Это список правил вывода, логические законы, относящиеся к математическим формулам.
Правила вывода - это синтаксические правила преобразования, которые можно использовать для вывода заключения из предпосылки для создания аргумента. Набор правил может использоваться для вывода любого действительного вывода, если он является полным, и никогда не делать неверного вывода, если он является правильным. В обоснованный и полный набор правил не обязательно включать каждое правило из следующего списка, поскольку многие правила являются избыточными и могут быть проверены с помощью других правил.
Правила разряда позволяют делать вывод из субдеривации на основе временного предположения. Ниже обозначение
указывает на такое подчинение временного предположения на .
Исчисление предложений также известно как исчисление высказываний.
В следующих правилах точно так же, как , за исключением того, что содержит термин где имеет свободную переменную .
Ограничение 1: - это переменная, которая не встречается в .. Ограничение 2: не упоминается ни в одной гипотезе или невыполненных предположениях.
Ограничение: нет свободного появления в входит в сферу действия квантора, определяющего количественную оценку переменной, встречающейся в .
Ограничение: не встречается слово в попадает в область действия квантификатора, количественно определяющего переменную, имеющую место в .
Ограничение 1: - это переменная, которой нет в .. Ограничение 2: не существует ни свободного, ни связанного вхождения в .. Ограничение 3: не упоминается ни в одной гипотезе или невыполненных предположениях.
Ниже приведены частные случаи универсального обобщения и экзистенциального исключения; они встречаются в субструктурных логиках, таких как линейная логика.
Приведенные выше правила можно суммировать в следующей таблице. «Тавтология В столбце "показано, как интерпретировать обозначение данного правила.
Правила вывода | Тавтология | Имя |
---|---|---|
Modus ponens | ||
Modus tollens | ||
ассоциативный | ||
Коммутативный | ||
Закон двузональных высказываний | ||
Экспорт | ||
Закон транспозиции или противопоставления | ||
гипотетический силлогизм | ||
Материальное значение | ||
Распределительный | ||
Поглощение | ||
Дизъюнктив е силлогизм | ||
сложение | ||
Упрощение | ||
Конъюнкция | ||
Двойное отрицание | ||
дизъюнктивное упрощение | ||
Разрешение | ||
Устранение дизъюнкции |
Все правила используют основные логические операторы. Полная таблица «логических операторов» представлена таблицей истинности, дающей определения всех возможных (16) функций истинности 2 логических переменных (p, q):
p | q | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | F | F | F | F | F | F | T | T | T | T | T | T | T | T | ||
T | F | F | F | F | F | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T | ||
F | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | ||
F | F | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T |
, где T = истина и F = ложь, а столбцы являются логическими операторами: 0, false, противоречие ; 1, NOR, логическое ИЛИ (Стрелка Пирса); 2, Конверсия без импликации ; 3, ¬p, Отрицание ; 4, Существенное отсутствие импликации ; 5, ¬q, Отрицание; 6, XOR, Исключительная дизъюнкция ; 7, NAND, Logical NAND (ход Шеффера); 8, AND, Логическое соединение ; 9, XNOR, Если и только если, Логическая двусмысленная ; 10, q, функция проекции ; 11, если / то, Логическая импликация ; 12, p, функция проекции; 13, then / if, обратная импликация ; 14, OR, логическая дизъюнкция ; 15, true, тавтология.
Каждый логический оператор может использоваться в утверждении о переменных и операциях, показывая основное правило вывода. Примеры:
Машины и хорошо обученные люди используют этот подход к таблицам, чтобы делать базовые выводы и проверять, есть ли другие выводы (для тех же посылок) могут быть получены.
Рассмотрим следующие предположения: «Если сегодня идет дождь, то сегодня мы не пойдем на каноэ. Если мы не отправимся сегодня в поход на каноэ, то мы поедем. завтра в поход на каноэ. Поэтому (математический символ для «поэтому» - ), если сегодня идет дождь, завтра мы отправимся в поход на каноэ ». Чтобы использовать правила вывода из приведенной выше таблицы, мы позволим быть предложением «Если сегодня идет дождь», будет «Сегодня мы не пойдем на каноэ» и пусть будет «Мы отправимся в поход на каноэ завтра». Тогда этот аргумент имеет вид:
Рассмотрим более сложный набор предположений: «Сегодня не солнечно, и холоднее, чем вчера». «Мы будем купаться, только если будет солнечно», «Если мы не будем купаться, то у нас будет барбекю» и «Если у нас будет барбекю, то мы будем дома к закату» приводят к заключению » Мы будем дома к закату ". Доказательство с помощью правил вывода: пусть будет утверждением «Сегодня солнечно», предложением " Холоднее, чем вчера », предложение« Пойдем купаться », предложение« Мы будет барбекю », и предложение« Мы будем дома к закату ». Тогда гипотезы станут и . Используя нашу интуицию, мы предполагаем, что вывод может быть . Используя таблицу правил вывода, мы можем легко доказать гипотезу:
Шаг | Причина |
---|---|
1. | Гипотеза |
2. | Упрощение с использованием шага 1 |
3. | Гипотеза |
4. | Modus tollens с использованием шагов 2 и 3 |
5. | Гипотеза |
6. | Modus ponens с использованием шагов 4 и 5 |
7. | Гипотеза |
8. | Modus ponens с использованием шагов 6 и 7 |