Теорема Нэша-Мозера

В математической области анализа теорема Нэша-Мозера, открытый математиком Джоном Форбсом Нэшем и названный в его честь и Юрген Мозер, является обобщением теоремы об обратной функции на Банаховы пространства для настроек, когда требуемое отображение решения для линеаризованной задачи не ограничено.

• 1 Введение
• 2 История
• 3 Проблема потери производных
• 4 Схематическая форма решения Нэша
• 5 Гамильтонская формулировка теоремы
  • 5.1 Приручение пространств Фреше
  • 5.2 Гладкие ручные карты
  • 5.3 Доказательство теоремы
• 6 Ссылки

В отличие от случая банахова пространства, в котором достаточно обратимости производной в точке для того чтобы отображение было локально обратимым, теорема Нэша – Мозера требует, чтобы производная была обратима в некоторой окрестности. Теорема широко используется для доказательства локального существования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в пространствах гладких функций. Это особенно полезно, когда обратная к производной "теряет" производные, и поэтому теорема о неявной функции банахова пространства не может быть использована.

Теорема Нэша-Мозера восходит к Нэшу (1956), который доказал теорему в частном случае изометрической задачи вложения. Из его статьи ясно, что его метод может быть обобщен. Мозер (1966a, 1966b), например, показал, что методы Нэша могут быть успешно применены для решения задач на периодических орбитах в небесной механике в теории КАМ. Однако найти подходящую общую формулировку оказалось довольно сложно; на сегодняшний день не существует всеобъемлющей версии; различные версии, принадлежащие Громову, Гамильтону, Хермандеру, Мозеру, Сен-Раймонду, Шварцу и Сергерарту, приведены в ссылках ниже. Цитируемая ниже Гамильтона особенно широко цитируется.

Это будет введено в исходной постановке теоремы Нэша-Мозера, в постановке задачи изометрического вложения. Пусть $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$будет открытым подмножеством $R\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}.\}$Рассмотрим карту

$P:\; C\; 1\; (\Omega ;\; RN)\; \to \; C\; 0\; (\Omega ;\; Sym\; n\; \times \; n\; (R))\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; P:\; C\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; Omega;\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{N\})\; \backslash \; к\; C\; ^\; \{0\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; Omega;\; \{\backslash \; text\; \{Sym\}\}\; \_\; \{n\; \backslash \; times\; n\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\; \{\backslash \; big)\}\}$

, заданное как

$P\; (f)\; ij\; =\; \sum \; \alpha \; =\; 1\; N\; \partial \; f\; \alpha \; \partial \; ui\; \partial \; f\; \alpha \; \partial \; uj.\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (е)\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{j\}\}\}.\}$

В решении Нэша изометрической задачи вложения (как и следовало ожидать от решений нелинейных уравнений в частных производных) основной step - это утверждение схематической формы: «Если f таково, что P (f) положительно определено, то для любой матричнозначной функции g, близкой к P (f), существует f g с P (f g) = g. "

Следуя стандартной практике, можно ожидать применения теоремы об обратной функции банахова пространства. Так, например, можно было бы ожидать ограничить P до C (Ω; ℝ) и, для погружения f в эту область, изучить линеаризацию C (Ω; ℝ) → C (Ω; Sym n × n (ℝ)), задаваемое формулой

$f\; ~\; \mapsto \; \sum \; \alpha \; =\; 1\; N\; \partial \; f\; \alpha \; \partial \; ui\; \partial \; f\; ~\; \beta \; \partial \; uj\; +\; \sum \; \alpha \; =\; 1\; N\; \partial \; f\; ~\; \alpha \; \partial \; ui\; \partial \; f\; \beta \; \partial \; uj.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{f\}\}\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; widetilde\; \{f\}\}\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{j\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; alpha\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; widetilde\; \{f\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{j\}\}\}.\}$

Если один может показать, что это было обратимым с ограниченным обратным, то теорема об обратной функции банахова пространства применяется непосредственно.

Однако есть серьезная причина, по которой такая формулировка не работает. Проблема в том, что существует дифференциальный оператор второго порядка для P (f), который совпадает с дифференциальным оператором второго порядка, примененным к f. Чтобы быть точным: если f - погружение, то

$R\; P\; (f)\; =\; |\; H\; (f)\; |\; 2\; -\; |\; h\; (f)\; |\; П\; (е)\; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; ^\; \{P\; (f)\}\; =\; |\; H\; (f)\; |\; ^\; \{2\}\; -\; |\; h\; (f)\; |\; \_\; \{P\; (f)\}\; ^\; \{2\},\}$

где R - скалярная кривизна римановой метрики P (f), H (f) - средняя кривизна погружения f, а h (f) - его вторая фундаментальная форма; Вышеупомянутое уравнение является уравнением Гаусса из теории поверхностей. Итак, если P (f) - это C, то R обычно только C. Тогда, согласно приведенному выше уравнению, f обычно может быть только C; если бы это был C, то | H | - | h | должно быть не меньше C. Источник проблемы можно очень кратко сформулировать следующим образом: уравнение Гаусса показывает, что существует такой дифференциальный оператор Q, что порядок композиции Q с P меньше суммы порядков P и Q.

В контексте результат состоит в том, что обратная линеаризация P, даже если она существует как отображение C (Ω; Sym n × n (ℝ)) → C (Ω; ℝ), не может быть ограничено между подходящими банаховыми пространствами, и, следовательно, теорема о неявной функции банахова пространства не может быть применена.

Точно так же рассуждая, нельзя напрямую применить теорему о неявной функции банахова пространства, даже если вы используете пространства Гельдера, пространства Соболева или любое из пространств C. В любой из этих настроек обратная к линеаризации P не может быть ограничена.

Это проблема потери деривативов . Очень наивное ожидание состоит в том, что, как правило, если P - дифференциальный оператор порядка k, то если P (f) находится в C, то f должно быть в C. Однако это довольно редко. В случае равномерно эллиптических дифференциальных операторов знаменитые оценки Шаудера показывают, что это наивное ожидание подтверждается с оговоркой, что нужно заменить пространства C на пространства Гёльдера C; это не вызывает никаких дополнительных трудностей для применения теоремы о неявной функции банахова пространства. Однако приведенный выше анализ показывает, что это наивное ожидание не подтверждается для карты, которая отправляет погружение в свою индуцированную риманову метрику; учитывая, что это отображение имеет порядок 1, нельзя получить "ожидаемую" производную при инвертировании оператора. Та же самая неудача часто встречается в геометрических задачах, где действие группы диффеоморфизмов является основной причиной, и в задачах гиперболических дифференциальных уравнений, где даже в самых простых задачах нет наивно ожидаемой гладкости решения. Все эти трудности обеспечивают общие контексты для приложений теоремы Нэша-Мозера.

Этот раздел предназначен только для описания идеи, и поэтому он намеренно неточен. Для конкретности предположим, что P - дифференциальный оператор первого порядка в некоторых функциональных пространствах, так что он определяет отображение P: C → C для каждого k. Предположим, что при некоторой C-функции f линеаризация DP f : C → C имеет правый обратный S: C → C; в вышеприведенном языке это отражает «потерю одной производной». Можно конкретно увидеть провал попытки использовать метод Ньютона для доказательства теоремы о неявной функции банахова пространства в этом контексте: если g ∞ близко к P (f) в C и единица определяет итерацию

$fn\; +\; 1\; =\; fn\; +\; S\; (g\; \infty \; -\; P\; (fn)),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; f\_\; \{n\}\; +\; S\; \{\backslash \; big\; (\}\; g\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; -\; P\; (f\_\; \{n\})\; \{\backslash \; big)\},\}$

, тогда f 1 ∈C означает, что g ∞ -P (f n) находится в C, а затем f 2 находится в C. По тем же соображениям f 3 находится в C, а f 4 находится в C, и поэтому на. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, поскольку она потеряет всякую регулярность, и следующий шаг даже не будет определен.

Решение Нэша поражает своей простотой. Предположим, что для каждого t>0 имеется оператор сглаживания θ t, который принимает функцию C, возвращает гладкую функцию и аппроксимирует тождество, когда t велико. Затем «сглаженная» итерация Ньютона

$fn\; +\; 1\; =\; fn\; +\; S\; (\theta \; n\; (g\; \infty \; -\; P\; (fn)))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; f\_\; \{n\}\; +\; S\; \{\backslash \; big\; (\; \}\; \backslash \; theta\; \_\; \{n\}\; (g\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; -P\; (f\_\; \{n\}))\; \{\backslash \; big)\}\}$

явно не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая "несглаженная" версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций, никогда не теряющая регулярности. Итак, у человека есть четко определенная последовательность функций; главное удивление подхода Нэша состоит в том, что эта последовательность фактически сходится к функции f ∞ с P (f ∞) = g ∞. Для многих математиков это довольно удивительно, поскольку «исправление» добавления сглаживающего оператора кажется слишком поверхностным, чтобы преодолеть глубокую проблему в стандартном методе Ньютона. Например, по этому поводу Михаил Громов говорит:

Вы должны быть новичком в анализе или гением, подобным Нэшу, чтобы поверить, что что-то подобное может быть правдой. [...] [Это] может показаться вам столь же реалистичным, как успешная работа вечного двигателя с механической реализацией демона Максвелла... если вы не начнете следовать вычислениям Нэша и не поймете, к своему огромному удивлению, что сглаживание действительно работает.>Замечание. Истинная «итерация сглаженного Ньютона» немного сложнее, чем приведенная выше форма, хотя есть несколько неэквивалентных форм, в зависимости от того, куда вставлять сглаживающие операторы. Основное отличие состоит в том, что требуется обратимость DP f для всей открытой окрестности выбора f, а затем используется «истинная» итерация Ньютона, соответствующая (с использованием записи с одной переменной)

$xn\; +\; 1\; =\; xn\; -\; f\; (xn)\; f\; \prime \; (xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; x\_\; \{n\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\_\; \{n\})\}\; \{f\; \text{'}(x\_\; \{n\}))\}\}\}$

в отличие от

$xn\; +\; 1\; =\; xn\; -\; f\; (xn)\; f\; \prime \; (x\; 0),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; x\_\; \{n\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\_\; \{n\})\}\; \{f\; \text{'}(x\_\; \{0\})\}\},\}$

последний из которых отражает формы, данные выше. Это довольно важно, поскольку улучшенная квадратичная сходимость «истинной» итерации Ньютона в значительной степени используется для борьбы с ошибкой «сглаживания», чтобы получить сходимость. Некоторые подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве, а не итерации в функциональном пространстве; отношение последнего к первому по существу является отношением решения метода Эйлера к решению дифференциального уравнения.

Следующее утверждение появляется в Hamilton (1982) :

Пусть F и G ручные пространства Фреше, пусть U⊂ F - открытое подмножество, и пусть $P:\; U\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; P:\; U\; \backslash \; rightarrow\; G\}$- гладкая ручная карта. Предположим, что для каждого $f\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; U\}$линеаризация $d\; P\; f:\; F\; \to \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; dP\_\; \{f\}:\; F\; \backslash \; to\; G\}$обратимо, а семейство обратных, как отображение $U\; \times \; G\; \to \; F,\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; times\; G\; \backslash \; to\; F,\}$, является гладким ручным. Тогда P локально обратим, и каждый локальный обратный $P\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{-\; 1\}\}$является гладким ручным отображением.

Аналогично, если каждая линеаризация только инъективная, и семейство обратных слева гладко, то P локально инъективно. И если каждая линеаризация является только сюръективной, а семейство правых обратных гладко ручное, то P локально сюръективно с гладким ручным правым обратным.

Приручить пространства Фреше

A градуированное пространство Фреше состоит из следующих данных:

• векторное пространство F
• счетный набор полунорм $\Vert \; \cdot \; \Vert \; n:\; F\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; \_\; \{n\}:\; F\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$такой, что

$\Vert \; f\; \Vert \; 0\; \le \; \Vert \; f\; \Vert \; 1\; \le \; \Vert \; f\; \Vert \; 2\; \le \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{0\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; cdots\}$

для всех $f\; \in \; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; F.\}$Требуется, чтобы они удовлетворяли следующим условиям:

• if $f\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; F\}$таково, что $\Vert \; е\; \Vert \; n\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{n\}\; =\; 0\}$для всех $n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$, затем $f\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; 0\}$
• , если $fj\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{j\}\; \backslash \; в\; F\}$- такая последовательность, что для каждого $n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots\}$и каждые $\epsilon >0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon>0\}$существует $N\; n,\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{n,\; \backslash \; varepsilon\}\}$такое, что $j,\; k>N\; n,\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; j,\; k>N\_\; \{n,\; \backslash \; varepsilon\}\}$подразумевает , тогда существует $f\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; F\}$такое, что для каждого n имеется

$lim\; j\; \to \; \infty \; \Vert \; fj\; -\; f\; \Vert \; N\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{j\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; |\; f\_\; \{j\}\; -f\; \backslash \; |\; \_\; \{n\}\; =\; 0.\}$

Такое градуированное пространство Фреше называется ручным, если он удовлетворяет следующему условию:

• существует банахово пространство B и линейные отображения L: F → Σ (B) и M: Σ (B) → F такие, что M является правым обратный к L, и такие, что:

• существуют такие r и b, что для каждого n>b существует число C n такое, что

$sup\; k\; \in \; N\; enk\; \Vert \; L\; (f)\; К\; \Vert \; В\; \le \; С\; N\; \Vert \; е\; \Vert \; р\; +\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sup\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; e\; ^\; \{nk\}\; \backslash \; |\; L\; (f)\; \_\; \{k\}\; \backslash \; |\; \_\; \{B\}\; \backslash \; leq\; C\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{r\; +\; n\}\}$

для любого f∈F и

$\Vert \; M\; (\{xi\})\; \Vert \; n\; \le \; C\; n\; sup\; k\; \in \; N\; e\; (r\; +\; п)\; К\; \Vert \; Икс\; \Vert \; В\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; |\; M\; (\backslash \; \{x\_\; \{i\}\; \backslash \})\; \backslash \; |\; \_\; \{n\}\; \backslash \; leq\; C\_\; \{n\}\; \backslash \; sup\; \_\; \{k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}\; e\; ^\; \{(r\; +\; n)\; k\}\; \backslash \; |\; x\_\; \{k\}\; \backslash \; |\; \_\; \{B\}\}$

для любого {x i } ∈Σ (B).

Здесь Σ (B) обозначает векторное пространство экспоненциально убывающих последовательностей в B, т.е.

Трудоемкость определения оправдывается примерами ручно градуированных пространств Фреше:

• Если M - компактное гладкое многообразие (с краем или без него), то C (M) является строго градуированным пространством Фреше, если задана любая из следующих градуированных структур:

• возьмем $\Vert \; f\; \Vert \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{n\}\}$как C -норма f
• возьмем $\Vert \; f\; \Vert \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{n\}\}$как C-норму f для фиксированного α
• возьмем $\Vert \; f\; \Vert \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{n\}\}$как W-норму f для фиксированного p

• Если M - компакт гладкое многообразие с краем, то C 0 (M), пространство гладких функций, все производные которых обращаются в нуль на границе, является аккуратно градуированным пространством Фреше с любой из вышеуказанных градуированных структур.
• Если M - компактное гладкое многообразие, а V → M - гладкое векторное расслоение, то пространство гладких сечений является ручным, с любой из перечисленных выше градуированных структур.

Чтобы распознать ручную структуру этих exa mples топологически вкладывается M в евклидово пространство, B рассматривается как пространство L функций на этом евклидовом пространстве, а отображение L определяется диадическим ограничением преобразования Фурье. Подробности на страницах 133-140 статьи Гамильтона.

Представленное прямо, как указано выше, значение и естественность "прирученного" состояния довольно неясны. Ситуация проясняется, если заново рассмотреть основные примеры, приведенные выше, в которых соответствующие «экспоненциально убывающие» последовательности в банаховых пространствах возникают из-за ограничения преобразования Фурье. Напомним, что гладкость функции в евклидовом пространстве напрямую связана со скоростью убывания ее преобразования Фурье. Таким образом, «прирученность» рассматривается как условие, которое позволяет абстрагироваться от идеи «сглаживающего оператора» в функциональном пространстве. Для банахова пространства B и соответствующего пространства Σ (B) экспоненциально убывающих последовательностей в B точный аналог сглаживающего оператора может быть определен следующим образом. Пусть s: ℝ → ℝ - гладкая функция, которая обращается в нуль на (-∞, 0), тождественно равна единице на (1, ∞) и принимает значения только в интервале [0,1]. Тогда для каждого действительного числа t определим θ t : Σ (B) → Σ (B) как

$(\theta \; t\; x)\; i\; =\; s\; (t\; -\; i)\; x\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; theta\; \_\; \{t\}\; x)\; \_\; \{i\}\; =\; s\; (ti)\; x\_\; \{i\}.\}$

Если принять схематическую идею доказательства, разработанного Нэшем, и, в частности, его использование сглаживания операторов, тогда «ручное» условие становится весьма разумным.

Гладкие ручные карты

Пусть F и G - градуированные пространства Фреше. Пусть U - открытое подмножество F, что означает, что для каждого f в U существует n и ε>0 такие, что || f 1||n<ε implies that f1также содержится в U.

Пусть P: U → G - гладкая карта. Говорят, что это ручной, если для всех k∈ℕ производная DP: U × F × ⋅⋅⋅ × F → G удовлетворяет следующему правилу:

• существуют r и b такие, что n>b следует

$\Vert \; D\; k\; P\; (f,\; h\; 1,\dots ,\; hk)\; \Vert \; n\; \le \; C\; n\; (\Vert \; f\; \Vert \; n\; +\; r\; +\; \Vert \; h\; 1\; \Vert \; n\; +\; r\; +\; \cdots \; +\; \Vert \; hk\; \Vert \; n\; +\; r\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; big\; \backslash \; |\}\; D\; ^\; \{k\}\; P\; (f,\; h\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; h\_\; \{k\})\; \{\backslash \; big\; \backslash \; |\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; leq\; C\_\; \{n\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{n\; +\; r\}\; +\; \backslash \; |\; h\_\; \{1\}\; \backslash \; |\; \_\; \{n\; +\; r\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; |\; h\_\; \{k\}\; \backslash \; |\; \_\; \{n\; +\; r\}\; +1\; \{\backslash \; Big)\}\}$

для всех (f, h 1,..., h k) ∈U × F × ⋅⋅⋅ × F.

Фундаментальный пример говорит, что на компактном гладком многообразии нелинейный оператор в частных производных (возможно, между сечениями векторных расслоений над многообразием) является гладким ручным отображением; в этом случае в качестве r можно принять порядок оператора.

Доказательство теоремы

Пусть S обозначает семейство обратных отображений U × G → F. Рассмотрим частный случай, когда F и G являются пространствами экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах, то есть F = Σ (B) и G = Σ (C). (Нетрудно понять, что этого достаточно, чтобы доказать общий случай.) Для положительного числа c рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в Σ (B), заданное формулой

$f\; \prime \; =\; c\; S\; (\theta \; t\; (f),\; \theta \; t\; (g\; \infty \; -\; P\; (f))).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}=\; cS\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{t\}\; (f),\; \backslash \; theta\; \_\; \{t\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; g\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; -P\; (f)\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; Big)\}.\}$

Гамильтон показывает, что если P (0) = 0 и g ∞ достаточно мало в Σ (C), то решение этого дифференциального уравнения с начальным условием f (0) = 0 существует как отображение [0, ∞) → Σ (B), и что f (t) сходится при t → ∞ к решению P (f) = g ∞.

• Громов, ML (1972 г.), «Сглаживание и обращение дифференциальных операторов», Матем. Сб. (Н.С.), 88 (130): 382–441, MR 0310924
• Громов, Михаил (1986). Частные дифференциальные отношения. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3). Шпрингер-Верлаг, Берлин. ISBN 3-540-12177-3. MR 0864505.
• Гамильтон, Ричард С. (1982), «Теорема Нэша и Мозера об обратной функции» (PDF-12MB), Бюл. Амер. Математика. Soc. (NS), 7 (1): 65–222, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2, MR 0656198 Cite имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
• Hörmander, Lars (1976), «Граничные задачи физической геодезии», Arch. Rational Mech. Anal., 62 (1): 1–52, MR 0602181
  • Hörmander, L. (1977), «Поправка к:« Граничные задачи физической геодезии »», Arch. Rational Mech. Anal., 65 (44): 395, MR 0602188
• Moser, Jürgen (1966a), «Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные уравнения в частных производных. I ", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 20 : 265–315, MR 0199523
• Moser, Jürgen (1966b), «Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные уравнения в частных производных. II», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 20 : 499–535, MR 0206461
• Нэш, Джон (1956), «Проблема вложения для римановых многообразий», Annals of Mathematics, 63 (1): 20–63, doi : 10.2 307/1969989, JSTOR 1969989, MR 0075639.
• Сен-Раймон, Ксавье (1989), «Простая теорема Нэша-Мозера о неявной функции», Enseign. Математика. (2), 35 (3–4): 217–226, MR 1039945
• Шварц, Дж. (1960), «О неявной функциональной теореме Нэша», Comm. Pure Appl. Math., 13 : 509–530, MR 0114144
• Sergeraert, Francis (1972), «Un théorème de fonctions Implicites sur определенных espaces de Fréchet et quelques applications», Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 5 : 599–660, MR 0418140
• Zehnder, E., "Обобщенные теоремы о неявных функциях с приложениями к некоторым задачам малых делителей. I", Comm. Pure Appl. Math., 28 : 91–140, MR 0380867
• Zehnder, E., «Обобщенные теоремы о неявных функциях с приложениями к некоторым задачам малых делителей. II», Comm. Pure Appl. Math., 29 (1): 49–111, MR 0426055