Матрица единиц

редактировать

В математике, матрица из них или всех-онов матрица представляет собой матрицу, где каждый элемент равен одному. Примеры стандартных обозначений приведены ниже:

{\ displaystyle J_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 \\ 1 amp; 1 \ end {pmatrix}}; \ quad J_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 amp; 1 \\ 1 amp; 1 amp; 1 \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {pmatrix} }; \ quad J_ {2,5} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 \\ 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 \ end {pmatrix}}; \ quad J_ {1,2} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 \ end {pmatrix}}. \ quad}

{\ displaystyle J_ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 \\ 1 amp; 1 \ end {pmatrix}}; \ quad J_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 amp; 1 \\ 1 amp; 1 amp; 1 \\ 1 amp; 1 amp; 1 \ end {pmatrix} }; \ quad J_ {2,5} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 \\ 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 \ end {pmatrix}}; \ quad J_ {1,2} = {\ begin {pmatrix} 1 amp; 1 \ end {pmatrix}}. \ quad}

Некоторые источники называют матрицу всех единиц единичной матрицей, но этот термин может также относиться к единичной матрице, другой матрице.

Вектор из единиц или всех единиц вектора является матрицей из единиц, имеющей строку или столбца формы.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Недвижимость
2 Приложения
3 См. Также
4 ссылки

Характеристики

Для матрицы единиц J размера n × n выполняются следующие свойства:

След от J равна п, а определитель равен 0 для п ≥ 2, но равно 1, если п = 1 (или, если п = 0, если мы хотим рассмотреть пустую квадратную матрицу, которая является все-онов матрица).
Характеристический полином от J является. ${\ Displaystyle (хп) х ^ {п-1}}$ ${\ Displaystyle (хп) х ^ {п-1}}$
Оценка из J 1 и собственные значения являются п с кратностью 1 и 0 с кратностью п - 1.
${\ Displaystyle J ^ {k} = n ^ {k-1} J}$ ${\ Displaystyle J ^ {k} = n ^ {k-1} J}$ для ${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots.}$ ${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots.}$
J - нейтральный элемент произведения Адамара.

Когда J рассматривается как матрица вещественных чисел, сохраняются следующие дополнительные свойства:

J - положительная полуопределенная матрица.
Матрица является идемпотентной. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}} J}$ ${\ tfrac 1n} Дж$
Матрица экспоненциальное из J является ${\ displaystyle \ exp (J) = I + {\ frac {e ^ {n} -1} {n}} J.}$ ${\ displaystyle \ exp (J) = I + {\ frac {e ^ {n} -1} {n}} J.}$

Приложения

Матрица всех единиц возникает в математической области комбинаторики, особенно в связи с применением алгебраических методов к теории графов. Например, если A - матрица смежности неориентированного графа G с n вершинами, а J - матрица всех единиц той же размерности, то G является регулярным графом тогда и только тогда, когда AJ = JA. В качестве второго примера, матрица появляется в некоторых линейно-алгебраические доказательства формулы Кэли, что дает число остовных деревьев из более полного графа, используя теорему матрицы дерева.

Смотрите также

Нулевая матрица, матрица, в которой все элементы равны нулю.
Матрица с однократной записью

Рекомендации