Функция Фаддеева

Функция Фаддеева или функция Крампа представляет собой масштабированную комплексную дополнительную ошибку или функция,

$w\; (z):\; =\; e\; -\; z\; 2\; erfc\; \; (-\; i\; z)\; =\; erfcx\; \; (-\; i\; z)\; =\; e\; -\; z\; 2\; (1\; +\; 2\; i\; \pi \; \int \; 0\; z\; e\; t\; 2\; d\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (z):\; =\; e\; ^\; \{-\; z\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{erfc\}\; (-iz)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{erfcx\}\; (-iz)\; =\; e\; ^\; \{-\; z\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; слева\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2i\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{z\}\; e\; ^\; \{t\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; t\; \backslash \; right).\; \}$

Он связан с интегралом Френеля, с интегралом Доусона и с функцией Фойгта.

. Эта функция возникает в различных физических задачах при описании электромагнитного отклика. в сложных медиа.

• проблемы, связанные с волнами малой амплитуды, распространяющимися через максвелловскую плазму, и, в частности, проявляются в диэлектрической проницаемости плазмы, откуда дисперсионные соотношения являются производными, поэтому ее иногда называют функцией дисперсии плазмы (хотя это имя иногда используется вместо измененной функции $Z\; (z)\; =\; i\; \pi \; w\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (z)\; =\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\; w\; (z)\}$определено Фридом и Конте, 1961).
• инфракрасные функции диэлектрической проницаемости аморфные оксиды имеют резонансы (из-за фононов ), которые иногда слишком сложны, чтобы их можно было подогнать с помощью простых гармонических осцилляторов. Форма осциллятора Бренделя – Бормана использует бесконечную суперпозицию осцилляторов с немного разными частотами с гауссовым распределением. Интегрированный отклик можно записать в терминах функции Фаддеева.
• функция Фаддеева также используется при анализе электромагнитных волн того типа, который используется в AM-радио. Земные волны - это волны с вертикальной поляризацией, распространяющиеся по грунту с потерями и конечным сопротивлением и диэлектрической проницаемостью.

• 1 Свойства
  • 1.1 Действительная и мнимая части
  • 1.2 Инверсия знака
  • 1.3 Связь с дополнительной функцией ошибок
• 2 Интегральное представление
• 3 История
• 4 Реализации
• 5 Ссылки

Реальная и мнимая части

Обычно записывается разложение на действительную и мнимую части

$вес\; (x\; +\; iy)\; =\; V\; (x,\; y)\; +\; я\; L\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (x\; +\; iy)\; =\; V\; (x,\; y)\; +\; iL\; (x,\; y)\}$,

где V и L называются действительной и мнимой функциями Фойгта, поскольку V (x, y) - это профиль Фойгта (с точностью до префакторов).

Инверсия знака

Для аргументов с инвертированным знаком применяются оба следующих условия:

$w\; (-\; z)\; =\; 2\; e\; -\; z\; 2\; -\; w\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (-\; z)\; =\; 2e\; ^\; \{-\; z\; ^\; \{2\}\}\; -\; w\; (z)\}$

и

$w\; (-\; z)\; =\; w\; (z\; \ast )\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (-z)\; =\; w\; (z\; ^\; \{*\})\; ^\; \{*\}\}$

где * означает комплексное сопряжение.

Связь с дополнительной функцией ошибок

Функция Фаддеева, вычисленная на мнимых аргументах, равна масштабированной дополнительной функции ошибок (erfcx):

$w\; (iz)\; =\; erfcx\; (z)\; =\; ez\; 2\; erfc\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (iz)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{erfcx\}\; (z)\; =\; e\; ^\; \{z\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; mathrm\; \{erfc\}\; (z)\}$,

где erfc - дополнительная ошибка функция. Для больших вещественных x:

$erfcx\; (x)\; \approx \; 1\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{erfcx\}\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\}$

Функция Фаддеева возникает как

$w\; (z)\; =\; i\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; t\; 2\; z\; -\; tdt\; =\; 2\; iz\; \pi \; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; t\; 2\; z\; 2\; -\; t\; 2\; dt,\; Im\; \; z>0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; w\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \{zt\}\}\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2iz\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; \{z\; ^\; \{2\}\; -t\; ^\; \{2\; \}\}\}\; dt,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; operatorname\; \{Im\}\; z>0\}$

означает, что это свертка гауссиана с простым полюсом.

Таблица функции была составлена Вера Фаддеева и Н.Н. Терентьев в 1954 году. Она появляется как безымянная функция w (z) в Абрамовиц и Стегун (1964), формула 7.1.3. Имя Фаддеева функция была, по-видимому, введена GPM Poppe и CMJ Wijers в 1990 году; хитро, она была известна как функция Крампа (вероятно, после Кристиана Крампа ).

Ранние реализации использовали методы Уолтера Гаучи (1969/70; Алгоритм ACM 363) или J. Humlicek (1982). Более эффективный алгоритм был предложен Poppe и Wijers (1990; ACM Algorithm 680). J.A.C. Вейдеман (1994) предложил особенно короткий алгоритм, который занимает не более восьми строк кода MATLAB. Заглул и Али указали на недостатки предыдущих алгоритмов и предложили новый (2011; ACM Algorithm 916). Другой алгоритм был предложен М. Абраровым и Б.М. Quine (2011/2012).

Две реализации программного обеспечения, которые бесплатны только для некоммерческого использования, были опубликованы в Транзакции ACM по математическому ПО (TOMS) как алгоритм 680 (в Fortran, позже переведенный на C ) и алгоритм 916 Заглулом и Али (в MATLAB ).

A бесплатно и с открытым исходным кодом C или Реализация C ++, полученная из комбинации алгоритма 680 и алгоритма 916 (с использованием разных алгоритмов для разных z), также доступна по лицензии MIT и поддерживается как библиотечный пакет libcerf. Эта реализация также доступна как плагин для Matlab, GNU Octave и в Python через Scipy как scipy.special.wofz(который изначально был кодом TOMS 680, но был заменен из-за проблем с авторскими правами).