Распределение Ландау

редактировать

Распределение Ландау
Плотность вероятности функция
Параметры	$c ∈ (0, ∞) {\ displaystyle c \ in (0, \ infty)}$ ${\ displaystyle c \ in (0, \ infty)}$ — параметр масштаба. $μ ∈ (- ∞, ∞) {\ displaystyle \ mu \ in (- \ infty, \ infty)}$ ${\ displaystyle \ mu \ in (- \ infty, \ infty)}$ — параметр местоположения
Поддержка	$R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$
PDF	$1 π c ∫ 0 ∞ e - t cos ⁡ (T (Икс - μ с) + 2 T π журнал ⁡ (tc)) dt {\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi c}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t } \ cos \ left (t \ left ({\ frac {x- \ mu} {c}} \ right) + {\ frac {2t} {\ pi}} \ log \ left ({\ frac {t} { c}} \ right) \ right) \, dt}$ ${\ displ aystyle {\ frac {1} {\ pi c}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ cos \ left (t \ left ({\ frac {x- \ mu} {c }} \ right) + {\ frac {2t} {\ pi}} \ log \ left ({\ frac {t} {c}} \ right) \ right) \, dt}$
Среднее	Неопределенное
Дисперсия	Неопределенное
MGF	Неопределенное
CF	$exp ⁡ (it μ - 2 ict π log ⁡ \| т \| - с \| т \|) {\ displaystyle \ exp \ left (it \ mu - {\ frac {2ict} {\ pi}} \ log \| t \| -c \| t \| \ right)}$ ${\ displaystyle \ exp \ left (it \ mu - {\ frac {2ict} {\ pi}} \ log \| t \| -c \| t \| \ right)}$

В теории вероятностей, распределение Ландау является распределением вероятностей , названным в честь Льва Ландау. Из-за «толстого» хвоста распределения моменты распределения, такие как среднее значение или дисперсия, не определены. Распределение является частным случаем стабильного распределения.

Определение

функция плотности вероятности, как первоначально написано Ландау, определяется комплексом интеграл :

p (x) = 1 2 π я ∫ a - i ∞ a + i ∞ es log ⁡ (s) + xsds, {\ displaystyle p (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ai \ infty} ^ {a + i \ infty} e ^ {s \ log (s) + xs} \, ds,}

{\ displaystyle p (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {ai \ infty} ^ {a + i \ infty} e ^ {s \ log (s) + xs} \, ds,}

где a - произвольное положительное значение вещественное число, означающее, что путь интегрирования может быть любым, параллельным мнимой оси, пересекающим действительную положительную полуось, а $log {\ displaystyle \ log}$ $\ log$ относится к натуральный логарифм.

Следующий вещественный интеграл эквивалентен приведенному выше:

p (x) = 1 π ∫ 0 ∞ e - t log ⁡ (t) - xt sin ⁡ (π t) dt. {\ displaystyle p (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t \ log (t) -xt} \ sin (\ pi t) \, dt.}

{\ displaystyle p (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t \ log (t) -xt} \ sin (\ pi t) \, dt.}

Полное семейство распределений Ландау получается расширением исходного распределения до семейства в масштабе местоположения устойчивых распределений с параметрами $α = 1 {\ displaystyle \ alpha = 1}$ $\ alpha = 1$ и $β = 1 {\ displaystyle \ beta = 1}$ $\ beta = 1$ , с характеристической функцией :

φ (t; μ, с) знак равно ехр ⁡ (это μ - 2 ИКТ π журнал ⁡ | T | - с | T |) {\ Displaystyle \ varphi (т; \ му, с) = \ ехр \ влево (это \ му - {\ tfrac {2ict} {\ pi}} \ log | t | -c | t | \ right)}

{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = \ exp \ left (it \ mu - {\ tfrac {2ict} {\ pi}} \ log | t | -c | t | \ right)}

где $c ∈ (0, ∞) {\ displaystyle c \ in (0, \ infty)}$ ${\ displaystyle c \ in (0, \ infty)}$ и $μ ∈ (- ∞, ∞) {\ displaystyle \ mu \ in (- \ infty, \ infty)}$ ${\ displaystyle \ mu \ in (- \ infty, \ infty)}$ , что дает функцию плотности:

p (Икс; μ, с) знак равно 1 π с ∫ 0 ∞ е - t соз ⁡ (t (x - μ c) + 2 t π журнал ⁡ (tc)) dt, {\ displaystyle p (x; \ mu, c) = {\ frac {1} {\ pi c}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ cos \ left (t \ left ({\ frac {x- \ mu} { c}} \ right) + {\ frac {2t} {\ pi}} \ log \ left ({\ frac {t} {c}} \ right) \ r ight) \, dt,}

{\ displaystyle p (x; \ mu, c) = {\ frac {1} {\ pi c}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ cos \ left (t \ left ({\ frac {x- \ mu}) {c}} \ right) + {\ frac {2t} {\ pi}} \ log \ left ({\ frac {t} {c}} \ right) \ right) \, dt,}

Заметим, что исходная форма $p (x) {\ displaystyle p (x)}$ $p(x)$ получается для $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ и $c = π 2 {\ displaystyle c = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle c = {\ frac {\ pi} {2 }}}$ , а следующее является приблизительным из $p (x; μ, c) {\ displaystyle p (x; \ mu, c)}$ ${\ displaystyle p (x; \ mu, c)}$ для $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ и $c = 1 {\ displaystyle c = 1}$ $c Знак равно 1$ :

p (x) ≈ 1 2 π exp ⁡ (- x + e - x 2). {\ displaystyle p (x) \ приблизительно {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac {x + e ^ {- x}} {2}} \ right).}

{\ displaystyle p (x) \ приблизительно {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ exp \ left (- {\ frac { x + e ^ {- x}} {2}} \ right).}

Связанные распределения

Если $X ∼ Ландау (μ, c) {\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Landau}} (\ mu, c) \,}$ $Икс \ sim {\ textrm {Ландау}} (\ му, c) \,$ затем $X + m ∼ Ландау (μ + m, c) {\ displaystyle X + m \ sim {\ textrm {Landau}} (\ mu + m, c) \,}$ $X + m \ sim {\ textrm {Landau}} (\ mu + m, c) \,$ .
Распределение Ландау стабильное распределение с параметром стабильности $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ и параметром асимметрии $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ оба равны 1.

Ссылки