Узкая проблема побега

редактировать

Проблема узкого побега - повсеместная проблема в биологии, биофизика и клеточная биология.

Математическая формулировка следующая: броуновская частица (ион, молекула или белок ) ограничен ограниченным доменом (отсек или ячейка) отражающей границей, за исключением небольшого окна, через которое он может выйти. Узкая проблема ухода - это вычисление среднего времени ухода. Это время расходится по мере сужения окна, что превращает вычисление в проблему сингулярного возмущения.

Когда эвакуация становится еще более жесткой из-за строгих геометрических ограничений в месте выхода, возникает узкая проблема выхода становится трудной проблемой .

Проблема узкого бегства была предложена в контексте биологии и биофизики Д. Холкманом и З. Шуссом, а затем А.Зингером и привела к теории узкого бегства в прикладной математике. и вычислительная биология.

Содержание

1 Состав
2 Среднее время первого прохождения и уравнение Фоккера-Планка
3 Аналитические результаты
4 Моделирование побега из броуновского движения
5 Биологические приложения
- 5.1 Стохастические химические реакции в микродоменах
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Формулировка

Движение частицы описывается пределом Смолуховского уравнения Ланжевена :

$d Икс t знак равно 2 D d B t + 1 γ F (x) dt {\ displaystyle dX_ {t} = {\ sqrt {2D}} \, dB_ {t} + {\ frac {1} {\ gamma}} F (x) dt}$ $dX_ {t} = {\ sqrt {2D}} \, дБ_ {t} + {\ frac {1} {\ gamma}} F (x) dt$

где $D {\ displaystyle D}$ $D$ - коэффициент диффузии частицы, $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ - коэффициент трения на единицу массы, $F (x) {\ displaystyle F (x)}$ $F(x)$ сила на единицу массы, а $B t {\ displaystyle B_ {t}}$ $B_ {t}$ - броуновское движение.

Среднее время первого прохождения и уравнение Фоккера-Планка

Обычный вопрос - оценить среднее время пребывания частицы, диффундирующей в ограниченной области $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , прежде чем она ускользнет через небольшое поглощающее окно $∂ Ω a {\ displaystyle \ partial \ Omega _ {a}}$ $\ partial \ Omega _ {a}$ на его границе $∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega}$ $\ частичный \ Omega$ . Время оценивается асимптотически в пределе $ε = | ∂ Ω a | | ∂ Ω | ≪ 1 {\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {| \ partial \ Omega _ {a} |} {| \ partial \ Omega |}} \ ll 1}$ $\ varepsilon = {\ frac {| \ partial \ Omega _ {a} |} {| \ partial \ Omega |}} \ ll 1$

функция плотности вероятности ( pdf) $p ε (x, t) {\ displaystyle p _ {\ varepsilon} (x, t)}$ $p _ {{\ varepsilon}} (x, t)$ - вероятность нахождения частицы в позиции $x {\ displaystyle x}$ $x$ во время $t {\ displaystyle t}$ $t$ .

PDF удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка :

∂ ∂ tp ε (x, t) = D Δ p ε (x, т) - 1 γ ∇ (п ε (Икс, Т) F (Икс)) {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} р _ {\ varepsilon} (х, т) = D \ Delta p _ {\ varepsilon} (x, t) - {\ frac {1} {\ gamma}} \ nabla (p _ {\ varepsilon} (x, t) F (x))}

{\ frac {\ partial} {\ partial t}} p _ {{\ varepsilon}} (x, t) = D \ Delta p _ {{\ varepsilon}} (x, t) - {\ frac {1} {\ gamma}} \ nabla (p _ {\ varepsilon} (x, t) F (x))

с начальным условием

p ε (x, 0) = ρ 0 (x) {\ displaystyle p _ {\ varepsilon} (x, 0) = \ rho _ {0} (x) \,}

p _ {\ varepsilon} (x, 0) = \ rho _ {0} (x) \,

и смешанный вариант Дирихле – Неймана граничные условия ( $t>0 {\ displaystyle t>0}$ $t>0$ )

p ε (x, t) = 0 для x ∈ ∂ Ω a {\ displaystyle p _ {\ varepsilon} (x, t) = 0 {\ text {for}} x \ in \ partial \ Omega _ {a}}

p _ {\ varepsilon} (x, t) = 0 {\ text {for}} x \ in \ partial \ Omega _ {a}

D ∂ ∂ np ε ( x, t) - п ε (x, t) γ F (x) ⋅ n (x) = 0 для x ∈ ∂ Ω - ∂ Ω a {\ displaystyle D {\ frac {\ partial} {\ partial n}} p _ {\ varepsilon} (x, t) - {\ frac {p _ {\ varepsilon} (x, t)} {\ gamma}} F (x) \ cdot n (x) = 0 {\ text {for}} Икс \ in \ partial \ Omega - \ partial \ Omega _ {a}}

D {\ frac {\ partial} {\ partial n}} p _ {\ varepsilon} (x, t) - {\ frac {p _ {\ varepsilon} (x, t)} {\ gamma}} F (x) \ cdot n (x) = 0 {\ text {for}} x \ in \ partial \ Omega - \ partial \ Omega _ {a}

Функция

u ε (y) = ∫ Ω ∫ 0 ∞ p ε (x, ty) dtdx {\ displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = \ int _ {\ Omega} \ int _ {0} ^ {\ infty} p _ {\ varepsilon} (x, ty) \, dt \, dx}

u _ {\ varepsilon} (y) = \ int _ {\ Omega} \ int _ {0} ^ {\ infty} p _ {\ varepsilon} (x, ty) \, dt \, dx

представляет собой среднее время пребывания частица, обусловленная начальным положением $y {\ displaystyle y}$ $y$ . Это решение краевой задачи

D Δ u ε (y) + 1 γ F (y) ⋅ ∇ u ε (y) = - 1 {\ displaystyle D \ Delta u _ {\ varepsilon} (y) + {\ frac {1} {\ gamma}} F (y) \ cdot \ nabla u _ {\ varepsilon} (y) = - 1}

D \ Delta u _ {\ varepsilon} (y) + {\ frac {1} {\ gamma}} F (y) \ cdot \ nabla u _ {{\ varepsilon}} (y) = - 1

u ε (y) = 0 для y ∈ ∂ Ω a {\ displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = 0 {\ text {for}} y \ in \ partial \ Omega _ {a}}

u _ {\ varepsilon} (y) = 0 {\ text {for}} y \ in \ partial \ Omega _ {a }

∂ u ε (y) ∂ n = 0 для y ∈ ∂ Ω r { \ displaystyle {\ frac {\ partial u _ {\ varepsilon} (y)} {\ partial n}} = 0 {\ text {for}} y \ in \ partial \ Omega _ {r}}

{\ frac {\ partial u _ {\ varepsilon} (y)} {\ partial n}} = 0 {\ text {for}} y \ in \ partial \ Omega _ {r}

Решение зависит от размерности домена. Для частицы, диффундирующей по двумерному диску

u ε (y) = A π D ln ⁡ 1 ε + O (1), {\ displaystyle u _ {\ varepsilon} (y) = {\ frac {A} {\ pi D}} \ ln {\ frac {1} {\ varepsilon}} + O (1),}

u _ {\ varepsilon} (y) = {\ frac {A} {\ pi D}} \ ln {\ frac {1} {\ varepsilon}} + O (1),

, где $A {\ displaystyle A}$ $A$ - поверхность домен. Функция $u ϵ (y) {\ displaystyle u _ {\ epsilon} (y)}$ $u_ {{\ epsilon}} (y)$ не зависит от начальной позиции $y {\ displaystyle y}$ $y$ , за исключением небольшого пограничного слоя вблизи поглощающей границы из-за асимптотики.

Член первого порядка имеет значение в измерении 2: для кругового диска радиусом $R {\ displaystyle R}$ $R$ среднее время вылета частицы, начинающейся в центре, равно

E (τ | x (0) = 0) = R 2 D (журнал ⁡ (1 ε) + журнал 2 + 1 4 + O (ε)). {\ Displaystyle Е (\ тау | х (0) = 0) = {\ гидроразрыва {R ^ {2}} {D}} \ left (\ log \ left ({\ frac {1} {\ varepsilon}} \ right) + \ log 2 + {\ frac {1} {4}} + O (\ varepsilon) \ right).}

E (\ tau | x (0) = 0) = {\ frac {R ^ {2}} {D}} \ left (\ log \ left ({\ frac {1} {\ varepsilon}} \ right) + \ log 2 + {\ frac {1} {4}} + O (\ varepsilon) \ right).

Время ухода, усредненное относительно равномерного начального распределения частицы, равно

E (τ) = R 2 D (журнал ⁡ (1 ε) + журнал 2 + 1 8 + O (ε)). {\ Displaystyle Е (\ тау) = {\ гидроразрыва {R ^ {2}} {D}} \ left (\ log \ left ({\ frac {1} {\ varepsilon}} \ right) + \ log 2+ {\ frac {1} {8}} + O (\ varepsilon) \ right).}

E (\ tau) = {\ frac {R ^ {2}} {D}} \ left (\ log \ left ({\ frac {1} {\ varepsilon}} \ right) + \ log 2 + {\ frac {1} {8}} + O (\ varepsilon) \ right).

Геометрия маленького отверстия может повлиять на время выхода: если поглощающее окно расположено под углом $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ , тогда:

$E τ = | Ω | α D [журнал 1 ε + O (1)]. {\ displaystyle E \ tau = {\ frac {| \ Omega |} {\ alpha D}} \ left [\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}} + O (1) \ right].}$ $E \ tau = {\ frac {| \ Omega |} {\ alpha D}} \ left [\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}} + O (1) \ right].$

Более удивительно то, что около точки возврата в двумерной области время ухода $E τ {\ displaystyle E \ tau}$ $E \ tau$ растет алгебраически, а не логарифмически: в области, ограниченной двумя касательными окружностями, время ухода:

$E τ = | Ω | (d - 1) D (1 ε + O (1)), {\ displaystyle E \ tau = {\ frac {| \ Omega |} {(d-1) D}} \ left ({\ frac {1}) {\ varepsilon}} + O (1) \ right),}$ $E \ tau = {\ frac {| \ Omega |} {(d-1) D}} \ left ({\ frac {1 } {\ varepsilon}} + O (1) \ right),$

где d>1 - отношение радиусов. Наконец, когда домен представляет собой кольцевое пространство, время выхода из небольшого отверстия, расположенного на внутреннем круге, включает второй параметр, который составляет $β = R 1 R 2 < 1, {\displaystyle \beta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}<1,}$ $\ beta = {{\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}}} <1,$ отношение внутреннего к внешнему Радиусы, время ухода, усредненное по отношению к однородному начальному распределению, составляет:

$E τ = (R 2 2 - R 1 2) D [log ⁡ 1 ε + log ⁡ 2 + 2 β 2] + 1 2 R 2 2 1 - β 2 журнал ⁡ 1 β - 1 4 R 2 2 + O (ε, β 4) R 2 2. {\ displaystyle E \ tau = {\ frac {(R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2})} {D}} \ left [\ log {\ frac {1} {\ varepsilon} } + \ log 2 + 2 \ beta ^ {2} \ right] + {\ frac {1}} {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}} } \ log {\ frac {1} {\ beta}} - {\ frac {1} {4}} R_ {2} ^ {2} + O (\ varepsilon, \ beta ^ {4}) R_ {2} ^ {2}.}$ $E \ tau = {\ frac {(R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2})} D} \ left [\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}} + \ журнал 2 + 2 \ beta ^ {2} \ right] + {\ frac {1} {2}} {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {1- \ beta ^ {2}}} \ log {\ frac {1} {\ beta}} - {\ frac {1} {4}} R_ {2} ^ {2} + O (\ varepsilon, \ b eta ^ {4}) R_ {2} ^ {2}.$

Это уравнение содержит два члена асимптотического разложения $E τ {\ displaystyle E \ tau}$ $E \ tau$ и $2 ϵ {\ displaystyle 2 \ epsilon}$ $2 \ epsilon$ - угол поглощающей границы. Случай $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , близкий к 1, остается открытым, и для общих областей асимптотическое разложение времени ухода остается открытой проблемой. То же самое и с проблемой вычисления времени ухода около точки возврата в трехмерных областях. Для броуновского движения в силовом поле

F (x) ≠ 0 {\ displaystyle F (x) \ neq 0 \,}

F (x) \ neq 0 \,

промежуток в спектре не обязательно мал между первым и вторым собственными значениями, в зависимости от относительного размера маленького отверстия и силовых барьеров частица должна преодолеть, чтобы вырваться. Ускользающий поток не обязательно Пуассоновский.

Аналитические результаты

Теорема, которая связывает проблему ухода броуновского движения с (детерминированной) проблемой уравнения в частных производных, заключается в следующем.

Теорема. Пусть

Ω {\ displaystyle \ Omega}

\ Omega

будет ограниченной областью с гладкой границей

∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega}

\ partial \ Omega

Γ {\ displaystyle \ Gamma}

\ Gamma

быть замкнутым подмножеством

∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega}

\ частичный \ Omega

. Для каждого

x ∈ Ω {\ displaystyle x \ in \ Omega}

x \ in \ Omega

пусть

τ x {\ displaystyle \ tau _ {x}}

\ tau _ {{x}}

будет впервые частицы, попадающей в

Γ {\ displaystyle \ Gamma}

\ Gamma

, при условии, что частица начинается с

x {\ displaystyle x}

x

, подвергается броуновскому движению в

Ω {\ displaystyle \ Omega}

\ Omega

и отражает от

∂ Ω {\ displaystyle \ partial \ Omega}

\ частичный \ Omega

. Затем, среднее время первого прохода,

T (x): = E [τ x] {\ displaystyle T (x): = \ mathbb {E} [\ tau _ {x}]}

T (x): = { \ mathbb {E}} [\ tau _ {{x}}]

и его дисперсия,

v (x): = E [(τ x - T (x)) 2] {\ displaystyle v (x): = \ mathbb {E} [(\ tau _ {x} -T (x)) ^ {2}]}

v (x): = {\ mathbb {E}} [(\ tau _ {{x}} - T (x)) ^ {{2}}]

, являются решениями следующих краевых задач:

- Δ T = 2 в Ω, T = 0 на Γ, ∂ n T = 0 на ∂ Ω ∖ Γ {\ displaystyle - \ Delta T = 2 {\ text {in}} \ Omega, {\ text {}} T = 0 {\ text {on}} \ Gamma, {\ text {}} \ частичное _ {n} T = 0 {\ text {on}} \ partial \ Omega \ setminus \ Gamma}

- \ Delta T = 2 {\ text {in}} \ Omega, {\ text {}} T = 0 {\ text {on}} \ Gamma, {\ text {}} \ partial _ {{n}} T = 0 {\ text {on}} \ partial \ Omega \ setminus \ Gamma

- Δ v = 2 | ∇ T | 2 в Ω, v = 0 на Γ, ∂ nv = 0 на ∂ Ω ∖ Γ {\ displaystyle - \ Delta v = 2 \ vert \ nabla T \ vert ^ {2} {\ text {in}} \ Omega, { \ text {}} v = 0 {\ text {on}} \ Gamma, {\ text {}} \ partial _ {n} v = 0 {\ text {on}} \ partial \ Omega \ setminus \ Gamma}

- \ Delta v = 2 \ vert \ nabla T \ vert ^ {2} {\ text {in}} \ Omega, {\ text {}} v = 0 {\ text {on}} \ Gamma, {\ text {}} \ partial _ {n} v = 0 {\ text {on}} \ partial \ Omega \ setminus \ Gamma

Здесь $∂ n: = n ⋅ ∇ {\ displaystyle \ partial _ {n}: = n \ cdot \ nabla}$ $\ partial _ {{n}}: = n \ cdot \ nabla$ - производная в направлении $n {\ displaystyle n }$ $n$ , внешняя нормаль к $∂ Ω. {\ displaystyle \ partial \ Omega.}$ $\ partial \ Omega.$ Кроме того, среднее значение дисперсии можно вычислить по формуле

v ¯: = 1 | Ω | ∫ Ω v (x) d x = 1 | Ω | ∫ Ом T 2 (Икс) dx =: T 2 {\ Displaystyle {\ bar {v}}: = {\ гидроразрыва {1} {\ vert \ Omega \ vert}} \ int _ {\ Omega} v (x) dx = {\ frac {1} {\ vert \ Omega \ vert}} \ int _ {\ Omega} T ^ {2} (x) dx =: T ^ {2}}

{\ bar {v}}: = {\ frac {1} {\ vert \ Omega \ vert}} \ int _ {{\ Omega}} v (x) dx = {\ frac {1} {\ vert \ Omega \ vert}} \ int _ {{\ Omega}} T ^ {2} (x) dx =: T ^ {2}

Первая часть теоремы - классический результат, тогда как средняя дисперсия была доказана в 2011 году Кэри Кагиналп и Ксинфу Чен.

Время ухода было предметом ряда исследований, в которых малый вентиль использовался в качестве асимптотически малого параметра. Следующий результат в закрытой форме дает точное решение, которое подтверждает эти асимптотические формулы и расширяет их на элементы, которые не обязательно являются малыми.

Теорема (Замкнутая формула Кэри Кагиналпа и Ксинфу Чена). В двумерном пространстве с точками, обозначенными комплексными числами, пусть

Ω: = {r e i θ | 0 ≤ r < 1, − ε ≤ θ ≤ 2 π − ε }, Γ := { e i θ | | θ | ≤ ε } {\displaystyle \Omega :=\left\{re^{i\theta }\vert 0\leq r<1,{\text{ }}-\varepsilon \leq \theta \leq 2\pi -\varepsilon \right\},{\text{ }}\Gamma :=\left\{e^{i\theta }\vert \vert \theta \vert \leq \varepsilon \right\}}

\ Omega: = \ left \ {re ^ {{i \ theta}} \ vert 0 \ leq r <1, ​​{\ text {}} - \ varepsilon \ leq \ theta \ leq 2 \ pi - \ varepsilon \ right \}, {\ text {}} \ Гамма: = \ left \ {e ^ {{i \ theta}} \ vert \ vert \ theta \ vert \ leq \ varepsilon \ right \}

Тогда среднее время первого прохождения

T (z) {\ displaystyle T (z)}

T(z)

, для

z ∈ Ω ¯ {\ displaystyle z \ in {\ bar {\ Omega}}}

z \ in {\ bar {\ Omega}}

, определяется как

T (z) = 1 - | z | 2 2 + 2 журнал ⁡ | 1 - z + (1 - z e - i ε) (1 - z e i ε) 2 sin ⁡ ε 2 | {\ displaystyle T (z) = {\ frac {1- \ vert z \ vert ^ {2}} {2}} + 2 \ log {\ left | {\ frac {1-z + {\ sqrt {(1- ze ^ {- i \ varepsilon}) (1-ze ^ {i \ varepsilon})}}} {2 \ sin {\ frac {\ varepsilon} {2}}}} \ right |}}

T (z) = {\ frac {1- \ vert z \ vert ^ {2}} {2}} + 2 \ log {\ left | {\ frac {1-z + {\ sqrt {(1-ze ^ { {-i \ varepsilon}}) (1-ze ^ {{i \ varepsilon}})}}} {2 \ sin {{\ frac {\ varepsilon} {2}}}}} \ right |}

Другой набор результатов касается плотности вероятности местоположения выхода.

Теорема (Плотность вероятностей Кэри Кагиналп и Ксинфу Чен). Плотность вероятности местоположения частицы в момент ее выхода определяется выражением

j ¯ (ei θ): = - 1 2 π ∂ ∂ r T (ei θ) = {0, если ε < θ < 2 π − ε 1 2 π cos ⁡ θ 2 sin 2 ⁡ ε 2 − sin 2 ⁡ θ 2, if | θ | < ε {\displaystyle {\bar {j}}(e^{i\theta }):=-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial r}}T(e^{i\theta })={\begin{cases}0,{\text{if }}\varepsilon <\theta <2\pi -\varepsilon \\{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\varepsilon }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}},{\text{if }}\vert \theta \vert <\varepsilon \end{cases}}}

{\ bar {j}} ( e ^ {{i \ theta}}): = - {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} T (e ^ {{i \ theta}}) = {\ begin {case} 0, {\ text {if}} \ varepsilon <\ theta <2 \ pi - \ varepsilon \\ {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ frac {\ cos { {\ frac {\ theta} {2}}}} {{\ sqrt {\ sin ^ {2} {{\ frac {\ varepsilon} {2}}} - \ sin ^ {2} {{\ frac {\ theta} {2}}}}}}}, {\ text {if}} \ vert \ theta \ vert <\ varepsilon \ end {cases}}

То является для любого (множества Бореля ) $γ ⊂ ∂ Ω {\ displaystyle \ gamma \ subset \ partial \ Omega}$ $\ gamma \ subset \ partial \ Omega$ , вероятность того, что частица, начиная с происхождения или равномерно распределены в $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , демонстрируя броуновское движение в $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , отражаясь при попадании в $∂ Ω ∖ Γ {\ displaystyle \ partial \ Omega \ setminus \ Gamma}$ $\ partial \ Omega \ setminus \ Gamma$ , и экранирование при достижении $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ заканчивается экранированием из $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ равно

P (γ) = ∫ γ j ¯ (y) d S y {\ displaystyle P (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} {\ bar {j}} (y) dS_ {y}}

P ( \ gamma) = \ int _ {{\ gamma}} {\ bar {j}} (y) dS_ {y}

где $d S y {\ displaystyle dS_ {y}}$ $dS _ {{y}}$ - элемент поверхности $∂ Ω { \ displaystyle \ partial \ Omega}$ $\ частичный \ Omega$ at $y ∈ ∂ Ω {\ displaystyle y \ in \ partial \ Omega}$ $y \ in \ partial \ Omega$ .

Моделирование бровей nian motion escape

При моделировании возникает случайная ошибка из-за процесса статистической выборки. Эта ошибка может быть ограничена обращением к центральной предельной теореме и использованием большого количества выборок. Также имеется ошибка дискретизации из-за аппроксимации конечного размера шага при аппроксимации броуновского движения. Затем можно получить эмпирические результаты, поскольку размер шага и размер затвора изменяются. Используя точный результат, приведенный выше для частного случая круга, можно провести тщательное сравнение точного решения с численным решением. Это подчеркивает различие между конечными шагами и непрерывной диффузией. Распределение мест выхода также было получено путем моделирования этой проблемы.

Биологические применения

Стохастические химические реакции в микродоменах

Прямая скорость химических реакций обратно пропорциональна малому времени выхода, которое обобщает классическую формулу Смолуховского для броуновских частиц, находящихся в бесконечной среде. Марковское описание можно использовать для оценки привязки и отмены привязки к небольшому количеству сайтов.

Ссылки

Внешние ссылки

Прикладная математика и вычислительная биология в Ecole Normale Superieure, Париж
Публикации и лекции Кэри Кагиналпа http://www.pitt.edu/~careycag/
Бумага Comptes Rendus http://www.pitt.edu/~careycag/paper1.pdf
Бумага ARMA http://www.pitt.edu/~careycag/paper2.pdf