Поле разделения

В абстрактной алгебре, поле разделения полинома с коэффициентами в поле - это наименьшее расширение поля того поля, по которому многочлен разбивается или разлагается на линейные множители.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Построение полей разбиения
  • 3.1 Мотивация
  • 3.2 Конструкция
  • 3.3 Поле K i [X] / (f (X))
• 4 Примеры
  • 4.1 Комплексные числа
  • 4.2 Кубический пример
  • 4.3 Другие примеры
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

A поле разбиения многочлена p (X) над поле K является расширением поля L поля K, над которым p делится на линейные множители

$p\; (X)\; =\; c\; \prod \; i\; =\; 1\; deg\; \; (p)\; (X\; -\; ai)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (X)\; =\; c\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; deg\; (p)\}\; (X-a\_\; \{i\})\}$

где $c\; \in \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; in\; K\}$и для каждого $я\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$мы имеем $(X\; -\; ai)\; \in \; L\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; (X-\; a\_\; \{i\})\; \backslash \; in\; L\; [X]\}$с i не обязательно разными и такими, что корни a i генерируют L над K. Расширение Тогда L является расширением минимальной степени над K, в котором p расщепляется. Можно показать, что такие поля расщепления существуют и уникальны с точностью до изоморфизма. Степень свободы в этом изоморфизме известна как группа Галуа для p (если мы предположим, что она отделима ).

Расширение L, которое является полем разделения для набора многочленов p (X) над K, называется нормальным расширением K.

Для данного алгебраически замкнутого поля A, содержащего K, существует уникальное поле L расщепления p между K и A, порожденное корнями p. Если K является подполем комплексных чисел, существование немедленно. С другой стороны, существование алгебраических замыканий в общем случае часто доказывается «предельным переходом» из результата поля расщепления, поэтому требуется независимое доказательство, чтобы избежать круговых рассуждений.

Учитывая сепарабельную расширение K 'поля K, замыкание Галуа L поля K' является типом поля расщепления, а также расширение Галуа поля K, содержащее K ', которое является минимальным в очевидный смысл. Такое замыкание Галуа должно содержать поле расщепления для всех многочленов p над K, которые являются минимальными многочленами над K элементов a из K ′.

Мотивация

Нахождение корней многочленов было важной проблемой со времен древних греков. Однако некоторые полиномы, такие как x + 1 над R, действительные числа, не имеют корней. Построив поле расщепления для такого многочлена, можно найти корни многочлена в новом поле.

Конструкция

Пусть F - поле, а p (X) - многочлен в кольце многочленов F [X] степени n. Общий процесс построения K, поля разбиения p (X) над F, состоит в построении последовательности полей $F\; =\; K\; 0,\; K\; 1,\dots \; K\; r\; -\; 1,\; K\; r\; =\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; K\_\; \{0\},\; K\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots\; K\_\; \{r-1\},\; K\_\; \{r\}\; =\; K\}$такие, что K i является расширением K i − 1, содержащий новый корень p (X). Поскольку p (X) имеет не более n корней, конструкция потребует не более n расширений. Шаги для построения K i приведены ниже:

• Факторизуйте p (X) по K i в неприводимые факторы $f\; 1\; (X)\; f\; 2\; (X)\; \cdots \; fk\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; (X)\; f\_\; \{2\}\; (X)\; \backslash \; cdots\; f\_\; \{k\}\; (X)\}$.
• Выберите любой нелинейный неприводимый множитель f (X) = f i (X).
• Создайте расширение поля K i + 1 из K i как фактор-кольцо K i + 1 = K i [X] / (f (X)), где (f (X)) обозначает идеал в K i [X], сгенерированный f (X)
• Повторите процесс для K i + 1 до тех пор, пока p (X) полностью не множится.

Неприводимый множитель f i, используемый в построении частного, может быть выбран произвольно. Хотя различный выбор факторов может привести к разным последовательностям подполей, результирующие поля разделения будут изоморфными.

Поскольку f (X) неприводимо, (f (X)) является максимальным идеалом и, следовательно, K i [X] / (f (X)) это, по сути, поле. Более того, если мы позволим $\pi :\; К\; я\; [X]\; \to \; К\; я\; [X]\; /\; (f\; (X))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; K\_\; \{i\}\; [X]\; \backslash \; to\; K\_\; \{i\}\; [X]\; /\; (f\; (X))\}$- естественная проекция кольца на его фактор, тогда

$f\; (\pi \; (X))\; =\; \pi \; (f\; (X))\; =\; f\; (X)\; mod\; f\; (X)\; =\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (\backslash \; pi\; (X))\; =\; \backslash \; pi\; (f\; (X))\; =\; f\; (X)\; \backslash \; \{\backslash \; bmod\; \{\backslash \}\}\; f\; (X)\; =\; 0\}$

так что π (X) является корнем f (X) и p (X).

Степень одиночного расширения $[K\; i\; +\; 1:\; K\; i]\; \{\backslash \; displaystyle\; [K\_\; \{i\; +\; 1\}:\; K\_\; \{i\}]\}$равна степень неприводимого множителя f (X). Степень расширения [K: F] определяется как $[K\; r:\; K\; r\; -\; 1]\; \cdots \; [K\; 2:\; K\; 1]\; [K\; 1:\; F]\; \{\backslash \; displaystyle\; [K\_\; \{r\}:\; K\_\; \{\; r-1\}]\; \backslash \; cdots\; [K\_\; \{2\}:\; K\_\; \{1\}]\; [K\_\; \{1\}:\; F]\}$и не более n !.

Поле K i [X] / (f (X))

Как упоминалось выше, кольцо частных K i + 1 = K i [X] / (f (X)) является полем, когда f (X) неприводимо. Его элементы имеют вид

$cn\; -\; 1\; \alpha \; n\; -\; 1\; +\; cn\; -\; 2\; \alpha \; n\; -\; 2\; +\; \cdots \; +\; c\; 1\; \alpha \; +\; c\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n-1\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n-1\}.\; +\; c\_\; \{n-2\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n-2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; c\_\; \{1\}\; \backslash \; alpha\; +\; c\_\; \{0\}\}$

где c j находятся в K i и α = π (X). (Если рассматривать K i + 1 как векторное пространство над K i, тогда степени α для 0 ≤ j ≤ n − 1 образуют базис.)

Элементы K i + 1 можно рассматривать как многочлены от α степени меньше n. Сложение в K i + 1 дается правилами полиномиального сложения, а умножение дается полиномиальным умножением по модулю f (X). То есть для g (α) и h (α) в K i + 1 произведение g (α) h (α) = r (α), где r (X) - остаток от g ( X) h (X), деленное на f (X) в K i [X].

Остаток r (X) может быть вычислен путем деления полиномов в длину, однако существует также простое правило сокращения, которое можно использовать для прямого вычисления r (α) = g (α) h (α). Сначала пусть

$f\; (X)\; =\; X\; n\; +\; b\; n\; -\; 1\; X\; n\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; b\; 1\; X\; +\; b\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (X)\; =\; X\; ^\; \{n\}\; +\; b\_\; \{n-1\}\; X\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; b\_\; \{1\}\; X\; +\; b\_\; \{0\}.\}$

Полином закончился поле, поэтому можно принять f (X) как monic без потери общности. Теперь α является корнем f (X), поэтому

$\alpha \; n\; =\; -\; (b\; n\; -\; 1\; \alpha \; n\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; b\; 1\; \alpha \; +\; b\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n\}\; =\; -\; (b\_\; \{n-1\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; alpha\; +\; b\_\; \{0\}).\}$

Если продукт g (α) h (α) имеет член α с m ≥ n, его можно уменьшить следующим образом:

$\alpha \; n\; \alpha \; m\; -\; n\; =\; -\; (bn\; -\; 1\; \alpha \; n\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; b\; 1\; \alpha \; +\; b\; 0)\; \alpha \; м\; -\; N\; знак\; равно\; -\; (bn\; -\; 1\; \alpha \; m\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; b\; 1\; \alpha \; m\; -\; n\; +\; 1\; +\; b\; 0\; \alpha \; m\; -\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{mn\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (b\_\; \{n-1\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; alpha\; +\; b\_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; alpha\; ^\; \{mn\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (b\_\; \{\; n-1\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{m-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{m-n\; +\; 1\}\; +\; b\_\; \{0\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{mn\}\; \backslash \; right)\}$.

В качестве В качестве примера правила редукции возьмем K i= Q[X], кольцо многочленов с рациональными коэффициентами, и возьмем f (X) = X - 2. Пусть $g\; (\alpha )\; =\; \alpha \; 5\; +\; \alpha \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (\backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; alpha\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\}$и h (α) = α +1 - два элемента Q [X] / (Х - 2). Правило редукции, задаваемое функцией f (X): α = 2, поэтому

$g\; (\alpha )\; h\; (\alpha )\; =\; (\alpha \; 5\; +\; \alpha \; 2)\; (\alpha \; 3\; +\; 1)\; =\; \alpha \; 8\; +\; 2\; \alpha \; 5\; +\; \alpha \; 2\; =\; (\alpha \; 7)\; \alpha \; +\; 2\; \alpha \; 5\; +\; \alpha \; 2\; =\; 2\; \alpha \; 5\; +\; \alpha \; 2\; +\; 2\; \alpha .\; \{\backslash \; Displaystyle\; г\; (\backslash \; альфа)\; час\; (\backslash \; альфа)\; =\; \backslash \; влево\; (\backslash \; альфа\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; альфа\; ^\; \{2\}\; \backslash \; вправо)\; \backslash \; влево\; (\backslash \; альфа\; ^\; \{3\}\; +1\; \backslash \; вправо)\; =\; \backslash \; альфа\; ^\; \{8\}\; +2\; \backslash \; alpha\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{7\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; alpha\; +2\; \backslash \; alpha\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; =\; 2\; \backslash \; alpha\; ^\; \{5\}\; +\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; alpha.\}$

Комплексные числа

Рассмотрим кольцо многочленов R[ x] и неприводимый многочлен x + 1. Фактор-кольцо R[x] / (x + 1) дается сравнением x ≡ −1. В результате элементы (или классы эквивалентности ) R [x] / (x + 1) имеют форму a + bx, где a и b принадлежат R . Чтобы убедиться в этом, заметим, что, поскольку x ≡ −1, следует, что x ≡ −x, x ≡ 1, x ≡ x и т. Д.; и поэтому, например, p + qx + rx + sx ≡ p + qx + r⋅ (−1) + s⋅ (−x) = (p - r) + (q - s) ⋅x.

Операции сложения и умножения задаются сначала с помощью обычного полиномиального сложения и умножения, а затем сокращения по модулю x + 1, т.е. с использованием того факта, что x ≡ −1, x ≡ −x, x ≡ 1, x ≡ x и т. Д. Таким образом:

$(a\; 1\; +\; b\; 1\; x)\; +\; (a\; 2\; +\; b\; 2\; x)\; =\; (a\; 1\; +\; a\; 2)\; +\; (b\; 1\; +\; b\; 2)\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{1\}\; x)\; +\; (a\_\; \{2\}\; +\; b\_\; \{2\}\; x)\; =\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\})\; +\; (b\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{2\})\; x,\}$

$(a\; 1\; +\; b\; 1\; x)\; (a\; 2\; +\; b\; 2\; x)\; =\; a\; 1\; a\; 2\; +\; (a\; 1\; b\; 2\; +\; b\; 1\; a\; 2)\; x\; +\; (b\; 1\; b\; 2)\; x\; 2\; \equiv \; (a\; 1\; а\; 2\; -\; б\; 1\; б\; 2)\; +\; (а\; 1\; б\; 2\; +\; б\; 1\; а\; 2)\; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{1\}\; x)\; (a\_\; \{2\}\; +\; b\_\; \{2\}\; x)\; =\; a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; +\; (a\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; +\; b\_\; \{1\; \}\; a\_\; \{2\})\; x\; +\; (b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\})\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; (a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; -b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\})\; +\; (a\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; +\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\})\; x\; \backslash ,.\}$

Если мы отождествляем a + bx с (a, b), то мы видим, что сложение и умножение задаются как

$(a\; 1,\; б\; 1)\; +\; (a\; 2,\; b\; 2)\; =\; (a\; 1\; +\; a\; 2,\; b\; 1\; +\; b\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; b\_\; \{1\})\; +\; (a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\; \})\; =\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\},\; b\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{2\}),\}$

$(a\; 1,\; b\; 1)\; \cdot \; (a\; 2,\; b\; 2)\; =\; (a\; 1\; a\; 2\; -\; б\; 1\; б\; 2,\; а\; 1\; б\; 2\; +\; б\; 1\; а\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; b\_\; \{1\})\; \backslash \; cdot\; (a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\})\; =\; (a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; -b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\},\; a\_\; \{1\; \}\; b\_\; \{2\}\; +\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}).\}$

Мы утверждаем, что как поле частное R [x] / (x + 1) равно изоморфен комплексным числам , C. Общее комплексное число имеет вид a + ib, где a и b - действительные числа, а i = −1. Сложение и умножение задаются следующим образом:

$(a\; 1\; +\; ib\; 1)\; +\; (a\; 2\; +\; ib\; 2)\; =\; (a\; 1\; +\; a\; 2)\; +\; i\; (b\; 1\; +\; b\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\}\; +\; ib\_\; \{1\})\; +\; (a\_\; \{2\}\; +\; ib\_\; \{2\})\; =\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\})\; +\; i\; (b\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{2\}),\}$

$(a\; 1\; +\; ib\; 1)\; \cdot \; (a\; 2\; +\; ib\; 2)\; =\; (a\; 1\; a\; 2\; -\; b\; 1\; b\; 2)\; +\; i\; (a\; 1\; b\; 2\; +\; a\; 2\; b\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\}\; +\; ib\_\; \{1\})\; \backslash \; cdot\; (a\_\; \{2\}\; +\; ib\_\; \{2\})\; =\; (a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; -b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\})\; +\; i\; (\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\}\; +\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{1\}).\}$

Если мы отождествляем a + ib с (a, b), то мы видим, что сложение и умножение задаются как

$(a\; 1,\; b\; 1)\; +\; (a\; 2,\; b\; 2)\; =\; (a\; 1\; +\; a\; 2,\; b\; 1\; +\; b\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; b\_\; \{1\})\; +\; (a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\})\; =\; (a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\},\; b\_\; \{1\}\; +\; b\_\; \{2\}),\}$

$(a\; 1,\; b\; 1)\; \cdot \; (a\; 2,\; b\; 2)\; =\; (a\; 1\; а\; 2\; -\; б\; 1\; б\; 2,\; а\; 1\; б\; 2\; +\; б\; 1\; а\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; (a\_\; \{1\},\; b\_\; \{1\})\; \backslash \; cdot\; (a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\})\; =\; (a\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}\; -b\_\; \{1\}\; b\_\; \{2\},\; a\_\; \{1\; \}\; b\_\; \{2\}\; +\; b\_\; \{1\}\; a\_\; \{2\}).\}$

Предыдущие вычисления показывают, что сложение и умножение ведут себя одинаково в R [x] / (x + 1) и С . Фактически, мы видим, что отображение между R [x] / (x + 1) и C, заданное a + bx → a + ib, является гомоморфизмом По поводу сложения и умножения. Также очевидно, что отображение a + bx → a + ib одновременно инъективно и сюръективно ; означает, что a + bx → a + ib является биективным гомоморфизмом, то есть изоморфизмом. Отсюда следует, что, как заявлено: R [x] / (x + 1) ≅ C.

В 1847 году Коши использовал этот подход для определения комплексных чисел.

Кубический пример

Пусть K будет полем рациональных чисел Qи p (x) = x - 2. Каждый корень p равен √2, умноженному на кубический корень из единицы. Следовательно, если мы обозначим кубические корни из единицы как

$\omega \; 1\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; =\; 1,\; \backslash ,\}$

$\omega \; 2\; =\; -\; 1\; 2\; +\; 3\; 2\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; i,\}$

$\omega \; 3\; =\; -\; 1\; 2\; -\; 3\; 2\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{3\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; i.\}$

любое поле, содержащее два различных корня p будет содержать частное между двумя различными кубическими корнями из единицы. Такое частное представляет собой примитивный кубический корень из единицы: либо ω 2, либо $\omega \; 3\; =\; 1\; /\; \omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{3\}\; =\; 1\; /\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\}.$. Отсюда следует, что поле L разбиения p будет содержать ω 2, а также действительный кубический корень из 2; наоборот, любое расширение Q, содержащее эти элементы, содержит все корни p. Таким образом,

$L\; =\; Q\; (2\; 3,\; \omega \; 2)\; =\; \{a\; +\; b\; 2\; 3\; +\; c\; 2\; 2\; 3\; +\; d\; \omega \; 2\; +\; e\; 2\; 3\; \omega \; 2\; +\; f\; 2\; 2\; 3\; \omega \; 2\; |\; a,\; b,\; c,\; d,\; e,\; f\; \in \; Q\}\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\},\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left.a\; +\; b\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\}\; +\; c\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; d\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; +\; e\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; +\; f\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right\; |\; a,\; b,\; c,\; d,\; e,\; f\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

Обратите внимание, что применение процесса построения, описанного в предыдущем разделе, к этому примеру, начинается с $K\; 0\; =\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}$и создает поле $K\; 1\; =\; Q\; [X]\; /\; (X\; 3–2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; [X]\; /\; (X\; ^\; \{3\}\; -2)\}$. Это поле не является полем разбиения, но содержит один (любой) корень. Однако многочлен $Y\; 3–2\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{3\}\; -2\}$не является неприводимым над $K\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\}$и на самом деле:

$Y\; 3\; -\; 2\; =\; (Y\; -\; X)\; (Y\; 2\; +\; XY\; +\; X\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; ^\; \{3\}\; -2\; =\; (YX)\; (Y\; ^\; \{2\}\; +\; XY\; +\; X\; ^\; \{2\}).\}$

Обратите внимание, что $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$не является неопределенным и фактически является элементом $K\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\}$. Теперь, продолжая процесс, мы получаем $K\; 2\; =\; K\; 1\; [Y]\; /\; (Y\; 2\; +\; XY\; +\; X\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{2\}\; =\; K\_\; \{1\}\; [Y]\; /\; (Y\; ^\; \{2\; \}\; +\; XY\; +\; X\; ^\; \{2\})\}$, которое действительно является полем разделения и охватывает $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\}$-basis $\{1,\; X,\; X\; 2,\; Y,\; XY,\; X\; 2\; Y\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{1,\; X,\; X\; ^\; \{2\},\; Y,\; XY,\; X\; ^\; \{2\}\; Y\; \backslash \}\}$. Обратите внимание, что если мы сравним это с $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$сверху, мы можем определить $X\; =\; 2\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{2\}\; \}\}$и $Y\; =\; \omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\}$.

Другие примеры

• Поле разделения x - x на Fpявляется уникальным конечное поле Fqпри q = p. Иногда это поле обозначается как GF (q).

• Поле разделения x + 1 на F7равно F49; многочлен не имеет корней в F7, т. е. −1 там не квадрат, потому что 7 не эквивалентно 1 (mod 4).

• Поле разбиения x - 1 на F7равно F7поскольку x - 1 = (x + 1) (x - 1) уже делится на линейные множители.

• Мы вычисляем поле разбиения f (x) = x + x + 1 по F2. Легко проверить, что f (x) не имеет корней в F2, следовательно, f (x) неприводима в F2[x]. Положим r = x + (f (x)) в F2[x] / (f (x)), так что F2(r) является полем и x + x + 1 = (x + r) (x + ax + b) в F2(r) [x]. Обратите внимание, что мы можем написать + вместо -, поскольку характеристика равна двум. Сравнение коэффициентов показывает, что a = r и b = 1 + r. Элементы F2(r) могут быть перечислены как c + dr + er, где c, d, e находятся в F2. Всего восемь элементов: 0, 1, r, 1 + r, r, 1 + r, r + r и 1 + r + r. Подставляя их в x + rx + 1 + r, мы получаем (r) + r (r) + 1 + r = r + r + 1 + r = 0, следовательно, x + x + 1 = (x + r) (x + r) (x + (r + r)) для r в F2[x] / (f (x)); E = F2(r) является полем расщепления x + x + 1 над F2.

1. ^Коши, Огюстен-Луи (1847), «Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires », Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 24 : 1120–1130
2. ^Серр. Курс арифметики.
3. ^Вместо того, чтобы применять эту характеризацию нечетных простых модулей, для которых −1 является квадратом, можно просто проверить, что набор квадратов в F7является набором классов 0, 1, 4, и 2, который не включает класс −1≡6.

• Даммит, Дэвид С., и Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик У. «Поле разделения». MathWorld.