Полная ширина на половине максимальной

редактировать

В распределении полная ширина на полувысоте ( FWHM) - это разница между двумя значениями независимой переменной, при которой зависимая переменная равна половине своего максимального значения. Другими словами, это ширина кривой спектра, измеренная между теми точками на оси y, которые составляют половину максимальной амплитуды.

Полуширина на половине высоты ( HWHM) равна половине FWHM, если функция симметрична.

FWHM применяется к таким явлениям, как длительность формы импульсов и спектральная ширина источников, используемых для оптической связи, и разрешающая способность спектрометров.

Термин полная продолжительность на половине максимума (FDHM) предпочтительнее, когда независимой переменной является время.

Условное обозначение «ширина», означающая «половину максимума», также широко используется при обработке сигналов для определения ширины полосы как «ширины частотного диапазона, в котором ослабляется менее половины мощности сигнала», т. Е. Мощность составляет, по крайней мере, половину максимальной. С точки зрения обработки сигналов это самое большее ослабление –3 дБ, называемое « точкой половинной мощности ».

Если рассматриваемая функция является плотностью нормального распределения вида

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ exp \ left [- {\ frac {(x-x_ {0}) ^ {2} } {2 \ sigma ^ {2}}} \ right]}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ exp \ left [- {\ frac {(x-x_ {0}) ^ {2} } {2 \ sigma ^ {2}}} \ right]}

где σ - стандартное отклонение, а x 0 - ожидаемое значение, тогда соотношение между FWHM и стандартным отклонением равно

{\ displaystyle \ mathrm {FWHM} = 2 {\ sqrt {2 \ ln 2}} \; \ sigma \ приблизительно 2.355 \; \ sigma.}

{\ displaystyle \ mathrm {FWHM} = 2 {\ sqrt {2 \ ln 2}} \; \ sigma \ приблизительно 2.355 \; \ sigma.}

Соответствующая площадь в пределах данного FWHM составляет примерно 76%.

Ширина не зависит от ожидаемого значения x 0 ; инвариантен относительно переводов.

В спектроскопии обычно используется половина ширины на полувысоте (здесь γ), HWHM. Например, распределение Лоренца / Коши высоты1/πγ можно определить как

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ pi \ gamma \ left [1+ \ left ({\ frac {x-x_ {0}} {\ gamma}} \ right) ^ {2} \ right]}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathrm {FWHM} = 2 \ gamma.}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ pi \ gamma \ left [1+ \ left ({\ frac {x-x_ {0}} {\ gamma}} \ right) ^ {2} \ right]}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathrm {FWHM} = 2 \ gamma.}

Другой важной функцией распределения, связанной с солитонами в оптике, является гиперболический секанс :

{\ displaystyle f (x) = \ operatorname {sech} \ left ({\ frac {x} {X}} \ right).}

{\ displaystyle f (x) = \ operatorname {sech} \ left ({\ frac {x} {X}} \ right).}

Любой элемент перевода был опущен, так как он не влияет на FWHM. Для этого импульса у нас есть:

{\ displaystyle \ mathrm {FWHM} = 2 \ operatorname {arsech} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) X = 2 \ ln (2 + {\ sqrt {3}}) \; X \ приблизительно 2,634 \; X}

{\ displaystyle \ mathrm {FWHM} = 2 \ operatorname {arsech} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) X = 2 \ ln (2 + {\ sqrt {3}}) \; X \ приблизительно 2,634 \; X}

где arsech - обратный гиперболический секанс.

Если известно значение FWHM гауссовой функции, то ее можно проинтегрировать простым умножением.

Смотрите также

Рекомендации

Эта статья включает материалы, являющиеся общественным достоянием, из документа Управления общих служб : «Федеральный стандарт 1037C».

Внешние ссылки

FWHM в Wolfram Mathworld