Конечномерное распределение

редактировать

В математике, конечномерные распределения являются инструментом исследования of измеряет и случайные процессы. Много информации можно получить, изучая «проекцию» меры (или процесса) на конечномерное векторное пространство (или конечный набор времен).

Содержание

1 Конечномерные распределения меры
2 Конечномерные распределения случайного процесса
3 Связь с герметичностью
4 См. Также

Конечномерные распределения меры

Пусть $(X, F, μ) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathcal {F}}, \ mu)$ будет мерой пространства. конечномерные распределения из $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - это предварительные меры $f ∗ (μ) {\ displaystyle f_ {*} (\ mu)}$ $f _ {{*}} (\ mu)$ , где $f: X → R k {\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {k}}$ $f: X \ to {\ mathbb {R}} ^ {{k}}$ , $k ∈ N { \ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ - любая измеримая функция.

Конечномерные распределения случайного процесса

Пусть $(Ω, F, P) {\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P })}$ $(\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})$ будет вероятностным пространством и пусть $X: I × Ω → X {\ displaystyle X: I \ times \ Omega \ to \ mathbb {X}}$ $X: I \ times \ Omega \ to {\ mathbb {X}}$ быть случайным процессом. Конечномерные распределения из $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это меры продвижения вперед $P i 1… ik X {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X}}$ ${\ mathbb {P}} _ {{i _ {{1}} \ dots i _ {{k}}}}} ^ {{X}}$ на области продукта $X k {\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {k} }$ ${\ mathbb {X}} ^ {{k}}$ для $k ∈ N {\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ , определяемого

P i 1… ik X (S): = P { ω ∈ Ω | (X i 1 (ω),…, X i k (ω)) ∈ S}. {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X} (S): = \ mathbb {P} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | \ left (X_ {i_ {1}} (\ omega), \ dots, X_ {i_ {k}} (\ omega) \ right) \ in S \ right. \ Right \}.}

{ \ mathbb {P}} _ {{i _ {{1}} \ dots i _ {{k}}}} ^ {{X}} (S): = {\ mathbb {P}} \ left \ {\ omega \ в \ Omega \ left | \ left (X _ {{i _ {{1}}}} (\ omega), \ dots, X _ {{i _ {k}}}} (\ omega) \ right) \ in S \ right. \ right \}.

Очень часто это условие выражается в терминах измеримых прямоугольников :

P i 1… ik X (A 1 × ⋯ × A k): = P {ω ∈ Ω | X i j (ω) ∈ A j для 1 ≤ j ≤ k}. {\ displaystyle \ mathbb {P} _ {i_ {1} \ dots i_ {k}} ^ {X} (A_ {1} \ times \ cdots \ times A_ {k}): = \ mathbb {P} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | X_ {i_ {j}} (\ omega) \ in A_ {j} \ mathrm {\, для \,} 1 \ leq j \ leq k \ right. \ right \ }.}

{\ mathbb {P}} _ {{i _ {{1}} \ dots i _ {{k}}}} ^ {{X}} (A _ {{1} } \ times \ cdots \ times A _ {{k}}): = {\ mathbb {P}} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \ left | X _ {{i _ {{j}}}} (\ omega) \ in A _ {{j}} {\ mathrm {\, for \,}} 1 \ leq j \ leq k \ right. \ right \}.

Определение конечномерных распределений процесса $X {\ displaystyle X}$ $X$ связано с определением меры $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ следующим образом: напомним, что закон $LX {\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$ ${\ mathcal {L}} _ {{X}}$ из $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это мера в коллекции $XI {\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {I}}$ ${\ mathbb {X}} ^ { {I}}$ всех функций из $I { \ displaystyle I}$ $I$ в $X {\ displaystyle \ mathbb {X}}$ $\ mathbb {X}$ . В общем, это бесконечномерное пространство. Конечномерные распределения $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это меры продвижения вперед $f ∗ (LX) {\ displaystyle f _ {*} \ left ({\ mathcal {L}} _ {X} \ right)}$ $f_ { {*}} \ left ({\ mathcal {L}} _ {{X}} \ right)$ в конечномерном пространстве продукта $X k {\ displaystyle \ mathbb {X} ^ {k}}$ ${\ mathbb {X}} ^ {{k}}$ , где

е: XI → Икс К: σ ↦ (σ (t 1),…, σ (tk)) {\ displaystyle f: \ mathbb {X} ^ {I} \ to \ mathbb {X} ^ {k}: \ sigma \ mapsto \ left (\ sigma (t_ {1}), \ dots, \ sigma (t_ {k}) \ right)}

f: {\ mathbb {X} } ^ {{I}} \ to {\ mathbb {X}} ^ {{k}}: \ sigma \ mapsto \ left (\ sigma (t _ {{1}}), \ dots, \ sigma (t _ {{ k}}) \ right)

является естественным "вычислять время от времени $t 1,…, tk { \ displaystyle t_ {1}, \ dots, t_ {k}}$ $t _ {{1}}, \ точек, t _ {{k}}$ "функция.

Связь с герметичностью

Можно показать, что если последовательность вероятностных мер $(μ n) n = 1 ∞ {\ displaystyle (\ mu _ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ $(\ mu _ {{n}}) _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}}$ плотно и все конечномерные распределения $μ n {\ displaystyle \ mu _ {n}}$ $\ mu _ {{n}}$ слабо сходятся к соответствующим конечномерным распределениям некоторой вероятностной меры $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , тогда $μ n {\ displaystyle \ mu _ {n}}$ $\ mu _ {{n}}$ слабо сходится к $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

См. также

Закон (случайные процессы)