Гипоэластичный материал

В механике сплошной среды, A гипоупругий материал является эластичным материалом, который имеет конститутивную модель не зависящий от конечных деформаций мер, кроме как в случае линеаризованном. Модели гипоупругих материалов отличаются от моделей гиперупругих материалов (или стандартных моделей упругости) тем, что, за исключением особых обстоятельств, они не могут быть получены из функции плотности энергии деформации.

• 1 Обзор
• 2 Гипоэластичность и объективные уровни напряжений
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Библиография

Гипоупругий материал можно строго определить как материал, моделируемый с помощью определяющего уравнения, удовлетворяющего следующим двум критериям:

1. Напряжение Коши во времени зависит только от порядка, в котором тело занимало свои прошлые конфигурации, но не от скорости прохождения этих прошлых конфигураций. В качестве особого случая этот критерий включает эластичный материал Коши, для которого текущее напряжение зависит только от текущей конфигурации, а не от истории прошлых конфигураций. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle t}$

2. Существует тензорная функция, в которой - материальная скорость тензора напряжений Коши, а - тензор градиента пространственной скорости. ${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ точка {\ boldsymbol {\ sigma}}} = G ({\ boldsymbol {\ sigma}}, {\ boldsymbol {L}}) \,,}$${\ Displaystyle {\ точка {\ boldsymbol {\ sigma}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {L}}}$

Если для определения гипоупругости используются только эти два исходных критерия, то гиперэластичность будет включена в качестве особого случая, что побудит некоторых разработчиков конститутивного моделирования добавить третий критерий, который конкретно требует, чтобы гипоупругая модель не была гиперупругой (т. Е. Гипоупругость подразумевает, что напряжение является не выводится из энергетического потенциала). Если принять этот третий критерий, из этого следует, что гипоупругий материал может допускать неконсервативные адиабатические пути нагружения, которые начинаются и заканчиваются одним и тем же градиентом деформации, но не начинаются и заканчиваются при одной и той же внутренней энергии.

Обратите внимание, что второй критерий требует, что функция существует. Как поясняется ниже, в конкретных формулировках гипоупругих моделей обычно используется так называемая объективная скорость напряжения, так что функция существует только неявно. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$

Модели из гипоэластичного материала часто имеют вид

${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ tau}}} = {\ mathsf {M}}: {\ boldsymbol {d}}}$

где - объективная скорость напряжения Кирхгофа (), - тензор скорости деформации и - так называемый тензор упругой касательной жесткости, который изменяется в зависимости от самого напряжения и рассматривается как тензор свойств материала. В случае гиперупругости касательная жесткость обычно также должна зависеть от градиента деформации, чтобы должным образом учесть искажение и вращение направлений волокон анизотропного материала. ${\ displaystyle {\ overset {\ circ} {\ boldsymbol {\ tau}}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}: = J {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {d}}: = \ left [{\ frac {1} {2}} ({\ boldsymbol {L}} + {\ boldsymbol {L}} ^ {T}) \ right]}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {M}}}$

Во многих практических задачах механики деформируемого твердого тела достаточно характеризовать деформацию материала малым (или линеаризованным) тензором деформации

${\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ frac {1} {2}} (u_ {i, j} + u_ {j, i})}$

где - компоненты перемещений точек континуума, нижние индексы относятся к декартовым координатам, а нижние индексы, которым предшествует запятая, обозначают частные производные (например,). Но есть также много проблем, в которых необходимо учитывать конечность деформации. Они бывают двух видов: ${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle (я = 1,2,3)}$${\ displaystyle u_ {i, j} = \ partial u_ {i} / \ partial x_ {j}}$

1. большие нелинейные упругие деформации, обладающие потенциальной энергией (проявляемые, например, резиной), в которых компоненты тензора напряжений получаются как частные производные по компонентам тензора конечных деформаций; и${\ displaystyle W ({\ boldsymbol {F}})}$${\ displaystyle W}$
2. неупругие деформации, не обладающие потенциалом, в которых зависимость напряжения от деформации определяется пошагово.

В первом случае уместна формулировка полной деформации, описанная в статье по теории конечных деформаций. В последнем случае необходима инкрементальная (или скоростная) формулировка, которая должна использоваться при каждой загрузке или временном шаге компьютерной программы с конечными элементами с использованием обновленной лагранжевой процедуры. Отсутствие потенциала вызывает сложные вопросы из-за свободы выбора конечной меры деформации и характеристики скорости напряжения.

Для достаточно малого шага (или приращения) нагружения можно использовать тензор скорости деформации (или деформации скорости)

${\ displaystyle d_ {ij} = {\ dot {\ varepsilon}} _ {ij} = {\ frac {1} {2}} (v_ {i, j} + v_ {j, i})}$

или увеличить

${\ displaystyle \ Delta \ varepsilon _ {ij} = {\ dot {\ varepsilon}} _ {ij} \ Delta t = d_ {ij} \ Delta t}$

представляющий линеаризованный прирост деформации от начального (напряженного и деформированного) состояния на ступеньке. Здесь верхняя точка представляет материальную производную по времени ( после данной материальной частицы), обозначает небольшое приращение по шагу, = время и = скорость материальной точки или скорость смещения. ${\ Displaystyle \ partial / \ partial t}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle v_ {i} = {\ dot {u}} _ {i}}$

Однако было бы нецелесообразно использовать производную по времени от напряжения Коши (или истинного) напряжения. Это напряжение, которое описывает силы, действующие на небольшой элемент материала, который, как предполагается, вырезается из материала, который в настоящее время деформируется, не является объективным, поскольку он изменяется в зависимости от вращения твердого тела материала. Материальные точки должны быть охарактеризованы своими начальными координатами (называемыми лагранжевыми), потому что различные частицы материала содержатся в вырезанном элементе (в одном и том же месте) до и после возрастающей деформации. ${\ displaystyle \ sigma _ {ij}}$${\ displaystyle X_ {i}}$

Следовательно, необходимо ввести так называемую объективную норму напряжения или соответствующее приращение. Объективность необходима для того, чтобы функционально относиться к деформации элемента. Это означает, что он должен быть инвариантным относительно преобразований координат (в частности, вращений) и должен характеризовать состояние того же материального элемента при его деформации. ${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {ij}}$${\ displaystyle \ Delta \ sigma _ {ij} = {\ hat {\ sigma}} _ {ij} \ Delta t}$${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {ij}}$${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {ij}}$

• Стрессовые меры
• Гиперупругий материал
• Объективные показатели стресса
• Принцип материальной объективности
• Теория конечных деформаций
• Теория бесконечно малых деформаций

• Трусделл, Клиффорд (1963), «Замечания о гипоэластичности», Журнал исследований Национального бюро стандартов, раздел B, 67B (3): 141–143