Линия влияния

редактировать

Рисунок 1: (a) Показана простая поддерживаемая балка с единичной нагрузкой, размещенной на расстоянии x от левого конца. Его линии влияния для четырех различных функций: (b) реакция на левой опоре (обозначена A), (c) реакция на правой опоре (обозначена C), (d) одна для сдвига в точке B вдоль балки, и (e) один момент также в точке B.

В инженерном деле линия влияния отображает изменение функции (например, сдвиг, ощущаемый в элементе конструкции) в определенной точке на элементе конструкции. балка или ферма, вызванная удельной нагрузкой, приложенной в любой точке конструкции. Общие функции, изучаемые с помощью линий влияния, включают реакции (силы, которые должны прикладывать опоры конструкции, чтобы конструкция оставалась статичной), сдвиг, момент и прогиб (Деформация). Линии воздействия важны при проектировании балок и ферм, используемых в мостах, подкрановых рельсах, конвейерных лентах, балках перекрытий и других конструкциях, в которых нагрузки будут перемещаться по их пролетам. Линии влияния показывают, где нагрузка создаст максимальный эффект для любой из изученных функций.

Линии влияния являются как скалярным, так и аддитивным. Это означает, что их можно использовать, даже если прикладываемая нагрузка не является единичной нагрузкой или если приложено несколько нагрузок. Чтобы найти влияние любой неединичной нагрузки на конструкцию, результаты ординат, полученные по линии влияния, умножаются на величину действительной нагрузки, которая должна быть приложена. Можно масштабировать всю линию влияния или только максимальные и минимальные эффекты, испытываемые вдоль линии. Масштабированные максимум и минимум - это критические величины, которые должны быть рассчитаны для балки или фермы.

В случаях, когда могут действовать несколько нагрузок, линии влияния для отдельных нагрузок могут быть сложены вместе, чтобы получить общий эффект, ощущаемый конструкцией в данной точке. При сложении линий влияния необходимо включить соответствующие смещения из-за расстояния между нагрузками в конструкции. Например, к конструкции прилагается груз грузовика. Задняя ось B находится на расстоянии трех футов позади передней оси A, тогда эффект A на x футов вдоль конструкции должен быть добавлен к эффекту B на (x - 3) футах вдоль конструкции, а не к эффекту B на x футов вдоль конструкции.

Многие нагрузки распределены, а не сосредоточены. Линии воздействия могут использоваться как с сосредоточенными, так и с распределенными нагрузками. При сосредоточенной (или точечной) нагрузке единичная точечная нагрузка перемещается по конструкции. Для распределенной нагрузки заданной ширины единично-распределенная нагрузка такой же ширины перемещается вдоль конструкции, отмечая, что, когда нагрузка приближается к концам и отодвигается от конструкции, конструкция несет только часть общей нагрузки. Эффект распределенной единичной нагрузки также может быть получен путем интегрирования линии влияния точечной нагрузки по соответствующей длине конструкций.

Линии Влияния определенных структур становятся механизмом, тогда как Линии Влияния неопределенных структур становятся просто определенными.

Содержание

1 Демонстрация из теоремы Бетти
2 Концепция
3 Методы построения линии влияния
- 3.1 Таблица значений
- 3.2 Уравнения линий влияния
- 3.3 Принцип Мюллера-Бреслау
4 Варианты альтернативного нагружения
- 4.1 Многократные нагрузки
- 4.2 Распределенные нагрузки
5 Неопределенные конструкции
6 См. Также
7 Ссылки

Демонстрация из теоремы Бетти

Линии влияния основаны на теореме Бетти. Отсюда рассмотрим две внешние силовые системы: $F i P {\ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$ $F_ {i} ^ {P}$ и $F i Q {\ displaystyle F_ {i} ^ {Q }}$ $F_ {i} ^ {Q}$ , каждое из которых связано с полем смещения, смещения которого, измеренные в точке приложения силы, представлены как $di P {\ displaystyle d_ {i} ^ {P}}$ $d_ {i} ^ {P}$ и $di Q {\ displaystyle d_ {i} ^ {Q}}$ $d_{i}^{Q}$ .

Учтите, что система $F i P {\ displaystyle F_ {i} ^ {P}}$ $F_ {i} ^ {P}$ представляет собой действительные силы, приложенные к конструкции, которые находятся в равновесии. Учтите, что система $F i Q {\ displaystyle F_ {i} ^ {Q}}$ $F_ {i} ^ {Q}$ образована одной силой, $FQ {\ displaystyle F ^ {Q}}$ $F^{Q}$ . Поле смещения $di Q {\ displaystyle d_ {i} ^ {Q}}$ $d_{i}^{Q}$ , связанное с этим форсированием, определяется снятием структурных ограничений, действующих в точке, где $FQ {\ displaystyle F ^ {Q}}$ $F^{Q}$ применяется и накладывает относительное единичное смещение, кинематически допустимое в отрицательном направлении, представленное как $d 1 Q = - 1 {\ displaystyle d_ {1} ^ {Q} = -1}$ $d_ {1} ^ {Q} = - 1$ . Из теоремы Бетти получаем следующий результат:

$- F 1 P + ∑ i = 2 n F i P di Q = FQ × 0 ⟺ F 1 P = ∑ i = 2 n F i P di Q {\ displaystyle -F_ {1} ^ {P} + \ sum _ {i = 2} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {Q} = F ^ {Q} \ times 0 \ iff F_ {1} ^ {P} = \ sum _ {i = 2} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {Q}}$ $-F_ {1} ^ {P} + \ sum _ {{i = 2}} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {Q} = F ^ {Q} \ times 0 \ iff F_ {1} ^ {P} = \ sum _ {{i = 2}} ^ {n} F_ {i} ^ {P} d_ {i} ^ {Q}$

Концепция

При проектировании балки или фермы необходимо учитывать сценарии, вызывающие максимальные ожидаемые реакции, сдвиги и моменты внутри элементов конструкции, чтобы гарантировать, что ни один элемент не выйдет из строя в течение срока службы конструкции. При работе с статическими нагрузками (нагрузками, которые никогда не перемещаются, такими как вес самой конструкции), это относительно легко, потому что нагрузки легко прогнозировать и планировать. Для динамических нагрузок (любая нагрузка, которая перемещается в течение срока службы конструкции, например, мебель и люди), становится намного сложнее предсказать, где будут находиться нагрузки, а также насколько они сосредоточены или распределены в течение всего срока службы. конструкции.

Линии влияния отображают реакцию балки или фермы при перемещении по ней единичной нагрузки. Линия влияния помогает проектировщикам найти, где разместить динамическую нагрузку, чтобы вычислить максимальную результирующую реакцию для каждой из следующих функций: реакции, сдвига или момента. Затем проектировщик может масштабировать линию влияния с учетом наибольшей ожидаемой нагрузки, чтобы рассчитать максимальный отклик каждой функции, для которой балка или ферма должны быть спроектированы. Линии влияния также можно использовать для определения реакции других функций (таких как отклонение или осевая сила) на приложенную единичную нагрузку, но такое использование линий влияния менее распространено.

Методы построения линий влияния

Для построения линии влияния используются три метода. Первый состоит в том, чтобы составить таблицу значений влияния для нескольких точек вдоль конструкции, а затем использовать эти точки для создания линии влияния. Второй - определить уравнения линии влияния, которые применяются к конструкции, тем самым решая все точки вдоль линии влияния в терминах x, где x - количество футов от начала конструкции до точки, в которой единичная нагрузка применены. Третий метод называется принципом Мюллера-Бреслау. Создает качественную линию влияния. Эта линия влияния по-прежнему предоставит проектировщику точное представление о том, где единичная нагрузка вызовет наибольший отклик функции в исследуемой точке, но ее нельзя использовать напрямую для расчета величины этого отклика, тогда как влияние линии, произведенные первыми двумя методами, могут.

Табулирование значений

Чтобы табулировать значения влияния по отношению к некоторой точке A на конструкции, единичная нагрузка должна быть размещена в различных точках вдоль конструкции. Статика используется для вычисления значения функции (реакции, сдвига или момента) в точке A. Обычно восходящая реакция считается положительной. Сдвигу и моментам присваиваются положительные или отрицательные значения в соответствии с теми же соглашениями, которые используются для диаграмм сдвига и моментов.

R. К. Хиббелер утверждает в своей книге «Структурный анализ»: «Все статически определенные балки будут иметь линии влияния, состоящие из отрезков прямых линий». Следовательно, можно минимизировать количество вычислений, распознавая точки, которые вызовут изменение наклона линии влияния, и вычисляя значения только в этих точках. Наклон линии перегиба может изменяться на опорах, средних пролетах и стыках.

Линия влияния для данной функции, такой как реакция, осевая сила, поперечная сила или изгибающий момент, представляет собой график, который показывает изменение этой функции в любой заданной точке конструкции из-за приложения. единичной нагрузки в любой точке конструкции.

Линия влияния для функции отличается от диаграммы сдвигового, осевого или изгибающего момента. Линии влияния могут быть созданы путем независимого приложения единичной нагрузки в нескольких точках конструкции и определения значения функции, обусловленной этой нагрузкой, то есть сдвига, осевого усилия и момента в желаемом месте. Затем рассчитанные значения для каждой функции наносятся на график в том месте, где была приложена нагрузка, а затем соединяются вместе, чтобы создать линию влияния для функции.

После того, как значения влияния занесены в таблицу, можно провести линию влияния для функции в точке A в единицах x. Сначала необходимо найти табличные значения. Для участков между точками в таблице требуется интерполяция. Поэтому для соединения точек можно провести прямые линии. Как только это будет сделано, линия влияния завершится.

Уравнения линии влияния

Можно создать уравнения, определяющие линию влияния по всему пролету конструкции. Это делается путем определения реакции, сдвига или момента в точке A, вызванной единичной нагрузкой, размещенной на расстоянии x футов вдоль конструкции, а не на определенном расстоянии. Этот метод аналогичен методу табличных значений, но вместо получения числового решения результатом является уравнение в терминах x.

Важно понимать, где изменяется наклон линии влияния для этого метода потому что уравнение линии влияния будет изменяться для каждого линейного участка линии влияния. Следовательно, полное уравнение представляет собой кусочно-линейную функцию с отдельным уравнением линии влияния для каждого линейного участка линии влияния.

Принцип Мюллера-Бреслау

Согласно www.public.iastate.edu, «Принцип Мюллера-Бреслау может использоваться для проведения качественных линий влияния, которые прямо пропорциональны фактической линии влияния». Вместо перемещения единичной нагрузки по балке принцип Мюллера-Бреслау определяет отклоненную форму балки, вызванную первым выпуском балки в исследуемой точке, а затем применением исследуемой функции (реакции, сдвига или момента) к этот момент. Принцип гласит, что линия влияния функции будет иметь масштабированную форму, которая будет такой же, как и форма отклонения луча, когда на луч действует функция.

Чтобы понять, как луч отклоняется под действием функции, необходимо исключить способность луча сопротивляться этой функции. Ниже приведены объяснения того, как найти линии влияния жесткой балки с простой опорой (например, показанной на рисунке 1).

При определении реакции, вызванной опорой, опора заменяется роликом, который не может сопротивляться вертикальной реакции. Затем применяется восходящая (положительная) реакция к точке, где была поддержка. Поскольку опора была удалена, балка будет вращаться вверх, и, поскольку балка жесткая, образуется треугольник с точкой на второй опоре. Если балка выступает за пределы второй опоры как консоль, подобный треугольник будет сформирован ниже положения консолей. Это означает, что линия влияния реакции будет прямой наклонной линией со значением ноль в месте расположения второй опоры.

При определении сдвига, вызванного в некоторой точке B вдоль балки, балка должна быть разрезана и роликовая направляющая (которая способна выдерживать моменты, но не сдвигать) должна быть вставлена в точку B. Затем, приложив положительный сдвиг к этой точке, можно увидеть, что левая сторона будет вращаться вниз, а правая сторона будет вращаться. вверх. Это создает прерывистую линию влияния, которая достигает нуля у опор и имеет одинаковый наклон по обе стороны от разрыва. Если точка B находится на опоре, то отклонение между точкой B и любыми другими опорами по-прежнему будет создавать треугольник, но если балка консольная, тогда вся консольная сторона будет перемещаться вверх или вниз, образуя прямоугольник.

При определении момент, вызванный в некоторой точке B вдоль балки, петля будет помещена в точку B, освобождая ее на моменты, но сопротивляясь сдвигу. Затем, когда в точке B будет установлен положительный момент, обе стороны балки повернутся вверх. Это создаст непрерывную линию влияния, но наклоны будут равными и противоположными по обе стороны от петли в точке B. Поскольку балка просто поддерживается, ее концевые опоры (штифты) не могут сопротивляться моменту; Таким образом, можно заметить, что опоры никогда не будут испытывать моменты в статической ситуации, независимо от того, где находится нагрузка.

Принцип Мюллера-Бреслау может создавать только качественные линии влияния. Это означает, что инженеры могут использовать его, чтобы определить, где разместить нагрузку, чтобы получить максимум функции, но величина этого максимума не может быть рассчитана по линии влияния. Вместо этого инженер должен использовать статику для определения значения функции в этом случае нагрузки.

Варианты альтернативного нагружения

Множественные нагрузки

Простейшим вариантом нагружения является одиночная точечная нагрузка, но линии влияния также могут использоваться для определения реакции на множественные нагрузки и распределенные нагрузки. Иногда известно, что на некотором фиксированном расстоянии друг от друга будут возникать множественные нагрузки. Например, на мосту колеса легковых или грузовых автомобилей создают точечные нагрузки, действующие на относительно стандартных расстояниях.

Чтобы рассчитать реакцию функции на все эти точечные нагрузки с использованием линии влияния, результаты, полученные с линией влияния, можно масштабировать для каждой нагрузки, а затем масштабированные величины можно суммировать, чтобы найти общий ответ что конструкция должна выдерживать. Точечные нагрузки сами по себе могут иметь разные величины, но даже если они прилагают одинаковую силу к конструкции, необходимо будет масштабировать их отдельно, поскольку они действуют на разных расстояниях вдоль конструкции. Например, если колеса автомобиля находятся на расстоянии 10 футов друг от друга, тогда, когда первый набор находится на расстоянии 13 футов от моста, второй набор будет только на 3 фута от моста. Если первая пара колес находится на 7 футов от моста, вторая пара еще не достигла моста, и поэтому только первая пара создает нагрузку на мост.

Кроме того, если между двумя грузами одна из нагрузок тяжелее, нагрузки должны быть проверены в обоих порядках загрузки (большая нагрузка справа и большая нагрузка слева), чтобы убедиться, что максимальная нагрузка нагрузка найдена. Если имеется три и более нагрузок, то количество случаев, подлежащих рассмотрению, увеличивается.

Распределенные нагрузки

Многие нагрузки не действуют как точечные нагрузки, а действуют на увеличенной длине или площади как распределенные нагрузки. Например, трактор с непрерывными гусеницами будет применять нагрузку, распределенную по длине каждой гусеницы.

Чтобы найти эффект распределенной нагрузки, проектировщик может интегрировать линию влияния, найденную с помощью точечной нагрузки, на затронутом расстоянии от конструкции. Например, если гусеница длиной три фута проходит между 5 и 8 футами вдоль балки, линия влияния этой балки должна быть интегрирована между 5 и 8 футами. Интеграция линии влияния дает эффект, который ощущался бы, если бы распределенная нагрузка имела единичную величину. Следовательно, после интеграции разработчик должен по-прежнему масштабировать результаты, чтобы получить фактический эффект распределенной нагрузки.

Неопределенные структуры

Хотя линии влияния статически определенных структур (как упомянуто выше) состоят из отрезков прямых линий, то же самое неверно для неопределенных структур. Неопределенные конструкции не считаются жесткими; поэтому нарисованные для них линии влияния будут не прямыми, а скорее кривыми. Вышеупомянутые методы все еще можно использовать для определения линий влияния на структуру, но работа становится намного более сложной, поскольку необходимо учитывать свойства самой балки.

См. Также

Ссылки

^ Харагпур. "Structural Analysis.pdf, версия 2 CE IIT" Архивировано 19.08.2010 на Wayback Machine. 7 августа 2008 г. Проверено 26 ноября 2010 г.
^ Dr. Фанус, Фуад. «Вводные задачи структурного анализа: линии влияния». 20 апреля 2000 г. Проверено 26 ноября 2010 г.
^ «Метод анализа линии влияния». Конструктор. 10 февраля 2010 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.
^ «Структурный анализ: линии влияния». Коалиция Фонда. 2 декабря 2010 г. По состоянию на 26 ноября 2010 г.
^ Hibbeler, R.C. (2009). Структурный анализ (седьмое издание). Пирсон Прентис Холл, Нью-Джерси. ISBN 0-13-602060-7.
^Зейнали, Яша (декабрь 2017 г.). «Структура для оценки жесткости на изгиб в балках Эйлера-Бернулли с использованием линий воздействия деформации». Инфраструктуры. 2 (4): 23. doi : 10.3390 / infrastructures2040023.
^«Линии влияния | Обзор структурного анализа». www.mathalino.com. Проверено 25 декабря 2019 г.