченных того условием, что каждый элемент первого набора меньше, чем каждый из элементов второго набора. Конструкция состоит из трех взаимозависимых частей: правила построения, правила сравнения и правила эквивалентности.

Формы

Форма представляет собой пару комплектов сюрреалистических чисел, называется его левый набором и его правильный набор. Форма с левым множеством L и правым множеством R записывается как { L | R }. Когда L и R указаны как списки элементов, фигурные скобки вокруг них опускаются.

Один или оба из левого и правого набора формы могут быть пустым набором. Форма {{} | {}} с пустыми и левыми, и правыми наборами также записывается {| }.

Числовые формы и их классы эквивалентности

Правило строительства

Форма { L | R } является числовым, если пересечение L и R является пустым набором, и каждый элемент R больше, чем каждый элемент L, в соответствии с отношением порядка ≤, заданным правилом сравнения ниже.

Числовые формы помещены в классы эквивалентности; каждый такой класс эквивалентности - сюрреалистическое число. Элементы левого и правого множества форм взяты из вселенной сюрреалистических чисел (не форм, а их классов эквивалентности).

Правило эквивалентности

Две числовые формы x и y являются формами одного и того же числа (лежат в одном классе эквивалентности) тогда и только тогда, когда оба x ≤ y и y ≤ x.

Отношения упорядочения должны быть антисимметричными, то есть, он должен обладать свойством, что х = у (т.е. х ≤ у и у ≤ х оба являются истинными) только тогда, когда х и у являются тем же объектом. Это не относится к сюрреалистическим числовым формам, но верно по построению для сюрреалистических чисел (классов эквивалентности).

Класс эквивалентности, содержащий {| } помечен 0; другими словами, {| } - это форма сюрреалистического числа 0.

порядок

Рекурсивное определение сюрреалистических чисел завершается определением сравнения:

Для заданных числовых форм x = { X L | X R } и y = { Y L | Y R }, x ≤ y тогда и только тогда, когда:

• Не существует x L ∈ X L такого, что y ≤ x L (каждый элемент в левой части x меньше y) и
• Не существует такого y R ∈ Y R, что y R ≤ x (каждый элемент в правой части y больше x).

Сравнение y ≤ c между формой y и сюрреалистическим числом c выполняется путем выбора формы z из класса эквивалентности c и вычисления y ≤ z ; и аналогично для c ≤ x и для сравнения b ≤ c между двумя сюрреалистическими числами.

Индукция

Эта группа определений является рекурсивной и требует некоторой формы математической индукции для определения совокупности объектов (форм и чисел), которые в них встречаются. Единственные сюрреалистические числа, достижимые с помощью конечной индукции, - это двоичные дроби ; более широкая вселенная достижима при некоторой форме трансфинитной индукции.

Правило индукции

• Есть поколение S 0 = {0}, в котором 0 состоит из единственной формы {| }.
• Для любого порядкового номера n генерация S n - это набор всех сюрреалистических чисел, которые генерируются правилом построения из подмножеств.${\ Displaystyle \ чашка _ {я lt;п} S_ {я}}$

Базовый случай на самом деле является частным случаем правила индукции, где 0 используется как метка для "наименьшего порядкового номера". Поскольку не существует S i с i lt;0, выражение является пустым множеством; единственное подмножество пустого множества - это пустое множество, и поэтому S 0 состоит из единственной сюрреалистической формы {| } лежащий в единственном классе эквивалентности 0. ${\ Displaystyle \ чашка _ {я lt;0} S_ {я}}$

Для каждого конечного порядкового числа п, S п является вполне упорядоченным упорядочением индуцированного правила сравнения на сюрреальных числах.

Первая итерация правила индукции дает три числовые формы {| 0} lt;{| } lt;{0 | } (форма {0 | 0} нечисловая, потому что 0≤0). Класс эквивалентности, содержащий {0 | } помечен 1, а класс эквивалентности, содержащий {| 0} помечен -1. Эти три метки имеют особое значение в аксиомах, определяющих кольцо ; они являются аддитивным тождеством (0), мультипликативным тождеством (1) и аддитивным обратным к 1 (−1). Определенные ниже арифметические операции соответствуют этим меткам.

Для каждого i lt; n, поскольку каждая допустимая форма в S i также является допустимой формой в S n, все числа в S i также появляются в S n (как надмножества их представления в S i). (Выражение объединения множеств появляется в нашем правиле построения, а не в более простой форме S n -1, так что определение также имеет смысл, когда n является предельным порядковым номером. ) Числа в S n, которые являются надмножеством некоторого числа в S i считается, что они унаследованы от поколения i. Наименьшее значение α, при котором данное сюрреалистическое число появляется в S α, называется его днем рождения. Например, день рождения 0 равен 0, а день рождения -1 равен 1.

Вторая итерация правила построения дает следующий порядок классов эквивалентности:

{| −1} = {| −1, 0} = {| −1, 1} = {| −1, 0, 1}

lt;{| 0} = {| 0, 1}

lt;{−1 | 0} = {−1 | 0, 1}

lt;{| } = {−1 | } = {| 1} = {−1 | 1}

lt;{0 | 1} = {−1, 0 | 1}

lt;{0 | } = {−1, 0 | }

lt;{1 | } = {0, 1 | } = {−1, 1 | } = {−1, 0, 1 | }

Сравнение этих классов эквивалентности непротиворечиво, независимо от выбора формы. Далее следуют три наблюдения:

1. S 2 содержит четыре новых сюрреалистических числа. Два содержат экстремальные формы: {| −1, 0, 1} содержит все числа из предыдущих поколений в своем правом наборе, а {−1, 0, 1 | } содержит в своем левом наборе все числа из предыдущих поколений. Остальные имеют форму, которая разбивает все числа из предыдущих поколений на два непустых набора.
2. Каждое сюрреалистическое число x, существовавшее в предыдущем «поколении», существует также и в этом поколении и включает по крайней мере одну новую форму: разделение всех чисел, кроме x, из предыдущих поколений на левый набор (все числа меньше x) и правый набор (все числа больше x).
3. Класс эквивалентности числа зависит только от максимального элемента его левого множества и минимального элемента правого множества.

Неформальные интерпретации {1 | } и {| −1} - это "число сразу после 1" и "число непосредственно перед -1" соответственно; их классы эквивалентности помечены 2 и −2. Неформальные интерпретации {0 | 1} и {−1 | 0} - это «число на полпути между 0 и 1» и «число на полпути между -1 и 0» соответственно; их классы эквивалентности помечены ¹ / 2 и - ¹ / 2. Эти ярлыки также будут оправданы правилами сюрреалистического сложения и умножения, приведенными ниже.

Классы эквивалентности на каждом этапе n индукции могут быть охарактеризованы своими n - полными формами (каждая из которых содержит как можно больше элементов предыдущих поколений в ее левом и правом множествах). Либо эта полная форма содержит каждое число из предыдущих поколений в своем левом или правом наборе, и в этом случае это первое поколение, в котором встречается это число; или он содержит все числа из предыдущих поколений, кроме одного, и в этом случае это новая форма этого единственного числа. Мы сохраняем метки предыдущего поколения для этих «старых» номеров и записываем порядок выше, используя старые и новые метки:

-2 lt;-1 lt;- ¹ / 2 lt;0 lt; ¹ / 2 lt;1 lt;2.

Третье наблюдение распространяется на все сюрреалистические числа с конечным левым и правым множествами. (Для бесконечных левых или правых множеств это действительно в измененной форме, поскольку бесконечные множества могут не содержать максимального или минимального элемента.) Число {1, 2 | 5, 8} поэтому эквивалентно {2 | 5}; можно установить, что это формы числа 3, используя свойство дня рождения, которое является следствием приведенных выше правил.

Свойство дня рождения

Форма x = { L | R }, происходящих в генерации п представляет собой число, унаследованный от предыдущего поколения я lt; п, если и только если существует некоторое число S я, что больше всех элементов L и меньше всех элементов R. (Другими словами, если L и R уже разделены числом, созданным на более раннем этапе, тогда x представляет не новое число, а уже созданное.) Если x представляет число из любого поколения, предшествующего n, существует наименьшее такое поколение i, и ровно одно число c с этим наименьшим i в качестве дня рождения лежит между L и R ; x - это форма этого c. Другими словами, он лежит в классе эквивалентности в S n, который является надмножеством представления c в поколении i.

Сложение, отрицание (аддитивное обратное) и умножение сюрреалистических чисел образуют x = { X L | X R } и y = { Y L | Y R } определяются тремя рекурсивными формулами.

Отрицание

Отрицание заданного числа x = { X L | X R } определяется как

${\ displaystyle -x = - \ {X_ {L} | X_ {R} \} = \ {- X_ {R} | -X_ {L} \}}$,

где отрицание набора чисел S задается набором отрицательных элементов S:

${\ Displaystyle -S = \ {- s: s \ in S \}}$.

Эта формула включает отрицание сюрреалистических чисел, появляющихся в левом и правом наборах x, что следует понимать как результат выбора формы числа, оценки отрицания этой формы и взятия класса эквивалентности полученного форма. Это имеет смысл только в том случае, если результат будет одинаковым, независимо от выбора формы операнда. Это можно доказать индуктивно, используя тот факт, что числа, встречающиеся в X L и X R, взяты из поколений, предшествующих поколению, в котором впервые встречается форма x, и с учетом особого случая:

${\ Displaystyle -0 = - \ {| \} = \ {| \} = 0}$.

Добавление

Определение сложения также является рекурсивной формулой:

${\ displaystyle x + y = \ {X_ {L} | X_ {R} \} + \ {Y_ {L} | Y_ {R} \} = \ {X_ {L} + y, x + Y_ {L} | X_ {R} + y, x + Y_ {R} \}}$,

куда

${\ displaystyle X + y = \ {x + y: x \ in X \}, x + Y = \ {x + y: y \ in Y \}}$.

Эта формула включает в себя суммы одного из исходных операндов и сюрреалистического числа, взятого из левого или правого набора другого. Их следует понимать как результат выбора формы числового операнда, выполнения суммы двух форм и взятия класса эквивалентности полученной формы. Это имеет смысл только в том случае, если результат один и тот же, независимо от выбора. формы числового операнда. Это также можно доказать индуктивно с помощью частных случаев:

0 + 0 = {| } + {| } = {| } = 0

х + 0 = х + {| } = { X L + 0 | X R + 0} = { X L | X R } = x

0 + y = {| } + y = {0 + Y L | 0 + Y R } = { Y L | Y R } = y

Последние два случая сами по себе доказываются индуктивно.

Умножение

Рекурсивная формула умножения содержит арифметические выражения, включающие операнды и их левый и правый наборы, такие как выражение, которое появляется в левом наборе произведения x и y. Это следует понимать как набор сюрреалистических чисел, полученный в результате выбора одного числа из каждого набора, который появляется в выражении, и оценки выражения для этих чисел. (При каждой отдельной оценке выражения из каждого набора выбирается только одно число, которое подставляется в каждое место, где этот набор появляется в выражении.) ${\ Displaystyle X_ {R} y + xY_ {R} -X_ {R} Y_ {R}}$

Это, в свою очередь, зависит от способности (а) умножать пары сюрреалистических чисел, взятых из левого и правого наборов x и y, чтобы получить сюрреалистическое число и отрицать результат; (b) умножьте сюрреалистическое число в форме x или y и сюрреалистическое число, взятое из левого или правого набора другого операнда, чтобы получить сюрреалистическое число; и (c) сложить полученные сюрреалистические числа. Это снова связано с особыми случаями, на этот раз содержащими 0 = {| } мультипликативное тождество 1 = {0 | }, и его аддитивная обратная -1 = {| 0}.

${\ Displaystyle {\ begin {align} xy amp; = \ {X_ {L} | X_ {R} \} \ {Y_ {L} | Y_ {R} \} \\ amp; = \ left \ {X_ {L} y + xY_ {L} -X_ {L} Y_ {L}, X_ {R} y + xY_ {R} -X_ {R} Y_ {R} | X_ {L} y + xY_ {R} -X_ {L} Y_ {R}, xY_ {L} + X_ {R} y-X_ {R} Y_ {L} \ right \} \\\ конец {выровнено}}}$

Разделение

Определение деления осуществляется в терминах обратного и умножения:

${\ displaystyle {\ frac {x} {y}} = x \ left ({\ frac {1} {y}} \ right)}$

куда

${\ displaystyle {\ frac {1} {y}} = {\ Bigg \ {} 0, {\ frac {1+ (y_ {R} -y) ({\ frac {1} {y}}) _ { L}} {y_ {R}}}, {\ frac {1+ (y_ {L} -y) ({\ frac {1} {y}}) _ {R}} {y_ {L}}} { \ Bigg |} {\ frac {1+ (y_ {L} -y) ({\ frac {1} {y}}) _ {L}} {y_ {L}}}, {\ frac {1+ ( y_ {R} -y) ({\ frac {1} {y}}) _ {R}} {y_ {R}}} {\ Bigg \}}}$

для положительного. В формуле разрешены только положительные значения, а любые неположительные члены игнорируются (и всегда положительны). Эта формула включает в себя не только рекурсию с точки зрения возможности деления на числа из левого и правого наборов, но также рекурсию с точки зрения членов левого и правого множеств самого себя. всегда является членом левого набора, и его можно использовать для рекурсивного поиска дополнительных терминов. Например, если, то мы знаем, что левый член будет. Это, в свою очередь, означает, что это правильный термин. Это означает, что это левый термин. Значит, это будет правильный термин. Продолжая, это дает. ${\ textstyle y}$${\ textstyle y_ {L}}$${\ textstyle y_ {R}}$${\ textstyle y}$${\ textstyle {\ frac {1} {y}}}$${\ textstyle 0}$${\ textstyle {\ frac {1} {y}}}$${\ textstyle y = 3 = \ {2 | \}}$${\ textstyle {\ frac {1} {3}}}$${\ textstyle 0}$${\ textstyle {\ frac {1+ (2-3) 0} {2}} = 1/2}$${\ textstyle {\ frac {1+ (2-3) \ left ({\ frac {1} {2}} \ right)} {2}} = {\ frac {1} {4}}}$${\ textstyle {\ frac {1+ (2-3) \ left ({\ frac {1} {4}} \ right)} {2}} = {\ frac {3} {8}}}$${\ textstyle {\ frac {1} {3}} = \ {0, {\ frac {1} {4}}, {\ frac {5} {16}}, \ ldots | {\ frac {1} { 2}}, {\ frac {3} {8}}, \ ldots \}}$

Для негатива, дается. Если, то не определено. ${\ textstyle y}$${\ textstyle {\ frac {1} {y}}}$${\ textstyle {\ frac {1} {y}} = - \ left ({\ frac {1} {- y}} \ right)}$${\ displaystyle y = 0}$${\ displaystyle {\ frac {1} {y}}}$

Последовательность

Можно показать, что определения отрицания, сложения и умножения согласованы в том смысле, что:

• Сложение и отрицание определяются рекурсивно в терминах «более простых» шагов сложения и отрицания, так что операции с числами с днем ​​рождения n в конечном итоге будут полностью выражаться в терминах операций с числами с днями рождения меньше n ;
• Умножение определяется рекурсивно в терминах сложений, отрицаний и «более простых» шагов умножения, так что произведение чисел с днем ​​рождения n будет в конечном итоге полностью выражено в терминах сумм и разностей произведений чисел с днями рождения меньше n ;
• Пока операнды представляют собой четко определенные сюрреалистические числовые формы (каждый элемент левого набора меньше, чем каждый элемент правого набора), результаты снова являются четко определенными сюрреалистическими числовыми формами;
• Операции могут быть расширены до чисел (классы эквивалентности форм): результат отрицания x или сложения или умножения x и y будет представлять одно и то же число независимо от выбора формы x и y ; а также
• Эти операции подчиняются аксиомам ассоциативности, коммутативности, аддитивной обратной и дистрибутивности в определении поля с аддитивным тождеством 0 = {| } и мультипликативное тождество 1 = {0 | }.

С помощью этих правил теперь можно убедиться, что числа, найденные в первых нескольких поколениях, были правильно помечены. Правило построения повторяется для получения новых поколений сюрреалей:

S 0 = {0}

S 1 = {−1 lt;0 lt;1}

S 2 = {-2 lt;-1 lt;- ¹ / 2 lt;0 lt; ¹ / 2 lt;1 lt;2}

S 3 = {-3 lt;-2 lt;- ³ / 2 lt;-1 lt;- ³ / 4 lt;- ¹ / 2 lt;- ¹ / 4 lt;0 lt; ¹ / 4 lt; ¹ / 2 lt; ³ / 4 lt;1 lt; ³ / 2 lt;2 lt;3}

S 4 = {-4 lt;-3 lt;... lt;- ¹ / 8 lt;0 lt; ¹ / 8 lt; ¹ / 4 lt; ³ / 8 lt; ¹ / 2 lt; ⁵ / 8 lt; ³ / 4 lt; ⁷ / 8 lt;1 lt; ⁵ / 4 lt; ³ / 2 lt; ⁷ / 4 lt;2 lt; ⁵ / 2 lt;3 lt;4}

Арифметическое закрытие

Для каждого натурального числа (конечного порядкового номера) n все числа, сгенерированные в S n, являются двоичными дробями, т. Е. Могут быть записаны в виде неразложимой дроби, где a и b - целые числа и 0 ≤ b lt; n. ${\ displaystyle {\ frac {a} {2 ^ {b}}}}$

Множество всех сюрреалистических чисел, которые генерируются в некотором S n для конечного n, можно обозначить как S * =. Можно сформировать три класса S 0 = {0}, S + = и S - =, из которых S * является объединением. Ни один отдельный S n не замкнут при сложении и умножении (кроме S 0), но S * замкнут ; это подкольцо рациональных чисел, состоящее из всех двоичных дробей. ${\ Displaystyle \ чашка _ {п \ в N} S_ {п}}$${\ displaystyle \ {x \ in S _ {*}: xgt; 0 \}}$${\ Displaystyle \ {х \ in S _ {*}: х lt;0 \}}$

Существуют бесконечные порядковые числа β, для которых множество сюрреалистических чисел с днем ​​рождения меньше β закрывается при различных арифметических операциях. Для любого порядкового числа α множество сюрреалистических чисел с днем ​​рождения меньше β = ω ^α (с использованием степеней ω) замкнуто при сложении и образует группу; для дня рождения меньше ω ^{ω α} замкнуто относительно умножения и образует кольцо; а для дня рождения меньше (порядкового) эпсилон-числа ε α он замкнут относительно мультипликативного обратного и образует поле. Последние множества также замкнуты относительно экспоненциальной функции, как это определено Крускалом и Гоншором.

Однако всегда можно построить сюрреалистическое число, которое больше любого члена набора сюрреалов (путем включения набора в левой части конструктора), и, таким образом, набор сюрреалистических чисел является правильным классом. Благодаря своим упорядоченным и алгебраическим операциям они составляют упорядоченное поле с оговоркой, что они не образуют множество. На самом деле, это очень особенное упорядоченное поле: самое большое. Любое другое упорядоченное поле может быть встроено в сюрреалы. Класс всех сюрреалистических чисел обозначается символом. ${\ displaystyle \ mathbf {Нет}}$

Определим S ω как множество всех сюрреалистических чисел, порожденных правилом построения из подмножеств S *. (Это тот же шаг индукции, что и раньше, поскольку порядковое число ω - наименьшее порядковое число, которое больше всех натуральных чисел; однако объединение множеств, появляющееся на шаге индукции, теперь представляет собой бесконечное объединение конечных множеств, и поэтому этот шаг может быть выполнено только в теории множеств, которая допускает такое объединение.) Единственное бесконечно большое положительное число встречается в S ω:

${\ displaystyle \ omega = \ {S _ {*} | \} = \ {1,2,3,4,... | \}.}$

S ω также содержит объекты, которые можно идентифицировать как рациональные числа. Так, например, ω-полная форма фракции ¹ / 3 определяется по формуле:

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} = \ {y \ in S _ {*}: 3y lt;1 | y \ in S _ {*}: 3ygt; 1 \}}$.

Продукт этой формы ¹ / 3 с любой формой 3 является формой, левая набор содержит только числа меньше, чем 1, и чье право набор содержит только числа, большие, чем 1; свойство birthday подразумевает, что этот продукт является формой 1.

Мало того, что все остальные рациональные числа входят в S ω ; остальные конечные действительные числа тоже. Например,

${\ displaystyle \ pi = \ {3, {\ frac {25} {8}}, {\ frac {201} {64}},... | 4, {\ frac {7} {2}}, { \ frac {13} {4}}, {\ frac {51} {16}},... \}}$.

Единственные бесконечности в S ω - это ω и −ω; но среди действительных чисел в S ω есть и другие не действительные числа. Рассмотрим наименьшее положительное число в S ω:

${\ Displaystyle \ varepsilon = \ {S _ {-} \ чашка S_ {0} | S _ {+} \} = \ {0 | 1, {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} { 4}}, {\ tfrac {1} {8}},... \} = \ {0 | y \ in S _ {*}: ygt; 0 \}}$.

Это число больше нуля, но меньше всех положительных двоичных дробей. Следовательно, это бесконечно малое число, часто обозначаемое буквой ε. Ω-полная форма ε (соответственно -ε) такая же, как ω-полная форма 0, за исключением того, что 0 включен в левое (соответственно правое) множество. Единственными «чистыми» бесконечно малыми в S ω являются ε и его аддитивный обратный -ε; добавляя их к любой двоичной дроби y, получаем числа y ± ε, которые также лежат в S ω.

Связь между ω и ε можно определить, умножив их отдельные формы, чтобы получить:

ω ε = {ε S + | ω S + + S * + ε S * }.

Это выражение хорошо определено только в теории множеств, допускающей трансфинитную индукцию до. В такой системе можно показать, что все элементы левого множества ω ε являются положительными бесконечно малыми, а все элементы правого множества являются положительными бесконечностями, и поэтому ω ε является самым старым положительным конечным числом, т. Е. 1. Как следствие, ${\ displaystyle S _ {\ omega ^ {2}}}$

¹ / ε = ω.

Некоторые авторы систематически используют ω ⁻¹ вместо символа ε.

Содержание S ω

Для любого x = { L | R } в S ω выполняется ровно одно из следующего:

• L и R оба пусты, и в этом случае x = 0;
• R пусто, и некоторое целое число n ≥0 больше, чем каждый элемент L, и в этом случае x равно наименьшему из таких целых n ;
• R пусто, и нет целого числа n больше любого элемента L, и в этом случае x равно + ω;
• L пусто, и некоторое целое число n ≤0 меньше, чем каждый элемент R, и в этом случае x равно наибольшему целому числу n ;
• L пусто, и нет целого числа n меньше, чем каждый элемент R, и в этом случае x равно -ω;
• L и R оба непусты, и:
  • Некоторая двоичная дробь y находится «строго между» L и R (больше всех элементов L и меньше всех элементов R), и в этом случае x равно самой старой такой двоичной дроби y ;
  • Никакая двоичная дробь y не лежит строго между L и R, но некоторая двоичная дробь больше или равна всем элементам L и меньше всех элементов R, и в этом случае x равно y + ε;${\ displaystyle y \ in L}$
  • Никакая двоичная дробь y не лежит строго между L и R, но некоторая двоичная дробь больше всех элементов L и меньше или равна всем элементам R, и в этом случае x равно y -ε;${\ displaystyle y \ in R}$
  • Каждая двоичная дробь либо больше, чем некоторый элемент из R, либо меньше, чем некоторый элемент из L, и в этом случае x - некоторое действительное число, которое не имеет представления в виде двоичной дроби.

S ω не является алгебраическим полем, потому что оно не замкнуто относительно арифметических операций; рассмотрим ω + 1, форма которого не содержится ни в одном номере в S ω. Максимальное подмножество S ω, замкнутое относительно (конечной серии) арифметических операций, является полем действительных чисел, полученным путем исключения бесконечностей ± ω, бесконечно малых ± ε и бесконечно малых соседей y ± ε каждой ненулевой двоичной дроби у. ${\ Displaystyle \ {1,2,3,4,... | \} + \ {0 | \} = \ {1,2,3,4,..., \ omega | \}}$

Это построение действительных чисел отличается от дедекиндовыми сокращений из стандартного анализа в том, что она начинается с двоичными дробями, а не общих рациональных чисел и, естественно, идентифицирует каждую двоичную дробь в S со своими формами предыдущих поколений. (Ω-полные формы вещественных элементов S ω находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными числами, полученными дедекиндовыми разрезами, при условии, что дедекиндовы действительные числа, соответствующие рациональным числам, представлены формой, в которой точка разреза опущена как из левого, так и из правого множеств.) Рациональные элементы не являются определяемой стадией в сюрреалистической конструкции; они просто подмножество Q в S ω, содержащее все элементы x такие, что x b = a для некоторого a и некоторого ненулевого b, оба взяты из S *. Демонстрируя, что Q закрывается при отдельных повторениях сюрреалистических арифметических операций, можно показать, что это поле; и, показав, что каждый элемент Q достижим из S * с помощью конечной серии (фактически не более двух) арифметических операций, включая мультипликативную инверсию, можно показать, что Q строго меньше, чем подмножество S ω, идентифицированное с действительными числами.

Множество S ω имеет ту же мощность, что и действительные числа R. Это можно продемонстрировать, демонстрируя сюръективные отображения из S ω в замкнутый единичный интервал I кольца R и наоборот. Отображение S ω на I является обычным делом; отображать числа, меньшие или равные ε (включая -ω), в 0, числа, большие или равные 1-ε (включая ω), в 1, а числа между ε и 1-ε в их эквивалент в I (отображение бесконечно малых соседей Y ± ε каждой фракции диадического у, наряду с у самого, чтобы у). Чтобы отобразить I на S ω, отобразите (открытую) центральную треть (1/3, 2/3) I на {| } = 0; центральная треть (7/9, 8/9) верхней трети до {0 | } = 1; и так далее. Это отображает непустой открытый интервал I на каждый элемент S * монотонно. Вычет I состоит из канторовского множества 2 ^ω, каждая точка которого однозначно идентифицируется разбиением интервалов центральной трети на левое и правое множества, что в точности соответствует форме { L | R } в S ω. Это ставит набор Кантора во взаимно однозначное соответствие с набором сюрреалистических чисел с днем ​​рождения ω.

Продолжение выполнения трансфинитной индукции за пределами S ω дает больше порядковых чисел α, каждое из которых представлено как наибольшее сюрреалистическое число, имеющее день рождения α. (По сути, это определение порядковых чисел, полученных в результате трансфинитной индукции.) Первый такой ординал - это ω + 1 = {ω | }. В поколении ω + 1 есть еще одно положительное бесконечное число:

ω − 1 = {1, 2, 3, 4,... | ω}.

Сюрреалистическое число ω − 1 не является ординалом; ординал ω не является преемником какого-либо ординала. Это сюрреалистическое число с днем ​​рождения ω + 1, которое обозначено как ω − 1 на том основании, что оно совпадает с суммой ω = {1, 2, 3, 4,... | } и −1 = {| 0}. Точно так же есть два новых бесконечно малых числа в поколении ω + 1:

2ε = ε + ε = {ε | 1 + ε, ¹ / 2 + ε, ¹ / 4 + ε, ¹ / 8 + ε,...} и

ε / 2 = ε ¹ / 2 = {0 | ε}.

На более поздней стадии индукции трансфинитного, есть число больше, чем со + к для всех натуральных чисел к:

2ω = ω + ω = {ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4,... | }

Это число может быть обозначено как ω + ω как потому, что его день рождения - это ω + ω (первое порядковое число, недоступное из ω с помощью последующей операции), так и потому, что оно совпадает с сюрреалистической суммой ω и ω; его также можно обозначить 2ω, потому что он совпадает с произведением ω = {1, 2, 3, 4,... | } и 2 = {1 | }. Это второй порядковый номер предела; для достижения его из ω через шаг построения требуется трансфинитная индукция по. Это включает в себя бесконечное объединение бесконечных множеств, что является «более сильной» теоретико-множественной операцией, чем требовалось предыдущей трансфинитной индукции. ${\ Displaystyle \ bigcup _ {к lt;\ omega} S _ {\ omega + k}}$

Обратите внимание, что обычное сложение и умножение ординалов не всегда совпадает с этими операциями над их сюрреалистическими представлениями. Сумма ординалов 1 + ω равна ω, но сюрреалистическая сумма коммутативна и дает 1 + ω = ω + 1gt; ω. Сложение и умножение сюрреалистических чисел, связанных с ординалами, совпадает с натуральной суммой и натуральным произведением ординалов.

Так же, как 2ω больше, чем ω + n для любого натурального числа n, существует сюрреалистическое число ω / 2, которое бесконечно, но меньше ω - n для любого натурального числа n. То есть ω / 2 определяется формулой

ω / 2 = { S * | ω - S * }

где в правой части обозначение x - Y используется для обозначения { x - y  : y в Y }. Его можно идентифицировать как произведение ω и формы {0 | 1} ¹ / 2. День рождения ^ω / 2 - это предельный порядковый номер ω2.

Для классификации «порядков» бесконечных и бесконечно малых сюрреалистических чисел, также известных как архимедовы классы, Конвей связывает каждое сюрреалистическое число x сюрреалистическое число.

• ω ^x = {0, r ω ^{x L} | s ω ^{x R} },

где r и s изменяются над положительными действительными числами. Если x lt; y, то ω ^y «бесконечно больше», чем ω ^x, в том смысле, что оно больше, чем r ω ^x для всех действительных чисел r. Степени ω также удовлетворяют условиям

• ω ^x ω ^y = ω ^{x + y},
• ω ^{- x} = 1 / ω ^x,

поэтому они ведут себя так, как можно было бы ожидать от власти.

Каждая степень ω также имеет искупительную особенность - быть простейшим сюрреалистическим числом в своем архимедовом классе; и наоборот, каждый архимедов класс в сюрреалистических числах содержит уникальный простейший член. Таким образом, для каждого положительного сюрреалистического числа x всегда будет существовать некоторое положительное действительное число r и некоторое сюрреалистическое число y, так что x - r ω ^y «бесконечно меньше», чем x. Показатель y - это «логарифм по основанию ω» числа x, определенный на положительных сюрреалах; можно показать, что log ω отображает положительные сюрреали на сюрреали и что log ω ( xy) = log ω ( x) + log ω ( y).

Это расширяется трансфинитной индукцией, так что каждое сюрреалистическое число имеет «нормальную форму», аналогичную нормальной форме Кантора для порядковых чисел. Это нормальная форма Конвея: каждое сюрреалистическое число x может быть однозначно записано как

• х = г 0 ω ^{у 0} + г 1 ω ^{у 1} +...,

где каждое r α - ненулевое действительное число, а y α s образуют строго убывающую последовательность сюрреалистических чисел. Эта «сумма», однако, может иметь бесконечно много членов и обычно имеет длину произвольного порядкового числа. (Ноль, конечно, соответствует случаю пустой последовательности и является единственным сюрреалистическим числом без ведущей экспоненты.)

При таком взгляде сюрреалистические числа напоминают поле степенного ряда, за исключением того, что убывающие последовательности показателей должны быть ограничены по длине порядковым номером и не могут быть такими же длинными, как класс порядковых чисел. Это основа для формулирования сюрреалистических чисел в виде серии Хана.

В отличие от действительных чисел, (собственное) подмножество сюрреалистических чисел не имеет минимальной верхней (или нижней) границы, если только оно не имеет максимального (минимального) элемента. Конвей определяет зазор как { L | R }, L lt; R, L ∪ R = 𝐍𝐨; это не число, потому что по крайней мере одна из сторон является правильным классом. Хотя похоже, пробелы не совсем такой же, как дедекиндовыми секций, но мы все еще можем говорить о завершении 𝐍𝐨 ^𝕯 из сюрреалистических чисел с естественным порядком, который является (собственный класс размера) линейный континуум.

Например, не существует наименьшего положительного бесконечного сюрреализма, но пробел ∞ = { x: ∃ n ∈: x lt; n | x: ∀ n ∈: x gt; n } больше всех действительных чисел и меньше всех положительных бесконечных сюрреалов и, таким образом, является наименьшей верхней границей действительных чисел в 𝐍𝐨 ^𝕯. Аналогично щель 𝐎𝐧 = {𝐍𝐨 | } больше, чем все сюрреалистические числа. (Это эзотерический каламбур : в общей конструкции ординалов α «является» набором ординалов, меньших, чем α, и мы можем использовать эту эквивалентность, чтобы записать α = {α |} в сюрреалах; 𝐎𝐧 обозначает класс порядковых чисел, и поскольку 𝐎𝐧 конфинальна в, по расширению имеем {𝐍𝐨 |} = {𝐎𝐧 |} = 𝐎𝐧). ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

С некоторой теоретико-множественной осторожностью 𝐍𝐨 можно снабдить топологией, в которой открытые множества представляют собой объединения открытых интервалов (индексированных соответствующими наборами), и могут быть определены непрерывные функции. Также можно определить эквивалент последовательностей Коши, хотя они должны быть проиндексированы классом порядковых чисел; они всегда будут сходиться, но предел может быть либо число, либо зазор, который может быть выражен как Σ α∈𝐍𝐨 г amp; alpha ; ш ^{amp; alpha} ; с amp; alpha ; уменьшение и не имеющая нижней границы в 𝐍𝐨. (Все такие пробелы можно понимать как сами последовательности Коши, но есть и другие типы пробелов, которые не являются ограничениями, такие как ∞ и 𝐎𝐧).

Основываясь на неопубликованной работе Крускала, Гоншор осуществил конструкцию (трансфинитной индукцией), которая расширяет действительную экспоненциальную функцию exp ( x) (с основанием e) на сюрреали.

Другие экспоненты

Эти полномочия amp; omega функции также является экспоненциальной функцией, но не имеет желаемые свойства для расширения функции на реала. Однако она понадобится при построении экспоненты с основанием e, и именно эта функция подразумевается всякий раз, когда в дальнейшем используется обозначение ω ^x.

Когда y является двоичной дробью, степенная функция x ∈ No, x ↦ x ^y может быть составлена ​​из умножения, мультипликативного обратного и квадратного корня, все из которых могут быть определены индуктивно. Его значения полностью определяются основным соотношением x ^{y + z} = x ^y x ^z, и там, где оно определено, оно обязательно согласуется с любым другим возведением в степень, которое может существовать.

Основная индукция

Шаги индукции для сюрреалистической экспоненты основаны на разложении в ряд для действительной экспоненты, exp x = Σ n ≥0 x ⁿ / n !, а именно те частичные суммы, которые могут быть показаны с помощью базовой алгебры как положительные, но меньшие, чем все более поздние. Для положительных x они обозначаются [ x ] n и включают все частичные суммы; для й отрицательных, но конечно, [ х ] 2 п +- обозначает нечетные шаги в серии, начиная с первым с положительной вещественной частью (который всегда существует). Для отрицательного бесконечного x частичные суммы с нечетными номерами строго убывают, а запись [ x ] 2 n +1 обозначает пустое множество, но оказывается, что соответствующие элементы не нужны в индукции.

Соотношения, которые выполняются для вещественного x lt; y, тогда следующие: exp x [ y – x ] n lt;exp y и exp y [ x – y ] 2 n +1 lt;exp x, и это может быть распространено на сюрреали с определение exp z = {0, exp z L [ z – z L ] n, exp z R [ z – z R ] 2 n +1 | ехр z R / [ z R –z ] n, ехр z L / [ z L –z ] 2 n +1 }. Это хорошо определено для всех сюрреалистических аргументов (значение существует и не зависит от выбора z L и z R).

Полученные результаты

Используя это определение, имеет место следующее:

• exp - строго возрастающая положительная функция, x lt; y ⇒ 0 lt;exp x lt;exp y
• exp удовлетворяет exp ( x + y) = exp x exp y
• exp является сюръекцией (на No +) и имеет хорошо определенный обратный, log = exp ^–1
• exp совпадает с обычной экспоненциальной функцией на вещественных числах (и, таким образом, exp 0 = 1, exp 1 = e)
• Для бесконечно малых x значение формального степенного ряда Σ n ≥0 x ⁿ / n ! корректно определено и совпадает с индуктивным определением
  • Когда x задан в нормальной форме Конвея, набор показателей в результате хорошо упорядочен, а коэффициенты представляют собой конечные суммы, что непосредственно дает нормальную форму результата (которая имеет ведущую единицу)
  • Аналогично, для x, бесконечно близкого к 1, log x задается разложением в степенной ряд x –1.
• Для положительного бесконечного x, exp x также бесконечно
  • Если x имеет вид ω ^α (αgt; 0), exp x имеет вид ω ^{ω β,} где β - строго возрастающая функция от α. Фактически существует индуктивно определенная биекция g: No + → No: α ↦ β, обратная которой также может быть определена индуктивно
  • Если x является «чистой бесконечностью» с нормальной формой x = Σ α lt;β r α ω ^{a α,} где все a α gt; 0, то exp x = ω ^{Σ α lt;β r α ω g ( a α)}
  • Аналогично, для x = ω ^{Σ α lt;β r α ω b α} обратное значение имеет вид log x = Σ α lt;β r α ω ^{g –1 (b α)}
• Любое сюрреалистическое число можно записать как сумму чистой бесконечной, действительной и бесконечно малой частей, а экспонента - это произведение частных результатов, приведенных выше.
  • Нормальную форму можно записать, умножив бесконечную часть (единичную степень ω) и действительную экспоненту на степенной ряд, полученный из бесконечно малых
  • И наоборот, разделив из главного члена нормальной формы принесет никакого ирреального числа в вид (ш ^{Е amp; gamma lt;δ т amp; gamma ш б amp; gamma}) г (1 + Е amp; alpha ; lt;β с amp; alpha ; ш ^{amp; alpha} ;), для α lt;0, где каждый множитель имеет форму, для которой выше был приведен способ вычисления логарифма; сумма тогда является общим логарифмом
    • Хотя не существует общего индуктивного определения log (в отличие от exp), частичные результаты даются в терминах таких определений. Таким образом, логарифм может быть вычислен явно, без учета того факта, что он является обратным к экспоненте.
• Экспоненциальная функция намного превосходит любую конечную степень
  • Для любого положительного бесконечного x и любого конечного n, exp ( x) / x ⁿ бесконечно
  • Для любого целого n и сюрреалистического x gt; n ², exp ( x)gt; x ⁿ. Это более сильное ограничение является одной из аксиом Рессейра для действительного экспоненциального поля.
• exp удовлетворяет всем аксиомам Рессэра для действительного экспоненциального поля
  • Сурреали с экспонентой - это элементарное расширение действительного экспоненциального поля.
  • Для ε β порядковое эпсилон-число, набор сюрреалистических чисел с днем ​​рождения меньше ε β составляет поле, которое закрыто относительно экспонент, а также является элементарным расширением действительного экспоненциального поля.

Примеры

Сюрреалистическая экспонента по существу определяется ее поведением на положительных степенях ω, т. Е. Функцией g (a), в сочетании с хорошо известным поведением на конечных числах. Будут приведены только примеры первого. Кроме того, g (a) = a выполняется для большей части своего диапазона, например, для любого конечного числа с положительной действительной частью и любого бесконечного числа, которое меньше некоторой повторной степени ω ( ω ^{ω ω} для некоторого числа уровней).

• ехр ω = ω ^ω
• exp ω ^{1 / ω} = ω и log ω = ω ^{1 / ω}
• ехр (ω log ω) = ехр (ω ω ^{1 / ω}) = ω ^{ω (1 + 1 / ω)}
  • Это показывает, что функция «сила со» не совместим с ехр, так как совместимость будет требовать значение ш ^ш здесь
• ехр ε 0 = ω ^{ω ε 0 + 1}
• журнал ε 0 = ε 0 / ω

Возведение в степень

Общее возведение в степень можно определить как x ^y = exp ( y log x), что дает интерпретацию выражениям типа 2 ^ω = exp (ω log 2) = ω ^{log 2 ω}. Снова важно отличать это определение от функции "степеней ω", особенно если ω может выступать в качестве основы.

Surcomplex число является числом вида + б я, где и б являются сюрреалистические числа, а я есть квадратный корень из -1. В surcomplex числа образуют алгебраически замкнутое поле (для того, чтобы быть собственный класс, кроме), изоморфные к алгебраического замыкания поля, генерируемого за счет расширения рациональных чисел с помощью собственного класса из алгебраически независимых трансцендентных элементов. С точностью до изоморфизма полей этот факт характеризует поле сюркомплексных чисел в рамках любой теории фиксированных множеств.

Основная статья: комбинаторная теория игр

Определение сюрреалистических чисел содержало одно ограничение: каждый элемент L должен быть строго меньше, чем каждый элемент R. Если это ограничение снимается, мы можем сгенерировать более общий класс, известный как игры. Все игры построены по такому правилу:

Правило построения. Если L и R - два набора игр, то { L | R } - это игра.

Сложение, отрицание и сравнение определяются одинаково как для сюрреалистических чисел, так и для игр.

Каждое сюрреалистическое число - это игра, но не все игры - сюрреалистические числа, например, игра { 0 | 0 } не является сюрреалистическим числом. Класс игр более общий, чем сюрреальные числа, и имеет более простое определение, но ему не хватает некоторых из лучших свойств сюрреалистических чисел. Класс сюрреалистических чисел образует поле, а класс игр - нет. У сюрреалей общий порядок : для любых двух сюрреалей они либо равны, либо одно больше другого. У игр только частичный порядок : существуют пары игр, которые не равны, не больше и не меньше друг друга. Каждое сюрреалистическое число может быть положительным, отрицательным или нулевым. Каждая игра бывает положительной, отрицательной, нулевой или нечеткой (несравнима с нулем, например {1 | −1}).

Ход в игре включает игрока, чей ход выбирает игру из доступных в L (для левого игрока) или R (для правого игрока), а затем передает эту выбранную игру другому игроку. Игрок, который не может двигаться, потому что выбор сделан из пустого набора, проиграл. Положительная игра представляет собой выигрыш для левого игрока, отрицательная игра для правого игрока, нулевую игру для движения второго игрока и нечеткую игру для движения первого игрока.

Если x, y и z - сюрреали и x = y, то x z = y z. Однако, если x, y и z - игры и x = y, то не всегда верно, что x z = y z. Обратите внимание, что «=» здесь означает равенство, а не идентичность.

Сюрреалистические числа изначально были мотивированы исследованиями игры го, и существует множество связей между популярными играми и сюрреалами. В этом разделе мы будем использовать заглавную игру для математического объекта {L | R}, и строчной игры для отдыха и игр, таких как шахматы или Go.

Мы рассматриваем игры с такими свойствами:

• Два игрока (по имени Левый и Правый)
• Детерминированный (игра на каждом этапе будет полностью зависеть от выбора, сделанного игроками, а не от случайного фактора)
• Никакой скрытой информации (например, карт или плиток, которые скрывает игрок)
• Игроки чередуются по очереди (игра может допускать или не допускать несколько ходов за ход)
• Каждая игра должна заканчиваться за конечное количество ходов.
• Как только у игрока не остается разрешенных ходов, игра заканчивается, и этот игрок проигрывает.

Для большинства игр начальная позиция на доске не дает большого преимущества ни одному из игроков. По мере того, как игра прогрессирует, и один игрок начинает выигрывать, будут появляться позиции на доске, в которых этот игрок имеет явное преимущество. Для анализа игр полезно связать игру с каждой позицией доски. Значением данной позиции будет Game {L | R}, где L - набор значений всех позиций, которые могут быть достигнуты одним ходом с помощью Left. Точно так же R - это набор значений всех позиций, которые могут быть достигнуты одним движением вправо.

Нулевая игра (называемая 0) - это игра, в которой L и R оба пусты, поэтому игрок, который сделает следующий ход (L или R), немедленно проигрывает. Сумма двух игр G = {L1 | R1} и H = {L2 | R2} определяется как Игра G + H = {L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2}, где игрок, который должен сделать ход, выбирает, в какую из игр он будет играть на каждом этапе, а проигравшим по-прежнему остается игрок, у которого в итоге нет разрешенного хода. Можно представить себе две шахматные доски между двумя игроками, причем игроки делают ходы поочередно, но с полной свободой выбора, на какой доске играть. Если G - игра {L | R}, -G - игра {-R | -L}, то есть с обратной ролью двух игроков. Легко показать, что G - G = 0 для всех игр G (где G - H определяется как G + (-H)).

Этот простой способ связать игры с играми дает очень интересный результат. Предположим, что два совершенных игрока играют в игру, начиная с данной позиции, которой соответствует Game, равная x. Мы можем разделить все игры на четыре класса следующим образом:

• Если xgt; 0, то выигрывает Left, независимо от того, кто играет первым.
• Если x lt;0, то победит Right, независимо от того, кто играет первым.
• Если x = 0, то выиграет игрок, идущий вторым.
• Если x || 0 тогда выиграет игрок, который пойдет первым.

В более общем смысле, мы можем определить Ggt; H как G - Hgt; 0, и аналогично для lt;, = и ||.

Обозначение G || H означает, что G и H несравнимы. G || H эквивалентно G − H || 0, т.е. что Ggt; H, G lt;H и G = H ложны. Иногда говорят, что несопоставимые игры путают друг с другом, потому что игрок может предпочесть одну или другую в зависимости от того, что к ней добавлено. Игра, которую путают с нулем, называется нечеткой, в отличие от положительной, отрицательной или нулевой. Пример нечеткой игры - звезда (*).

Иногда, когда игра подходит к концу, она распадается на несколько меньших игр, которые не взаимодействуют друг с другом, за исключением того, что ход каждого игрока позволяет перейти только в одну из них. Например, в Го доска будет медленно заполняться фигурами, пока не останется несколько небольших островков пустого пространства, по которым игрок может перемещаться. Каждый остров похож на отдельную игру в го, в которую играют на очень маленькой доске. Было бы полезно, если бы каждую подигру можно было проанализировать отдельно, а затем объединить результаты, чтобы дать анализ всей игры. Сделать это непросто. Например, могут быть две вспомогательные игры, в которых побеждает тот, кто ходит первым, но когда они объединяются в одну большую игру, выигрывает уже не первый игрок. К счастью, есть способ сделать этот анализ. Применима следующая теорема:

Если большая игра распадается на две меньшие игры, а маленькие игры имеют связанные игры x и y, то большая игра будет иметь связанную игру x + y.

Игра, состоящая из меньших игр, называется дизъюнктивной суммой этих меньших игр, и теорема утверждает, что метод сложения, который мы определили, эквивалентен взятию дизъюнктивной суммы слагаемых.

Исторически Конвей развивал теорию сюрреалистических чисел в порядке, обратном тому, как она была представлена ​​здесь. Он анализировал эндшпили Го и понял, что было бы полезно каким-то образом объединить анализ невзаимодействующих подигр в анализ их дизъюнктивной суммы. Исходя из этого, он изобрел концепцию Игры и оператора сложения для нее. Оттуда он перешел к разработке определения отрицания и сравнения. Затем он заметил, что у определенного класса игр есть интересные свойства; этот класс превратился в сюрреалистические числа. Наконец, он разработал оператор умножения и доказал, что сюрреалистические числа на самом деле являются полем, и что оно включает как действительные, так и порядковые числа.

Альтернативные подходы к сюрреалистическим числам дополняют игровую экспозицию Конвея.

Расширение знака

Определения

В том, что теперь называют знаком-расширением или знак-последовательностью из ирреального числа, сюрреалистическое число является функцией которого домен является порядковым и чья кообластью есть {-1, +-}. Это эквивалентно последовательностям LR Конвея.

Определим бинарный предикат «проще, чем» на чисел х проще, чем у, если х является собственное подмножество из Y, то есть, если дом ( х) lt;дом ( у) и х (α) = у (α) для всех а lt; дом ( х).

Для сюрреалистических чисел определите бинарное отношение lt;как лексикографический порядок (с условием, что «неопределенные значения» больше -1 и меньше 1). Итак, x lt; y, если выполняется одно из следующих условий:

• x проще, чем y и y (dom ( x)) = + 1;
• y проще, чем x и x (dom ( y)) = - 1;
• существует такое число z, что z проще, чем x, z проще, чем y, x (dom ( z)) = - 1 и y (dom ( z)) = + 1.

Равнозначно, пусть δ ( x, y) = min ({dom ( x), dom ( y)} ∪ {α: α lt;dom ( x) ∧ α lt;dom ( y) ∧ x (α) ≠ y (α) }), так что x = y тогда и только тогда, когда δ ( x, y) = dom ( x) = dom ( y). Тогда для чисел х и у, х lt; у тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

• δ ( x, y) = dom ( x) ∧ δ ( x, y) lt;dom ( y) ∧ y (δ ( x, y)) = + 1;
• δ ( x, y) lt;dom ( x) ∧ δ ( x, y) = dom ( y) ∧ x (δ ( x, y)) = - 1;
• δ ( x, y) lt;dom ( x) ∧ δ ( x, y) lt;dom ( y) ∧ x (δ ( x, y)) = - 1 ∧ y (δ ( x, y)) = +1.

Для чисел х и у, х ≤ у тогда и только тогда, когда х lt; у ∨ х = у, и х gt; у тогда и только тогда, когда у lt; х. Также x ≥ y тогда и только тогда, когда y ≤ x.

Отношение lt; транзитивно, и для всех чисел x и y выполняется ровно одно из x lt; y, x = y, x gt; y (закон трихотомии ). Это означает, что lt;является линейным порядком (за исключением того, что lt;является правильным классом).

Для наборов чисел L и R таких, что ∀ x ∈ L ∀ y ∈ R ( x lt; y), существует уникальное число z такое, что

• ∀ x ∈ L ( x lt; z) ∧ ∀ y ∈ R ( z lt; y),
• Для любого числа w такого, что ∀ x ∈ L ( x lt; w) ∧ ∀ y ∈ R ( w lt; y), w = z или z проще, чем w.

Кроме того, z можно построить из L и R трансфинитной индукцией. г является самым простым числом между L и R. Обозначим единственное число z через σ ( L, R).

Для числа x определите его левое множество L ( x) и правое множество R ( x) как

• L ( x) = { x | α  : α lt;dom ( x) ∧ x (α) = + 1};
• R ( x) = { x | α  : α lt;dom ( x) ∧ x (α) = - 1},

тогда σ ( L ( x), R ( x)) = x.

Одним из преимуществ этой альтернативной реализации является то, что равенство - это тождество, а не индуктивно определенное отношение. Однако, в отличие от реализации Конвея сюрреалистических чисел, знаковое расширение требует предварительного построения порядковых чисел, в то время как в реализации Конвея порядковые числа строятся как частные случаи сюрреальных чисел.

Однако могут быть сделаны аналогичные определения, которые устраняют необходимость предварительного построения порядковых чисел. Например, мы могли бы позволить сюрреалям быть (рекурсивно определенным) классом функций, область определения которых является подмножеством сюрреалей, удовлетворяющих правилу транзитивности ∀ g ∈ dom f (∀ h ∈ dom g ( h ∈ dom f)) и чьи диапазон равен {-, +}. «Проще, чем» теперь определяется очень просто - x проще, чем y, если x ∈ dom y. Полный порядок определяется путем рассмотрения x и y как наборов упорядоченных пар (как обычно определяется функция): либо x = y, либо сюрреалистическое число z = x ∩ y находится в области x или области y (или оба, но в этом случае знаки должны не совпадать). Тогда мы имеем x lt; y, если x ( z) = - или y ( z) = + (или оба). Преобразование этих функций в последовательности знаков - простая задача; расположите элементы dom f в порядке простоты (т.е. включения), а затем запишите знаки, которые f присваивает каждому из этих элементов по порядку. Тогда ординалы естественным образом встречаются как те сюрреалистические числа, диапазон которых равен {+}.

Сложение и умножение

Сумма x + y двух чисел, x и y, определяется индукцией по dom ( x) и dom ( y) по формуле x + y = σ ( L, R), где

• L = { u + y  : u ∈ L ( x)} ∪ { x + v  : v ∈ L ( y)},
• R = { u + y  : u ∈ R ( x)} ∪ { x + v  : v ∈ R ( y)}.

Аддитивная идентичность задается числом 0 = {}, т. Е. Число 0 - это уникальная функция, чьей областью определения является порядковый номер 0, а аддитивное обратное число x - это число - x, заданное формулой dom (- x) = dom ( x), и, если α lt;dom ( x), (- x) (α) = - 1, если x (α) = + 1, и (- x) (α) = + 1, если x (α) = - 1.

Отсюда следует, что число х является положительным, если и только если 0 lt;дом ( х) и х (0) = + 1 и х является отрицательным, если и только если 0 lt;дом ( х) и х (0) = - 1.

Произведение xy двух чисел, x и y, определяется индукцией по dom ( x) и dom ( y) по формуле xy = σ ( L, R), где

• L = { uy + xv - uv  : u ∈ L ( x), v ∈ L ( y)} ∪ { uy + xv - uv  : u ∈ R ( x), v ∈ R ( y)},
• R = { uy + xv - uv  : u ∈ L ( x), v ∈ R ( y)} ∪ { uy + xv - uv  : u ∈ R ( x), v ∈ L ( y)}.

Мультипликативная идентичность задается числом 1 = {(0, + 1)}, т.е. число 1 имеет область определения, равную порядковому номеру 1, а 1 (0) = + 1.

Переписка с реализацией Конвея

Отображение реализации Конвея в знаковые разложения задается формулой f ({ L | R }) = σ ( M, S), где M = { f ( x): x ∈ L } и S = { f ( x): x ∈ R }.

Обратное отображение альтернативной реализации реализации Конвея дается выражением g ( x) = { L | R }, где L = { g ( y): y ∈ L ( x)} и R = { g ( y): y ∈ R ( x)}.

Аксиоматический подход

В другом подходе к сюрреалам, предложенном Аллингом, явное построение вообще игнорируется. Вместо этого дается набор аксиом, которым должен удовлетворять любой конкретный подход к сюрреалам. Подобно аксиоматическому подходу к действительному, эти аксиомы гарантируют единственность с точностью до изоморфизма.

Тройка является сюрреалистической системой счисления тогда и только тогда, когда выполняется следующее: ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {Нет}, \ mathrm {lt;}, b \ rangle}$

• lt; общий заказ более Нет
• б функция от Нет на классе всех порядковых ( б называется «функция день рождения» на Нет).
• Пусть A и B подмножества No такие, что для всех x ∈ A и y ∈ B, x lt; y (используя терминологию Аллинга, 〈A, B〉 является «разрезом Конвея» из No). Тогда не существует единственный г ∈ Нет такой, что Ь (г) является минимальным и для всех х ∈ A и все у ∈ B, х lt; г lt; у. (Эту аксиому часто называют «теоремой простоты Конвея».)
• Более того, если ординал α больше, чем b (x) для всех x ∈ A, B, то b (z) ≤ α. (Аллинг называет систему, удовлетворяющую этой аксиоме, «полностью сюрреалистической системой счисления».)

Этим аксиомам удовлетворяют как оригинальная конструкция Конвея, так и конструкция сюрреалий с расширением знаков.

Учитывая эти аксиомы, Аллинг выводит первоначальное определение ≤, данное Конвеем, и развивает сюрреалистическую арифметику.

Иерархия простоты

Построение сюрреалистических чисел как максимального двоичного псевдодерева с простотой (предок) и отношениями упорядочения принадлежит Филиппу Эрлиху. Отличие от обычного определения дерева состоит в том, что множество предков вершины хорошо упорядочено, но может не иметь максимального элемента (непосредственного предшественника); другими словами, тип заказа этого набора - это общее порядковое число, а не просто натуральное число. Эта конструкция также удовлетворяет аксиомам Аллинга и может быть легко преобразована в представление знаковой последовательности.

Серия Hahn

Аллинг также доказывает, что поле сюрреалистических чисел изоморфно (как упорядоченное поле) полю ряда Хана с действительными коэффициентами на группе значений самих сюрреалистических чисел (представление ряда, соответствующее нормальной форме сюрреалистического числа, как определено выше). Это обеспечивает связь между сюрреалистическими числами и более традиционными математическими подходами к теории упорядоченного поля.

Этот изоморфизм превращает сюрреалистические числа в поле значений, где оценка является аддитивной обратной величиной экспоненты главного члена в нормальной форме Конвея, например ν (ω) = -1. Тогда оценочное кольцо состоит из конечных сюрреалистических чисел (чисел с действительной и / или бесконечно малой частью). Причина инверсии знака заключается в том, что показатели в нормальной форме Конвея составляют обратный хорошо упорядоченный набор, тогда как ряды Хана формулируются в терминах (необратимых) хорошо упорядоченных подмножеств группы значений.

Филип Эрлих построил изоморфизм между максимальным сюрреалистическим числовым полем Конвея и максимальными гиперреалами в теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя.

• Гиперреальное число
• Нестандартный анализ

• Оригинальная экспозиция Дональда Кнута : « Сюрреалистические числа: как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье», 1974, ISBN   0-201-03812-9. Более подробную информацию можно найти на официальной домашней странице книги.
• Обновление классической книги 1976 года, определяющей сюрреалистические числа и исследующей их связь с играми: Джон Конвей, О числах и играх, 2-е изд., 2001, ISBN   1-56881-127-6.
• Обновление первой части книги 1981 года, в которой сюрреалистические числа и анализ игр были представлены более широкой аудитории: Берлекамп, Конвей и Гай, Winning Ways for Your Mathematical Plays, vol. 1, 2-е изд., 2001, ISBN   1-56881-130-6.
• Мартин Гарднер, Плитки Пенроуза для шифрования лазейки, WH Freeman amp; Co., 1989, ISBN   0-7167-1987-8, Глава 4. Нетехнический обзор; перепечатка статьи Scientific American 1976 года.
• Полли Шульман, «Бесконечность плюс один и другие сюрреалистические числа», Discover, декабрь 1995 года.
• Подробное рассмотрение сюрреалистических чисел: Норман Л. Аллинг, Основы анализа сюрреалистических числовых полей, 1987, ISBN   0-444-70226-1.
• Обработка сюрреалов, основанная на реализации знакового расширения: Гарри Гоншор, Введение в теорию сюрреалистических чисел, 1986, ISBN   0-521-31205-1.
• Подробное философское развитие концепции сюрреалистических чисел как наиболее общей концепции числа: Ален Бадью, Число и числа, Нью-Йорк: Polity Press, 2008, ISBN   0-7456-3879-1 (мягкая обложка), ISBN   0-7456- 3878-3 (твердая обложка).
• Программа Univalent Foundations (2013 г.). Теория гомотопического типа: однолистные основы математики. Принстон, штат Нью-Джерси: Институт перспективных исследований. Руководство по ремонту   3204653. Сюрреалистические числа изучаются в контексте теории гомотопических типов в разделе 11.6.

• Hackenstrings и FAQ 0.999...? = 1, автор AN Walker, архив исчезнувшего оригинала.
• Нежное, но обстоятельное вступление Клауса Тёндеринга
• Хорошая математика, Плохая математика: сюрреалистические числа, серия статей о сюрреалистических числах и их вариациях