Золотой треугольник (математика)

редактировать

Золотой треугольник. Отношение a / b - это золотое сечение φ. Угол при вершине равен

θ = 36 ∘ {\ displaystyle \ theta = 36 ^ {\ circ}}

{\ displaystyle \ theta = 36 ^ {\ circ}}

. Углы основания 72 ° каждый.

Золотой гномон.

A золотой треугольник, также называемый возвышенным треугольником, представляет собой равнобедренный треугольник в котором дублированная сторона находится в золотом сечении $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ к базовой стороне:

ab = φ = 1 + 5 2 ≈ 1,618 034. {\ displaystyle {a \ over b} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2} \ приблизительно 1.618 ~ 034 ~.}

{\ displaystyle {a \ over b} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ более 2} \ приблизительно 1,618 ~ 034 ~.}

Содержание

1 Angles
2 In other геометрические фигуры
- 2.1 Логарифмическая спираль
3 Золотой гномон
- 3.1 Углы
4 Деления пополам
5 Плитки
6 См. также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Углы

Угол при вершине равен:

θ = 2 arcsin ⁡ b 2 a = 2 arcsin ⁡ 1 2 φ = 2 arcsin ⁡ 5 - 1 4 = π 5 rad = 36 ∘. {\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {b \ over 2a} = 2 \ arcsin {1 \ over 2 \ varphi} = 2 \ arcsin {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4} = {\ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 36 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {b \ over 2a} = 2 \ arcsin {1 \ over 2 \ varphi} = 2 \ arcsin {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4} = {\ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 36 ^ {\ circ}.}

Следовательно, золотой треугольник является острым (равнобедренным) треугольником.

Так как сумма углов треугольника $π rad {\ displaystyle \ pi ~ {\ text {rad}}}$ ${\ displaystyle \ pi ~ {\ text {rad}}}$ , каждый из основных углов (CBX и CXB) равен:

β = π - π 5 2 = 2 π 5 рад = 72 ∘. {\ displaystyle \ beta = {{\ pi - {\ pi \ over 5}} \ over 2} = {2 \ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 72 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ beta = {{\ pi - {\ pi \ over 5}} \ over 2} = {2 \ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 72 ^ {\ circ}.}

Примечание:

β = arccos ⁡ 5 - 1 4 = 2 π 5 рад = 72 ∘. {\ displaystyle \ beta = \ arccos {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4} = {2 \ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 72 ^ {\ circ}.}

{\ displaystyle \ beta = \ arccos {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4} = {2 \ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 72 ^ {\ circ}.}

Золотой треугольник однозначно идентифицируется как единственный треугольник с тремя углами в пропорции 1: 2: 2 (36 °, 72 °, 72 °).

В других геометрических фигурах

Золотые треугольники могут быть найденные в шипах правильных пентаграмм.
Золотые треугольники можно также найти в правильном десятиугольнике, равностороннем и равностороннем десятиугольном многоугольнике, соединив любые две смежные вершины с центром. Это потому, что: 180 (10-2) / 10 = 144 ° - это внутренний угол, и если разделить его пополам через вершину к центру: 144/2 = 72 °.
Также золотые треугольники встречаются в сети из нескольких звёздчатых звёзд додекаэдров и икосаэдров.

Логарифмическая спираль

Золотые треугольники, вписанные в логарифмическую спираль

Используется золотой треугольник для формирования некоторых точек логарифмической спирали. Разделив пополам один из основных углов, создается новая точка, которая, в свою очередь, образует еще один золотой треугольник. Процесс деления пополам можно продолжать бесконечно, создавая бесконечное количество золотых треугольников. Через вершины можно провести логарифмическую спираль. Эта спираль также известна как равноугольная спираль, термин, придуманный Рене Декартом. «Если провести прямую линию от полюса к любой точке кривой, она срежет кривую точно под таким же углом», следовательно, равносторонний.

Золотой гномон

Золотой треугольник, разделенный пополам в треугольниках Робинсона: a золотой треугольник и золотой гномон.

Правильная пентаграмма. Каждый угол представляет собой золотой треугольник. Фигура также содержит пять «больших» золотых гномонов, образованных соединением с «маленьким» центральным пятиугольником двух углов, которые не примыкают друг к другу. Если провести пять сторон «большого» пятиугольника вокруг пентаграммы, получится пять «маленьких» золотых гномонов.

Тесно связан с золотым треугольником золотой гномон, равнобедренный треугольник, в котором соотношение длины сторон, равной основной длине, является обратной величиной $1 φ {\ displaystyle {1 \ over \ varphi}}$ ${\ displaystyle {1 \ over \ varphi}}$ золотого сечения $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ .

«Золотой треугольник имеет отношение длины основания к длине стороны, равное золотому сечению φ, в то время как золотой гномон имеет отношение длины стороны к длине основания, равное золотому сечению φ.»

a ′ b ′ = 1 φ = 5 - 1 2 ≈ 0,618034. {\ displaystyle {a '\ over b'} = {1 \ over \ varphi} = {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 2} \ приблизительно 0,618034.}

{a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.

Углы

(Расстояния AX и CX равны a '= a = φ, а расстояние AC равно b' = φ², как показано на рисунке.)

Угол при вершине AXC равен:

θ ′ = 2 arcsin ⁡ b ′ 2 a ′ = (2 arcsin ⁡ φ 2 2 φ) = 2 arcsin ⁡ φ 2 = 2 arcsin ⁡ 1 + 5 4 = 3 π 5 rad = 108 ∘. {\ displaystyle \ theta '= 2 \ arcsin {b' \ over {2a '}} = {\ biggl (} 2 \ arcsin {{\ varphi ^ {2}} \ over {2 \ varphi}} {\ biggr) } = 2 \ arcsin {\ varphi \ over 2} = 2 \ arcsin {{1 + {\ sqrt {5}}} \ over 4} = {3 \ pi \ over 5} ~ rad = 108 ^ {\ circ}.}

\theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}={\biggl (}2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}{\biggr)}=2\arcsin {\varphi \over 2}=2\arcsin {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }.

Следовательно, золотой гномон представляет собой тупой (равнобедренный) треугольник.

({\ displaystyle (}

(

Примечание:

θ ′ = arccos ⁡ 1 - 5 4 = 3 π 5 рад = 108 ∘.) {\ displaystyle \ theta '= \ arccos {{1 - {\ sqrt {5}}} \ over 4} = {3 \ pi \ over 5} ~ rad = 108 ^ {\ circ}.)}

\theta '=\arccos {{1-{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }.)

Поскольку сумма углов треугольника AXC равна $π rad {\ displaystyle \ pi ~ rad}$ ${\ displaystyle \ pi ~ rad}$ , каждый из углов основания CAX и ACX равен:

β ′ = θ = π - 3 π 5 2 = π 5 рад = 36 ∘. {\ displaystyle \ beta '= \ theta = {\ pi - {3 \ pi \ over 5} \ over 2} = {\ pi \ over 5} ~ rad = 36 ^ {\ circ}.}

\beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }.

Примечание.

β ′ = θ = arccos ⁡ 1 + 5 4 = π 5 рад = 36 ∘. {\ displaystyle \ beta '= \ theta = \ arccos {{1 + {\ sqrt {5}}} \ over 4} = {\ pi \ over 5} ~ rad = 36 ^ {\ circ}.}

\beta '=\theta =\arccos {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }.

Золотой гномон уникально идентифицируется как треугольник, имеющий три угла в пропорции 1: 1: 3 (36 °, 36 °, 108 °). Его базовые углы составляют 36 ° каждый, что совпадает с вершиной золотого треугольника.

Деление пополам

Разделив один из его базовых углов на 2 равных угла, золотой треугольник можно разделить пополам на золотой треугольник и золотой гномон.
Разделив его угол при вершине на 2 угла, один из которых является двойным, золотой гномон можно разделить пополам на золотой треугольник и золотой гномон.
Золотой гномон и золотой треугольник, равные стороны которого совпадают по длине, также называются тупым и острым треугольниками Робинсона.

Плитки

Золотой треугольник и два золотых гномона выстраивают правильный пятиугольник.
Эти равнобедренные треугольники можно использовать для создания мозаик Пенроуза. Плитки Пенроуза делают из воздушных змеев и дротиков. Воздушный змей сделан из двух золотых треугольников, а дротик - из двух гномонов.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Золотой треугольник». MathWorld.
Вайсштейн, Эрик У. «Золотой гномон». MathWorld.
Треугольники Робинсона в Tilings Encyclopedia
Золотой треугольник согласно Евклиду
Необычайная взаимность золотых треугольников в Тартапелаге Джорджо Пьетрокола