Теорема о передаче максимальной мощности

В области электротехники, то максимальная передача энергии теорема утверждает, что для получения максимального внешнего источника питания от источника с конечным внутренним сопротивлением, сопротивление нагрузки должно быть равно сопротивление источника, если смотреть с его выходных клемм. Мориц фон Якоби опубликовал теорему о максимальной мощности (передаче) около 1840 г.; его также называют « законом Якоби ».

Теорема приводит к максимальной мощности передачи по цепи, а не максимальной эффективности. Если сопротивление нагрузки сделать больше, чем сопротивление источника, то КПД выше, поскольку больший процент мощности источника передается на нагрузку, но величина мощности нагрузки ниже, поскольку увеличивается общее сопротивление цепи.

Если сопротивление нагрузки меньше, чем сопротивление источника, то большая часть мощности в конечном итоге рассеивается в источнике, и хотя общая рассеиваемая мощность выше из-за более низкого общего сопротивления, оказывается, что количество рассеиваемой в нагрузке уменьшен.

Теорема утверждает, как выбрать (чтобы максимизировать передачу мощности) сопротивление нагрузки, если задано сопротивление источника. Распространенное заблуждение - применять теорему в противоположном сценарии. Здесь не сказано, как выбрать сопротивление источника для данного сопротивления нагрузки. Фактически, сопротивление источника, которое максимизирует передачу мощности от источника напряжения, всегда равно нулю, независимо от значения сопротивления нагрузки.

Теорема может быть распространена на цепи переменного тока, которые включают в себя реактивное сопротивление, и утверждает, что максимальная передача мощности происходит, когда полное сопротивление нагрузки равно комплексно-сопряженной величине полного сопротивления источника.

Недавние пояснительные статьи иллюстрируют, как фундаментальная математика теоремы о максимальной мощности также применима к другим физическим ситуациям, таким как:

• механические столкновения между двумя объектами,
• разделение заряда между двумя конденсаторами,
• поток жидкости между двумя цилиндрами
• пропускание и отражение света на границе между двумя средами

• 1 Максимизация передачи мощности по сравнению с энергоэффективностью
• 2 Согласование импеданса
• 3 Расчетное доказательство для чисто резистивных цепей
• 4 В реактивных цепях
  • 4.1 Доказательство
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Первоначально теорема была неправильно истолкована (особенно Джоулем ) как предполагающая, что система, состоящая из электродвигателя, приводимого в действие батареей, не может иметь КПД более 50%, поскольку, когда импедансы совпадают, мощность, теряемая в виде тепла в батарее, всегда будет быть равным мощности, подаваемой на двигатель.

В 1880 году это предположение было показано Эдисоном или его коллегой Фрэнсисом Роббинсом Аптоном, которые поняли, что максимальная эффективность - это не то же самое, что максимальная передача мощности.

Для достижения максимальной эффективности сопротивление источника (будь то батарея или динамо-машина ) можно (или должно быть) сделать как можно ближе к нулю. Используя это новое понимание, они получили КПД около 90% и доказали, что электродвигатель является практической альтернативой тепловому двигателю.

Условие максимальной передачи мощности не приводит к максимальной эффективности.

Если мы определим КПД η как отношение мощности, рассеиваемой нагрузкой, R L, к мощности, развиваемой источником, V S, то по приведенной выше принципиальной схеме легко вычислить, что

${\ displaystyle \ eta = {\ frac {R _ {\ mathrm {L}}} {R _ {\ mathrm {L}} + R _ {\ mathrm {S}}}} = {\ frac {1} {1 + R_ {\ mathrm {S}} / R _ {\ mathrm {L}}}}.}$

Рассмотрим три частных случая:

• Если, то${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {L}} = R _ {\ mathrm {S}}}$${\ displaystyle \ eta = 0,5,}$
• Если или тогда${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {L}} \ to \ infty}$${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {S}} = 0,}$${\ Displaystyle \ eta = 1,}$
• Если, то${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {L}} = 0}$${\ displaystyle \ eta = 0.}$

КПД составляет всего 50%, когда достигается максимальная передача мощности, но приближается к 100%, когда сопротивление нагрузки приближается к бесконечности, хотя общий уровень мощности стремится к нулю.

КПД также приближается к 100%, если сопротивление источника приближается к нулю, и к 0%, если сопротивление нагрузки приближается к нулю. В последнем случае вся мощность потребляется внутри источника (если источник также не имеет сопротивления), поэтому мощность, рассеиваемая при коротком замыкании, равна нулю.

Основная статья: согласование импеданса

Связанное с этим понятие - безотражательное согласование импеданса.

В радио частотных линий электропередачи и других электроники, часто существует требование, чтобы соответствовать импедансу источника (в передатчике) к сопротивлению нагрузки (например, антенна ), чтобы избежать отражений в линии передачи, которые могут перегрузить или повредить передатчик.

В диаграмме напротив, мощность передается от источника, с напряжением V и фиксированным сопротивлением источника R S, к нагрузке с сопротивлением R L, в результате чего тока I. По закону Ома, я просто напряжение источника делится на общее сопротивление цепи:

${\ displaystyle I = {\ frac {V} {R _ {\ mathrm {S}} + R _ {\ mathrm {L}}}}.}$

Мощность P L, рассеиваемая в нагрузке, равна квадрату силы тока, умноженного на сопротивление:

${\ Displaystyle P _ {\ mathrm {L}} = I ^ {2} R _ {\ mathrm {L}} = \ left ({\ frac {V} {R _ {\ mathrm {S}} + R _ {\ mathrm { L}}}} \ right) ^ {2} R _ {\ mathrm {L}} = {\ frac {V ^ {2}} {R _ {\ mathrm {S}} ^ {2} / R _ {\ mathrm { L}} + 2R _ {\ mathrm {S}} + R _ {\ mathrm {L}}}}.}.$

Значение R L, для которого это выражение является максимальным, можно вычислить путем дифференцирования, но легче вычислить значение R L, для которого знаменатель

${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {S}} ^ {2} / R _ {\ mathrm {L}} + 2R _ {\ mathrm {S}} + R _ {\ mathrm {L}}}$

это минимум. В любом случае результат будет одинаковым. Дифференцируя знаменатель по R L:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dR _ {\ mathrm {L}}}} \ left (R _ {\ mathrm {S}} ^ {2} / R _ {\ mathrm {L}} + 2R _ {\ mathrm { S}} + R _ {\ mathrm {L}} \ right) = - R _ {\ mathrm {S}} ^ {2} / R _ {\ mathrm {L}} ^ {2} +1.}$

Для максимума или минимума первая производная равна нулю, поэтому

${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {S}} ^ {2} / R _ {\ mathrm {L}} ^ {2} = 1}$

или

${\ displaystyle R _ {\ mathrm {L}} = \ pm R _ {\ mathrm {S}}.}$

В практических резистивных схемах R S и R L оба положительные, поэтому положительный знак в приведенном выше является правильным решением.

Чтобы узнать, является ли это решение минимумом или максимумом, выражение знаменателя снова дифференцируется:

${\ displaystyle {{d ^ {2}} \ over {dR _ {\ mathrm {L}} ^ {2}}} \ left ({R _ {\ mathrm {S}} ^ {2} / R _ {\ mathrm { L}} + 2R _ {\ mathrm {S}} + R _ {\ mathrm {L}}} \ right) = {2R _ {\ mathrm {S}} ^ {2}} / {R _ {\ mathrm {L}} ^ {3}}. \, \!}$

Это всегда положительно для положительных значений и, показывая, что знаменатель минимален, а мощность, следовательно, максимальна, когда ${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {S}} \, \!}$${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {L}} \, \!}$

${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {S}} = R _ {\ mathrm {L}}. \, \!}$

Приведенное выше доказательство предполагает фиксированное сопротивление источника. Когда сопротивление источника может быть изменено, мощность, передаваемая нагрузке, может быть увеличена за счет уменьшения. Например, источник 100 Вольт с OF поставит 250 Вт мощности на нагрузку; уменьшение до увеличивает отдаваемую мощность до 1000 Вт. ${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {S}} \, \!}$${\ Displaystyle R _ {\ textrm {S}} \, \!}$${\ Displaystyle R _ {\ textrm {S}} \, \!}$${\ displaystyle 10 ~ \ Omega}$${\ displaystyle 10 ~ \ Omega}$${\ Displaystyle R _ {\ textrm {S}} \, \!}$${\ displaystyle 0 ~ \ Omega}$

Обратите внимание, что это показывает, что максимальная передача мощности также может быть интерпретирована как напряжение нагрузки, равное половине эквивалента напряжения Тевенина источника.

Теорема о передаче мощности также применима, когда источник и / или нагрузка не являются чисто резистивными.

Уточнение теоремы о максимальной мощности гласит, что любые реактивные компоненты источника и нагрузки должны быть одинаковой величины, но противоположного знака. ( См. Вывод ниже.)

• Это означает, что импедансы источника и нагрузки должны быть комплексно сопряженными друг с другом.
• В случае чисто резистивных схем эти две концепции идентичны.

Физически реализуемые источники и нагрузки обычно не являются чисто резистивными, имеют некоторые индуктивные или емкостные компоненты, и поэтому практические применения этой теоремы под названием комплексно сопряженного согласования импедансов фактически существуют.

Если источник является полностью индуктивным (емкостным), то полностью емкостная (индуктивная) нагрузка при отсутствии резистивных потерь будет получать 100% энергии от источника, но отправлять ее обратно через четверть цикла.

Результирующий контур представляет собой не что иное, как резонансный LC-контур, в котором энергия продолжает колебаться взад и вперед. Это колебание называется реактивной мощностью.

Коррекция коэффициента мощности (где индуктивное реактивное сопротивление используется для «уравновешивания» емкостного), по сути, является той же идеей, что и согласование комплексно-сопряженного импеданса, хотя это делается по совершенно другим причинам.

Для фиксированного реактивного источника теорема о максимальной мощности максимизирует реальную мощность (P), подаваемую на нагрузку, путем комплексно-сопряженного согласования нагрузки с источником.

Для фиксированной реактивной нагрузки коррекция коэффициента мощности сводит к минимуму полную мощность (S) (и ненужный ток), проводимую линиями передачи, при сохранении той же величины передаваемой реальной мощности.

Это делается путем добавления реактивного сопротивления к нагрузке, чтобы сбалансировать собственное реактивное сопротивление нагрузки, изменяя сопротивление реактивной нагрузки на сопротивление резистивной нагрузки.

Доказательство

На этой диаграмме мощность переменного тока передается от источника с векторной величиной напряжения (положительное пиковое напряжение) и фиксированным импедансом источника (S для источника) на нагрузку с полным сопротивлением (L для нагрузки), что приводит к (положительному) величина текущего вектора. Эта величина является результатом деления величины напряжения источника на величину полного импеданса цепи: ${\ displaystyle | V _ {\ text {S}} |}$ ${\ displaystyle Z _ {\ text {S}}}$${\ displaystyle Z _ {\ text {L}}}$${\ displaystyle | I |}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle | I |}$

${\ displaystyle | I | = {| V _ {\ text {S}} | \ over | Z _ {\ text {S}} + Z _ {\ text {L}} |}.}$

Средняя мощность, рассеиваемая в нагрузке, равна квадрату тока, умноженного на резистивную часть (действительную часть) импеданса нагрузки: ${\ displaystyle P _ {\ text {L}}}$${\ displaystyle R _ {\ text {L}}}$${\ displaystyle Z _ {\ text {L}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} P _ {\ text {L}} amp; = I _ {\ text {rms}} ^ {2} R _ {\ text {L}} = {1 \ over 2} | I | ^ {2} R _ {\ text {L}} \\ amp; = {1 \ over 2} \ left ({| V _ {\ text {S}} | \ over | Z _ {\ text {S}} + Z _ {\ текст {L}} |} \ right) ^ {2} R _ {\ text {L}} = {1 \ over 2} {| V _ {\ text {S}} | ^ {2} R _ {\ text {L }} \ over (R _ {\ text {S}} + R _ {\ text {L}}) ^ {2} + (X _ {\ text {S}} + X _ {\ text {L}}) ^ {2 }}, \ end {выровнены}}}$

где и обозначают сопротивления, то есть действительные части, и и обозначают реактивные сопротивления, то есть мнимые части, соответственно импеданса источника и нагрузки и. ${\ displaystyle R _ {\ text {S}}}$${\ displaystyle R _ {\ text {L}}}$${\ displaystyle X _ {\ text {S}}}$${\ displaystyle X _ {\ text {L}}}$${\ displaystyle Z _ {\ text {S}}}$${\ displaystyle Z _ {\ text {L}}}$

Чтобы определить для данного напряжения и импеданса источника значение импеданса нагрузки, для которого это выражение мощности дает максимум, сначала находят для каждого фиксированного положительного значения значение реактивного члена, для которого знаменатель ${\ displaystyle V _ {\ text {S}}}$${\ displaystyle Z _ {\ text {S}},}$${\ displaystyle Z _ {\ text {L}},}$${\ displaystyle R _ {\ text {L}}}$${\ displaystyle X _ {\ text {L}}}$

${\ displaystyle (R _ {\ text {S}} + R _ {\ text {L}}) ^ {2} + (X _ {\ text {S}} + X _ {\ text {L}}) ^ {2} \,}$

это минимум. Поскольку реактивные сопротивления могут быть отрицательными, это достигается путем адаптации реактивного сопротивления нагрузки к

${\ displaystyle X _ {\ text {L}} = - X _ {\ text {S}}.}$

Это сокращает приведенное выше уравнение до:

${\ displaystyle P _ {\ text {L}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {| V _ {\ text {S}} | ^ {2} R _ {\ text {L}}} { (R _ {\ text {S}} + R _ {\ text {L}}) ^ {2}}}}$

и остается найти значение, которое максимизирует это выражение. Эта проблема имеет ту же форму, что и в чисто резистивном случае, поэтому условием максимизации является${\ displaystyle R _ {\ text {L}}}$${\ displaystyle R _ {\ text {L}} = R _ {\ text {S}}.}$

Два условия максимизации

• ${\ displaystyle R _ {\ text {L}} = R _ {\ text {S}}}$
• ${\ displaystyle X _ {\ text {L}} = - X _ {\ text {S}}}$

описывают комплексно-сопряженный импеданс источника, обозначаемый и, таким образом, может быть кратко объединен с: ${\ displaystyle ^ {*},}$

${\ displaystyle Z _ {\ text {L}} = Z _ {\ text {S}} ^ {*}.}$

1. ^ Томпсон Филлипс (30 мая 2009 г.), Dynamo-Electric Machinery; Учебное пособие для студентов-электротехников, ООО «БиблиоБазар», ISBN   978-1-110-35104-6
2. ^ ^{a b} Харрисон, Марк (22 февраля 2013 г.). «Физические столкновения и теорема о максимальной мощности: аналогия между механическими и электрическими ситуациями». Физическое образование. 48 (2): 207–211. DOI : 10.1088 / 0031-9120 / 48/2/207. ISSN   0031-9120.
3. ^ Аткин, Кит (2013-08-22). «Передача энергии и повторяющаяся математическая функция». Физическое образование. 48 (5): 616–620. DOI : 10.1088 / 0031-9120 / 48/5/616. ISSN   0031-9120.
4. ^ "Учебники по основам электроники и пересмотр для новичков и продвинутых учащихся".

• HW Джексон (1959) Введение в электронные схемы, Прентис-Холл.

• Сопряженное согласование против безотражательного согласования ( PDF ), взятое из электромагнитных волн и антенн
• Передатчик искры. 2. Максимизация мощности, часть 1.