В математике, то интеграл Nørlund-Райса, который иногда называют методом Райс, относится к п - й вперед разности функции к интегралу линии на комплексной плоскости. Он обычно появляется в теории конечных разностей, а также применяется в информатике и теории графов для оценки длины двоичного дерева. Он назван в честь Нильса Эрика Норлунда и Стивена О. Райса. Вклад Норлунда заключался в определении интеграла; Вклад Райс заключался в демонстрации его полезности путем применения методы перевала к его оценке.
Содержание
- 1 Определение
- 2 цикл Пуассона – Меллина – Ньютона
- 3 среднее значение Рисса
- 4 Утилита
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
Определение
П - й прямой разности некоторой функции F ( х) задается
где - биномиальный коэффициент.
Интеграл Норлунда – Райса дается выражением
где f считается мероморфным, α является целым числом, и контур интегрирования считается окружающим полюсы, расположенные в целых числах α,..., n, но не окружает ни целые числа 0,..., ни любое из полюса f. Интеграл также можно записать как
где B ( a, b) - бета-функция Эйлера. Если функция является полиномиально ограничена на правой стороне комплексной плоскости, то контур может быть продлен до бесконечности на правой стороне, что позволяет преобразовать быть записана в виде
где постоянная c находится слева от α.
Цикл Пуассона – Меллина – Ньютона.
Цикл Пуассона – Меллина – Ньютона, отмеченный Flajolet et al. в 1985 году было обнаружено, что сходство интеграла Норлунда – Райса с преобразованием Меллина не случайно, а связано с помощью биномиального преобразования и ряда Ньютона. Пусть в этом цикле - последовательность, а g ( t) - соответствующая производящая функция Пуассона, т. Е. Пусть
Принимая преобразование Меллина
затем можно восстановить исходную последовательность с помощью интеграла Нёрлунда – Райса:
где Γ - гамма-функция.
Рисса среднее
Тесно связанный интеграл часто встречается при обсуждении средних Рисса. Грубо говоря, можно сказать, что он связан с интегралом Нёрлунда – Райса так же, как формула Перрона связана с преобразованием Меллина: вместо бесконечных рядов она имеет дело с конечными рядами.
Утилита
Интегральное представление для этих типов рядов интересно тем, что интеграл часто можно вычислить, используя асимптотическое разложение или методы перевала ; Напротив, ряд прямых разностей может быть чрезвычайно сложно оценить численно, потому что биномиальные коэффициенты быстро растут при больших n.
Смотрите также
Ссылки
- Нильс Эрик Норлунд, Vorlesungen uber Differenzenrechnung, (1954) Chelsea Publishing Company, Нью-Йорк.
- Дональд Э. Кнут, Искусство программирования, (1973), Vol. 3 Эддисон-Уэсли.
- Филипп Флажоле и Роберт Седжвик, « Преобразования Меллина и асимптотики: конечные разности и интегралы Райса », « Теоретическая информатика» 144 (1995), стр. 101–124.
- Питер Киршенхофер, " [1] ", Электронный журнал комбинаторики, том 3 (1996), выпуск 2, статья 7.