Векторное поле лапласиана

редактировать

В векторном исчислении векторное поле лапласа является вектором поле, которое одновременно является безвихревым и несжимаемым. Если поле обозначено как v, то оно описывается следующими дифференциальными уравнениями :

∇ × v = 0, ∇ ⋅ v = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ times \ mathbf {v} = \ mathbf {0}, \\\ nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ times \ mathbf {v} = \ mathbf {0}, \\\ набла \ cdot \ mathbf {v} = 0. \ Конец {выровнено}}}

Из тождества векторного исчисления $∇ 2 v ≡ ∇ (∇ ⋅ v) - ∇ × (∇ × v) {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ Equiv \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf { v}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {v})}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} \ эквив \ набла (\ nabla \ cdot \ mathbf {v}) - \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {v})}$ следует, что

∇ 2 v = 0 {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {v } = 0}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} = 0}

, то есть поле v удовлетворяет уравнению Лапласа.

Лапласовское векторное поле на плоскости удовлетворяет уравнениям Коши – Римана : it является голоморфным.

Поскольку curl для v равен нулю, отсюда следует, что (когда область определения односвязна) v может быть выраженный как градиент скалярного потенциала (см. безвихревое поле ) φ:

v = ∇ ϕ. (1) {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ phi. \ Qquad \ qquad (1)}

{\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ nabla \ phi. \ qquad \ qquad (1)}

Тогда, поскольку расхождение для v также равно нулю, из уравнения (1) следует, что

∇ ⋅ ∇ ϕ = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ nabla \ phi = 0}

\ nabla \ cdot \ nabla \ phi = 0

, что эквивалентно

∇ 2 ϕ = 0. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = 0.}

Следовательно, потенциал лапласовского поля удовлетворяет уравнению Лапласа.

См. также