Функция ошибок

редактировать

График функции

В математике функция ошибок (также называемая Функция ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf, является сложной функцией комплексной определяемой как:

erf ⁡ z = 2 π ∫ 0 ze - t 2 dt. {\ displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} \, dt.}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ гидроразрыва {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} \, dt.}

Этот интеграл является особой (не элементарной ) и сигмоидной функцией, которая часто встречается в статистике вероятность, и уравнения в частных производных. Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, значение также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция имеет интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена с среднее 0 и дисперсия 1/2, erf x - это вероятность того, что Y попадает в диапазон [-x, x].

Две связанные функции: дополнительные функции ошибок (erfc ), определенная как

erfc ⁡ z = 1 - erf ⁡ z, {\ displaystyle \ operatorname {erfc} z = 1- \ operatorname {erf} z,}

{\ displaystyle \ operatorname {erfc} z = 1- \ operatorname {erf} z, }

и функция мнимой ошибки (erfi ), определяемая как

erfi ⁡ z = - i erf ⁡ (iz), {\ displaystyle \ operatorname {erfi} z = -i \ operatorname {erf} (iz),}

{\ displaystyle \ operatorname {erfi} z = -i \ operatorname {erf} (iz),}

, где i - мнимая единица.

Содержание

1 Имя
2 Приложения
3 Свойства
- 3.1 Ряд Тейлора
- 3.2 Производная и интеграл
- 3.3 Ряд Бюрмана
- 3.4 Обратные функции
- 3.5 Асимптотическое разложение
- 3.6 Разложение на непрерывную дробь
- 3,7 Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса
- 3.8 Факториальный ряд
4 Численные приближения
- 4.1 Аппроксимация с элементарными функциями
- 4.2 Полином
- 4.3 Таблица значений
5 Связанные функции
- 5.1 функция дополнительных ошибок
- 5.2 Функция мнимой ошибки
- 5.3 Кумулятивная функци я распределения на
- 5.4 Обобщенные функции ошибок
- 5.5 Итерированные интегралы дополнительных функций ошибок
6 Реализации
- 6.1 Как действующая функция действительного аргумента
- 6.2 Как комплексная функция комплексного аргумента
7 См. Также
- 7.1 Связанные функции
- 7.2 Вероятность
8 Ссылки
9 Дополнительная литература
10 Внешние ссылки

Имя

Название «функция ошибки» и его аббревиатура erf были предложены Дж. В. Л. Глейшер в 1871 г. по причине его связи с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». Дополнение функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для "закона удобства" ошибок плотность задана как

f (x) = (c π) 1 2 e - cx 2 {\ displaystyle f (x) = \ left ({\ frac {c } {\ pi}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}

{\ displaystyle f (x) = \ left ({\ frac {c} {\ pi}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}

(нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между $p {\ displaystyle p}$ $p$ и $q {\ displaystyle q}$ $д$ как:

(c π) 1 2 ∫ pqe - cx 2 dx = 1 2 (erf ⁡ (qc) - erf ⁡ (pc)). {\ displaystyle \ left ({\ frac {c} {\ pi}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ operatorname {erf} (q {\ sqrt {c}}) - \ operatorname {erf} (p {\ sqrt {c}}) \ right).}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {c} {\ pi}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2 }} dx = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ operatorname {erf} (q {\ sqrt {c}}) - \ operatorname {erf} (p {\ sqrt {c}}) \ right).}

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ и ожидаемое значение 0, затем $erf ⁡ (a σ 2) {\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {a} {\ sigma {\ sqrt {2}) }}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {a} {\ sigma {\ sqrt {2}}}}} \ right)}$ - это вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между −a и + a, для положительного a. Это полезно, например, при определении коэффициента битовых ошибок цифровой системы связи.

Функции и дополнительные функции ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные ошибки задаются ступенчатой функцией Хевисайда.

Функция ошибок и ее приближения Программу присвоили себе преподавателей, которые получили с высокой вероятностью или с низкой вероятностью. Дана случайная величина $X ∼ Norm ⁡ [μ, σ] {\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Norm} [\ mu, \ sigma]}$ $X \ sim \ operatorname {Norm} [\ му, \ sigma]$ и константа $L < μ {\displaystyle L<\mu }$ $L <\ mu$ :

Pr [X ≤ L ] = 1 2 + 1 2 erf ⁡ (L - μ 2 σ) ≈ A ехр (- B (L - μ σ) 2) {\ Displaystyle \ Pr [X \ Leq L] = {\ frac {1} {2 }} + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {L- \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right) \ приблизительно A \ exp \ left (-B \ left ({\ frac {L- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle \ Pr [X \ leq L ] = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {L- \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma }} \ right) \ приблизительно A \ exp \ left (-B \ left ({\ frac {L- \ mu} {\ sigma}} \ right) ^ {2} \ right)}

где A и B - верх числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, то есть $μ - L ≥ σ ln ⁡ k {\ displaystyle \ mu -L \ geq \ sigma {\ sqrt {\ ln {k}}}}$ $\ mu -L \ geq \ sigma {\ sqrt {\ ln {k}}}$ , то:

Pr [X ≤ L] ≤ A exp ⁡ (- B ln ⁡ k) = A К B {\ displaystyle \ Pr [X \ leq L] \ leq A \ exp (-B \ ln {k}) = {\ frac {A} {k ^ {B}}}}

{\ displaystyle \ Pr [X \ leq L] \ leq A \ exp (-B \ ln {k}) = {\ frac {A} {k ^ {B}}}}

, поэтому становится вероятность 0 при $k → ∞ {\ displaystyle k \ to \ infty}$ $k \ to \ infty$ .

Свойства

Графики на комплексной плоскости

Интегрируем exp (-z)

erf (z)

Свойство $erf ⁡ (- z) = - erf ⁡ (z) {\ displaystyle \ operatorname {erf} (-z) = - \ operatorname {erf} (z)}$ $\ operatorname {erf} (-z) = - \ operatorname {erf} (z)$ означает, что функция является ошибкой нечетной функции. Это связано с тем, что подынтегральное выражение $e - t 2 {\ displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}$ $e ^ {- t ^ {2}}$ является четной функцией.

Для любого комплексное число z:

erf ⁡ (z ¯) = erf ⁡ (z) ¯ {\ displaystyle \ operatorname {erf} ({\ overline {z}}) = {\ overline {\ operatorname {erf} (z)}}}

\ operatorname {erf} ({\ overline {z}}) = {\ overline {\ operatorname {erf} (z)}}

где $z ¯ {\ displaystyle {\ overline {z}}}$ ${\ overline {z}}$ - комплексное сопряжение число z.

Подынтегральное выражение f = exp (−z) и f = erf (z) показано в комплексной плоскости z на рисунках 2 и 3. Уровень Im (f) = 0 показан жирным зеленым цветом. линия. Отрицательные целые значения Im (f) показаны жирными красными линиями. Положительные целые значения Im (f) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im (f) = проявляются тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re (f) = показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. интеграл Гаусса ). На действительной оси erf (z) стремится к единице при z → + ∞ и к −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ± i∞.

Серия Тейлора

Функция ошибок - это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[...] его плохая сходимость, если x>1».

определяющий интеграл нельзя вычислить в закрытой форме в терминах элементарных функций, но путем расширения подынтегрального выражения e в его ряд Маклорена и интегрирована почленно, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (- 1) nz 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z - z 3 3 + z 5 10 - z 7 42 + z 9 216 - ⋯) {\ displaystyle \ operatorname {erf} (z) = {\ frac {2} { \ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ { 5}} {10}} - {\ frac {z ^ {7}} {42}} + {\ frac {z ^ {9}} {216}} - \ cdots \ right)}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac { (-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {п! (2n + 1)}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ { 5}} {10}} - {\ frac {z ^ {7}} {42}} + {\ frac {z ^ {9}} {216}} - \ cdots \ right)}

, которое выполняется для каждого комплексного числа г. Члены знаменателя представляют собой последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного вычисления нового ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

erf ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ (z ∏ К знак равно 1 N - (2 К - 1) Z 2 К (2 К + 1)) знак равно 2 π ∑ N = 0 ∞ Z 2 N + 1 ∏ К = 1 N - Z 2 К {\ Displaystyle \ OperatorName { erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (z \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} \ right) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z} {2n + 1}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {-z ^ {2}} {k}}}

\ operatorname {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (z \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} \ right) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z} {2n + 1}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {-z ^ {2}} {k}}

потому что что $- (2 k - 1) z 2 k (2 k + 1) {\ displaystyle {\ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1))}} }$ ${\ frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}}$ выражает множитель для превращения члена k в член (k + 1) (рассматривая z как первый член).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена:

erfi ⁡ (z) = 2 π ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 n! (2 n + 1) знак равно 2 π (z + z 3 3 + z 5 10 + z 7 42 + z 9 216 + ⋯) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} (z) = {\ frac {2} { \ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (z + {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ { 5}} {10}} + {\ frac {z ^ {7}} {42}} + {\ frac {z ^ {9}} {216}} + \ cdots \ right)}

{\ displaystyle \ operatorname {erfi} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ left (z + {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ { 5}} {10}} + {\ frac {z ^ {7}} {42}} + {\ frac {z ^ {9}} {216}} + \ cdots \ right)}

, которое выполняется для любого комплексного числа z.

Производная и интеграл

Производная функция ошибок сразу следует из ее определения:

ddz erf ⁡ (z) = 2 π e - z 2. {\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} е ^ {- z ^ {2}}.}

Отсюда немедленно вычисляется производная функция мнимой ошибки :

ddz erfi ⁡ (z) = 2 π ez 2. {\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {erfi} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi }}} e ^ {z ^ {2}}.}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ operatorname {erfi} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}

первообразная функции ошибок, которые можно получить посредством интегрирования по частям, составляет

z erf ⁡ (z) + е - z 2 π. {\ displaystyle z \ operatorname {erf} (z) + {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}

{\ displaystyle z \ operatorname {erf} (z) + { \ frac {e ^ {- z ^ {2}}} { \ sqrt {\ pi}}}.}

Первообразная мнимой функции ошибок, также можно получить интегрированием по частям:

z erfi ⁡ (z) - ez 2 π. {\ displaystyle z \ operatorname {erfi} (z) - {\ frac {e ^ {z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}

{\ displaystyle z \ operatorname {erfi} (z) - {\ frac {e ^ {z ^ {2}}} {\ sqrt {\ pi}}}.}

Производные высшего порядка задаются как

erf (k) ⁡ (z) = 2 (- 1) k - 1 π H k - 1 (z) e - z 2 = 2 π dk - 1 dzk - 1 (e - z 2), k = 1, 2, … {\ Displaystyle \ operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = {\ frac {2 (-1) ^ {k-1}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ mathit {H} } _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} {\ frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} \ left (e ^ {- z ^ {2}} \ right), \ qquad k = 1,2, \ dots}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = {\ frac {2 (-1) ^ {k-1}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ mathit {H}} _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ { 2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} {\ frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} \ left (e ^ {- z ^ {2}} \ right), \ qquad k = 1,2, \ dots}

где $H {\ displaystyle {\ mathit {H}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {H}}}$ - физики многочлены Эрмита.

ряд Бюрмана

Расширение, которое сходится быстрее для всех реальных значений $x {\ displaystyle x}$ $x$ , чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

erf ⁡ (x) = 2 π sgn ⁡ (x) 1 - e - x 2 (1 - 1 12 ( 1 - e - x 2) - 7 480 (1 - e - x 2) 2 - 5 896 (1 - e - x 2) 3 - 787 276480 (1 - e - x 2)) 4 - ⋯) знак равно 2 π знак ⁡ (x) 1 - e - x 2 (π 2 + ∑ k = 1 ∞ cke - kx 2). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}}}} \ left (1 - {\ frac {1} {12}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) - {\ frac {7} {480}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) ^ {2} - {\ frac {5} {896}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2 }} \ right) ^ {3} - {\ frac {787} {276480}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) ^ {4} - \ cdots \ right) \\ [10pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} \ left ({ \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} \ right). \ end {выровнено}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} \ left (1 - {\ frac {1} {12}} \ left (1 -e ^ {- x ^ {2}} \ right) - {\ frac {7} {480}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) ^ {2} - {\ frac {5} {896}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2}} \ right) ^ {3} - {\ frac {787} {276480}} \ left (1-e ^ {- x ^ {2 }} \ right) ^ {4} - \ cdots \ right) \\ [10pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1 -e ^ {- x ^ {2}}}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} \ right). \ end {align}}}

Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая $c 1 = 31 200 {\ displaystyle c_ {1} = {\ frac {31} {200}}}$ $c_ {1} = {\ frac {31} {200}}$ и $c 2 = - 341 8000, {\ displaystyle c_ {2} = - {\ frac {341} {8000}},}$ ${\ displayst yle c_ {2} = - {\ frac {341} {8000}},}$ результирующая аппроксимация дает наибольшую относительную ошибку при $x = ± 1,3796, {\ displaystyle x = \ pm 1,3796,}$ ${\ displaystyle x = \ pm 1.3796,}$ , где оно меньше $3,6127 ⋅ 10 - 3 {\ displaystyle 3.6127 \ cdot 10 ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle 3.6127 \ cdot 10 ^ {- 3}}$ :

erf ⁡ (x) ≈ 2 π sign ⁡ (x) 1 - e - x 2 (π 2 + 31 200 e - x 2 - 341 8000 e - 2 х 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2 }}}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} + {\ frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - {\ frac {341} {8000}} e ^ {- 2x ^ {2}} \ right).}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}} }} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} + {\ frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - {\ frac {341} {8000 }} e ^ {- 2x ^ {2}} \ right).}

Обратные функции

Обратная функция

Учитывая комплексное число z, не существует уникального комплексного числа w, удовлетворяющего $erf ⁡ (w) = z {\ displaystyle \ operatorname {erf} (w) = z}$ $\ operatorname {erf} (w) = z$ , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < x < 1, there is a unique real number denoted $erf - 1 ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (x)}$ $\ operatorname {erf} ^ {- 1} (х)$ , удовлетворяющего

erf ⁡ (erf - 1 ⁡ ( х)) = х. {\ displaystyle \ operatorname {erf} \ left (\ operatorname {erf} ^ {- 1} (x) \ right) = x.}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} \ left (\ operatorname {erf} ^ {- 1} (x) \ right) = x.}

Обратная функция ошибок обычно определяется с помощью домена (- 1,1), и он ограничен этой областью многих систем компьютерной алгебры. Однако его можно продолжить и на диск | z | < 1 of the complex plane, using the Maclaurin series

erf - 1 ⁡ (z) знак равно ∑ К знак равно 0 ∞ ck 2 k + 1 (π 2 z) 2 k + 1, {\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k}} {2k + 1}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ right) ^ {2k + 1},}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {k}} {2k + 1}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ right) ^ {2k + 1},}

где c 0 = 1 и

ck = ∑ m = 0 k - 1 cmck - 1 - m (m + 1) (2 m + 1) = {1, 1, 7 6, 127 90, 4369 2520, 34807 16200,…}. {\ displaystyle c_ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k-1} {\ frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = \ left \ {1,1, {\ frac {7} {6}}, {\ frac {127} {90}}, {\ frac {4369} {2520}}, {\ frac {34807} {16200}}, \ ldots \ right \}.}

c_ {k} = \ sum _ {m = 0} ^ {k-1} { \ frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1)}} = \ left \ {1,1, {\ frac {7} {6}}, { \ frac {127} {90}}, {\ frac {4369} {2520}}, {\ frac {34807} {16200}}, \ ldots \ right \}.

Итак, у нас есть разложение в ряд (общие множители были удалены из числителей и знаменателей):

erf - 1 ⁡ (z) = 1 2 π ( z + π 12 z 3 + 7 π 2 480 z 5 + 127 π 3 40320 z 7 + 4369 π 4 5806080 z 9 + 34807 π 5 182476800 z 11 + ⋯). {\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi}} \ left (z + {\ frac {\ pi} {12} } z ^ {3} + {\ frac {7 \ pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + {\ frac {127 \ pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + {\ frac {4369 \ pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + {\ frac {34807 \ pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + \ cdots \ right). }

{\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi}} \ left (z + {\ frac { \ pi} {12}} z ^ {3} + {\ frac {7 \ pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + {\ frac {127 \ pi ^ {3}} {40320} } z ^ {7} + {\ frac {4369 \ pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + {\ frac {34807 \ pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + \ cdots \ right).}

(После отмены дроби числителя / знаменателя характерми OEIS : A092676 / OEIS : A092677 в OEIS ; без отмены членов числителя в записи OEIS : A002067.) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.

Для | z | < 1, we have $erf ⁡ (erf - 1 ⁡ (z)) = z {\ displaystyle \ operatorname {erf} \ left (\ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) \ right) = z}$ $\ OperatorName {erf} \ left (\ operatorname {erf} ^ {- 1} (z) \ right) = z$ .

обратная дополнительная функция ошибок определяется как

erfc - 1 ⁡ (1 - z) = erf - 1 ⁡ (z). {\ displaystyle \ operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z).}

\ operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = \ operatorname {erf} ^ {- 1} (z).

Для действительного x существует уникальное действительное число $erfi - 1 ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$ $\ имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x)$ удовлетворяет $erfi ⁡ (erfi - 1 ⁡ (x)) = x {\ displaystyle \ operatorname { erfi} \ left (\ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) \ right) = x}$ $\ operatorname {erfi} \ left (\ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) \ right) = x$ . функция обратной мнимой ошибки определяется как $erfi - 1 ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$ $\ имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x)$ .

Для любого действительного x, Метод Ньютона можно использовать для вычислений $erfi - 1 ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$ $\ имя оператора {erfi} ^ {- 1} (x)$ , а для $- 1 ≤ x ≤ 1 {\ displaystyle -1 \ leq x \ leq 1}$ $-1 \ leq x \ leq 1$ , сходится следующий ряд Маклорена:

erfi - 1 ⁡ (z) = ∑ k = 0 ∞ (- 1) ККК 2 К + 1 (π 2 Z) 2 К + 1, {\ Displaystyle \ OperatorName {erfi} ^ {- 1} (г) = \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ right) ^ {2k + 1},}

{\ displaystyle \ имя оператора {erfi} ^ {- 1} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} \ left ({\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} z \ справа) ^ {2k + 1},}

, где c k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезным асимптотическим разложением дополнительные функции (и, следовательно, также и функции ошибок) для больших вещественных x

erfc ⁡ (x) = e - x 2 x π [1 + ∑ n = 1 ∞ (- 1) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ (2 n - 1) (2 x 2) n] = e - x 2 x π ∑ n = 0 ∞ (- 1) п (2 п - 1)! ! (2 х 2) n, {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} \ right] = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} ( -1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}

{\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ left [1+ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (-1) ^ {n} {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ { n}}} \ right] = {\ frac {e ^ {-x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}

где (2n - 1) !! - это двойной факториал числа (2n - 1), которое является произведением всех нечетных чисел до (2n - 1). Этот ряд расходуется для любого конечного x, и его значение как асимптотического разложения состоит в том, что для любого $N ∈ N {\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ $N \ in \ N$ имеется

erfc ⁡ (Икс) знак равно е - Икс 2 Икс π ∑ N знак равно 0 N - 1 (- 1) N (2 N - 1)! ! (2 х 2) n + RN (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = {\ frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}

{\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = {\ frac {e ^ { - x ^ {2}}} {x {\ sqrt {\ pi}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {N- 1} (- 1) ^ {n} {\ frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}

где остаток в нотации Ландау равен

RN (x) = O (x 1 - 2 N e - x 2) {\ displaystyle R_ {N} ( x) = O \ left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} \ right)}

{\ displaystyle R_ {N} (x) = O \ left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} \ right)}

при $x → ∞. {\ displaystyle x \ to \ infty.}$ $x \ к \ infty.$

Действительно, точное значение остатка равно

R N (x): = (- 1) N π 2 1 - 2 N (2 N)! N! ∫ Икс ∞ T - 2 N e - T 2 dt, {\ Displaystyle R_ {N} (x): = {\ frac {(-1) ^ {N}} {\ sqrt {\ pi}}} 2 ^ { 1-2N} {\ frac {(2N)!} {N!}} \ Int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} \, dt,}

{\ displaystyle R_ {N} (x): = {\ frac {(-1) ^ {N}} {\ sqrt {\ pi}}} 2 ^ {1-2N} {\ frac {(2N)!} {N!}} \ Int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} \, dt,}

который легко следует по индукции, записывая

e - t 2 = - (2 t) - 1 (e - t 2) ′ {\ displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = - (2t) ^ {- 1} \ left (e ^ {- t ^ {2}} \ right) '}

e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left(e^{-t^{2}}\right)'

и интегрирование по частям.

Для достаточно больших значений x, только первые несколько этих асимптотических разностей необходимы, чтобы получить хорошее приближение erfc (x) (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Расширение непрерывной дроби

A Разложение непрерывной дроби дополнительные функции ошибок:

erfc ⁡ (z) = z π e - z 2 1 z 2 + a 1 1 + a 2 z 2 + a 3 1 + ⋯ am = м 2. {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (z) = {\ frac {z} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}} {\ cfrac {1} {z ^ {2} + {\ cfrac {a_ {1}} {1 + {\ cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {1+) \ dotsb}}}}}}}} \ qquad a_ {m} = {\ frac {m} {2}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {erfc} (z) = {\ frac {z} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}} {\ cfrac {1} {z ^ {2 } + {\ cfrac {a_ {1}} {1 + {\ cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {1+ \ dotsb}}}}}} }} \ qquad a_ {m} = {\ frac {m} {2}}.}

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

∫ - ∞ ∞ erf ⁡ (ax + б) 1 2 π σ 2 е - (Икс - μ) 2 2 σ 2 dx знак равно erf ⁡ [a μ + b 1 + 2 a 2 σ 2], a, b, μ, σ ∈ R {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {erf} \ left (ax + b \ right) {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \, dx = \ operatorname {erf} \ left [{\ frac {a \ mu + b } {\ sqrt {1 + 2a ^ {2} \ sigma ^ {2}}} \ right], \ qquad a, b, \ mu, \ sigma \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {erf} \ left (ax + b \ right) {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- {\ frac {(x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} \, dx = \ operatorname {erf} \ left [{\ frac {a \ mu + b} {\ sqrt {1 + 2a ^ {2} \ sigma ^ {2}}} \ right], \ qquad a, b, \ му, \ sigma \ in \ mathbb {R}}

Факториальный ряд

Обратное:

erfc ⁡ z = e - z 2 π z ∑ n = 0 ∞ (- 1) n Q n (z 2 + 1) n ¯ = e - z 2 π z (1 - 1 2 1 (z 2 + 1) + 1 4 1 (z 2 + 1) (z 2 + 2) - ⋯) {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} z = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} + 1)} ^ {\ ba r {n}}}} \\ = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z}} \ left ( 1 - {\ frac {1} {2}} {\ frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)}} - \ cdots \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} z = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{\ sqrt { \ pi}} \, z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1) } ^ {\ bar {n}}}} \\ = {\ frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{\ sqrt {\ pi}} \, z}} \ left (1 - { \ frac {1} {2}} {\ frac {1} {(z ^ {2} +1)}} + {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {(z ^ {2 } +1) (z ^ {2} +2)}} - \ cdots \ right) \ end {align}}}

сходится для

Re ⁡ (z 2)>0. {\ displaystyle \ operatorname {Re} (z ^ {2})>0.}

\operatorname {Re} (z^{2})>0.

Здесь

Q n = def 1 Γ (1/2) ∫ 0 ∞ τ (τ - 1) ⋯ ( τ - n + 1) τ - 1/2 е - τ d τ знак равно ∑ К знак равно 0 N (1 2) к ¯ s (n, k), {\ displaystyle Q_ {n} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} {\ frac {1} {\ Gamma (1/2)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ tau (\ tau -1) \ cdots (\ tau -n + 1) \ tau ^ {-1/2} e ^ {- \ tau} d \ tau = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {\ bar {k}} s (n, k),}

{\ displaystyle Q_ {n} {\ stackrel {\ text {def} } {=}} {\ frac {1} {\ Gamma (1/2)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ tau (\ tau -1) \ cdots (\ tau -n + 1) \ tau ^ {- 1/2} e ^ {- \ tau} d \ tau = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ { \ bar {k}} s (n, k),}

zn ¯ {\ displaystyle z ^ {\ bar {n}}}

{\ displaystyle z ^ {\ bar {n}}}

обозначает возрастающий факториал, а

s (n, k) {\ displaystyle s (n, k)}

{\ displaystyle s (n, k)}

обозначает знаковое число Стирлинга первого рода.

Представление бесконечной суммой, составляющей двойной факториал :

ERF ⁡ (Z) знак равно 2 π ∑ N знак равно 0 ∞ (- 2) N (2 N - 1)! (2 N + 1)! Z 2 N + 1 {\ Displaystyle \ OperatorName {ERF} (г) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -2) ^ {n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (z) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ число Пи}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-2) ^ {n} (2n-1) !!} { (2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1}}

Численные приближения

Приближение элементов сарными функциями

Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности они следующие:

erf ⁡ (x) ≈ 1 - 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4) 4, x ≥ 0 {\ displaystyle \ имя оператора {erf} (x) \ приблизительно 1 - {\ frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ { 4} x ^ {4}) ^ {4}}}, \ qquad x \ geq 0}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1- {\ frac {1 } {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4}) ^ {4}}}, \ qquad х \ geq 0}

(максимальная ошибка: 5 × 10)

, где a 1 = 0,278393, a 2 = 0,230389, a 3 = 0,000972, a 4 = 0,078108

erf ⁡ (x) ≈ 1 - (a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3) e - x 2, t = 1 1 + px, x ≥ 0 {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, \ quad t = {\ frac {1} {1 + px}}, \ qquad x \ geq 0}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2}}, \ quad t = {\ frac {1} {1 + px}}, \ qquad x \ geq 0}

(максимальная ошибка: 2,5 × 10)

где p = 0,47047, a 1 = 0,3480242, a 2 = -0,0958798, a 3 = 0,7478556

erf ⁡ (x) ≈ 1 - 1 (1 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a 6 x 6) 16, x ≥ 0 {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1 - {\ frac {1} {(1 + a_ {1} x + a _ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, \ qquad x \ geq 0}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1 - {\ frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, \ qquad x \ geq 0}

(максимальная ошибка: 3 × 10)

, где a 1 = 0,0705230784, a 2 = 0,0422820123, a 3 = 0,0092705272, a 4 = 0,0001520143, a 5 = 0,0002765672, a 6 = 0,0000430638

erf ⁡ (x) ≈ 1 - (a 1 t + a 2 t 2 + ⋯ + a 5 t 5) e - x 2, t = 1 1 + px {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + \ cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, \ quad t = {\ frac {1} {1 + px}}}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + \ cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, \ quad t = {\ frac {1} {1 + px}}}

(максимальная ошибка: 1,5 × 10)

, где p = 0,3275911, a 1 = 0,254829592, a 2 = −0,284496736, a 3 = 1,421413741, a 4 = −1,453152027, a 5 = 1,061405429

Все эти приближения действительны для x ≥ 0 Чтобы использовать эти приближения для отрицательного x, викорируйте тот факт, что erf (x) - нечетная функция, поэтому erf (x) = −erf (−x).

Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительных функций задаются как

erfc ⁡ (x) ≤ 1 2 e - 2 x 2 + 1 2 e - x 2 ≤ e - x 2, x>0 erfc ⁡ ( х) ≈ 1 6 е - х 2 + 1 2 е - 4 3 х 2, х>0. {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} (x) \ leq {\ frac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + {\ frac {1} {2} } e ^ {- x ^ {2}} \ leq e ^ {- x ^ {2}}, \ qquad x>0 \\\ имя оператора {erfc} (x) \ приблизительно {\ frac {1} { 6}} e ^ {- x ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} e ^ {- {\ frac {4} {3}} x ^ {2}}, \ qquad x>0. \ end {align}}}

${\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},\qquad x>0 \\\ operatorname {erfc} (x) \ приблизительно {\ frac {1} {6}} e ^ {- x ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} e ^ {- {\ frac {4} {3}} x ^ {2}}, \ qquad x>0. \ end {align}}$

Точное приближение дополнительных функций для $x ∈ [0, ∞) {\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$ дано Karagiannidis Lioumpas (2007), которые показаны для соответствующих выбора параметров ${A, B} {\ displaystyle \ {A, B \}}$ $\ {A, B \}$ , что

erfc ⁡ (x) ≈ (1 - e - A x) e - x 2 B π х. {\ displaystyle \ operatorname {erfc} \ left (x \ right) \ приблизительно {\ frac {\ left (1-e ^ {- Ax} \ right) e ^ {- x ^ {2}}} {B {\ sqrt {\ pi}} x}}.}

{\ Displaystyle \ имя оператора {erfc} \ left (x \ right) \ приблизительно {\ frac {\ left (1-e ^ {- Ax} \ right) e ^ {- x ^ {2}}} {B {\ sqrt {\ pi }} x}}.}

Они определили

{A, B} = {1.98, 1.135}, {\ displaystyle \ {A, B \} = \ {1.98,1.135 \ },}

{\ displaystyle \ {A, B \} = \ {1.98,1.135 \},}

, что дает хорошее приближение для всех

x ≥ 0. {\ displaystyle x \ geq 0.}

{\ displaystyle x \ geq 0.}

Одноканальная нижняя граница:

erfc ⁡ (x) ≥ 2 e π β - 1 β е - β Икс 2, Икс ≥ 0, β>1, {\ Displaystyle \ OperatorName {erfc} (x) \ geq {\ sqrt {\ frac {2e} {\ pi}}} {\ frac {\ sqrt {\ beta -1}} {\ beta}} e ^ {- \ beta x ^ {2}}, \ qquad x \ geq 0, \ beta>1,}

\operatorname {erfc} (x)\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\beta>1,

где параметр β может быть выбран, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале приближения.

Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»:

erf ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) 1 - exp ⁡ (- x 2 4 π + ax 2 1 + ax 2) { \ displaystyle \ operatorname {erf} (x) \ приблизительно \ Operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {1- \ exp \ left (-x ^ {2} {\ frac {{\ frac {4} {\ pi) })} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} \ right)}}}

{\ Displaystyle \ OperatorName {ERF} (х) \ приблизительно \ OperatorName {SGN } (х) {\ sqrt {1- \ exp \ left (-x ^ {2} {\ frac {{\ frac {4} {\ pi}} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2 }}} \ right)}}}

где

a = 8 (π - 3) 3 π (4 - π) ≈ 0, 140012. {\ displaystyle a = {\ frac {8 (\ pi -3)} {3 \ pi (4- \ pi)}} \ приблизительно 0,140012.}

{\ displaystyle a = {\ frac {8 (\ pi -3)} {3 \ pi (4- \ pi)}} \ приблизительно 0,140012.}

Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестностях 0 и добавление бесконечности, а относительная погрешность меньше 0,00035 для всех действительных x. Использование альтернативного значения ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013.

Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для других функций ошибок:

erf - 1 ⁡ (x) ≈ sgn ⁡ (x) (2 π a + ln ⁡ (1 - x 2) 2) 2 - ln ⁡ (1 - x 2) a - (2 π a + ln ⁡ (1 - x 2) 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} (x) \ приблизительно \ operatorname {sgn} (x) {\ sqrt {{\ sqrt {\ left ({\ frac {2} {\ pi a}} + {\ frac {\ ln (1-x ^ {2})} {2}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ ln (1-x ^ {2})} {a}}}} - \ left ({\ frac {2} {\ pi a}} + {\ frac {\ ln (1-x ^ {2})} {2}} \ right)}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} ^ {- 1} ( x) \ приблизительно \ OperatorName {sgn} (x) {\ sqrt {{\ sqrt {\ left ({\ frac {2} {\ pi a}} + {\ frac {\ ln (1-x ^ {2}))} {2}} \ right) ^ {2} - {\ frac {\ ln (1-x ^ {2})} {a}}}} - \ left ({\ frac {2} {\ pi a }} + {\ frac {\ ln (1-x ^ {2})} {2}} \ right)}}.}

Многочлен

Приближение с максимальной ошибкой $1,2 × 10-7 {\ displaystyle 1,2 \ times 10 ^ {- 7}}$ $1,2 \ times 10 ^ {- 7}$ для любого действительного аргумента:

erf ⁡ ( x) = {1 - τ x ≥ 0 τ - 1 x < 0 {\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\begin{cases}1-\tau x\geq 0\\\tau -1x<0\end{cases}}}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ begin {case} 1- \ tau x \ geq 0 \\\ тау -1 x <0 \ end {cases}}

τ = t ⋅ exp ⁡ (- x 2 - 1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196 t 2 + 0,09678418 t 3 - 0,18628806 t 4 + 0,27886807 t 5 - 1,13520398 t 6 + 1,48851587 t 7 - 0,82215223 t 8 + 0,17087277 t 9) {\ displaystyle {\ begin {align} \ tau = t \ cdot \ exp \ left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368 t + 0,37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} \ вправо. \\ \ left. \ qquad \ qquad \ qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087 277t ^ {9} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tau = t \ cdot \ exp \ left (-x ^ {2} -1,26551223 + 1,00002368t + 0,37409196t ^ { 2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} \ right. \\ \ осталось. \ Qquad \ qquad \ qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1.48851587t ^ {7} - 0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} \ right) \ end {align}}}

t = 1 1 + 0,5 | х |. {\ displaystyle t = {\ frac {1} {1 + 0,5 | x |}}.}

t = {\ frac {1} {1 + 0,5 | х |}}.

Таблица значений

x	erf(x)	1-erf (x)
0	0	1
0,02	0,022564575	0,977435425
0,04	0,045111106	0,954888894
0,06	0,067621594	0, 932378406
0,08	0.090078126	0,909921874
0,1	0,112462916	0,887537084
0,2	0,222702589	0,777297411
0,3	0,328626759	0,671373241
0, 4	0,428392355	0,571607645
0,5	0,520499878	0,479500122
0,6	0.603856091	0,396143909
0,7	0,677801194	0,322198806
0,8 257>	0,742100965	0,257899035
0,9	0,796908212	0,203091788
1	0,842700793	0, 157299207
1,1	0,88020507	0,11979493
1,2	0,910313978	0,089686022
1,3	0,934007945	0,065992055
1,4	0.95228512	0,04771488
1,5	0, 966105146	0,033894854
1,6	0,976348383	0,023651617
1,7	0,983790459	0,016209541
1,8	0,989090502	0,010909498
1,9	0,992790429	0,007209571
2	0,995322265<25767>	0,00477
2.1	0.997020533	0.002979467
2.2	0.998137154	0,001862846
2,3	0,998856823	0,001143177
2,4	0,999311486	0,000688514
2,5	0.999593048	0.000406952
3	0.99997791	0,00002209
3,5	0,999999257	0,000000743

Связанные функции

Дополнительная функция

дополнительная функция ошибок, обозначается $erfc {\ displaystyle \ mathrm {erfc}}$ $\ mathrm {erfc}$ , определяется как

erfc ⁡ (x) = 1 - erf ⁡ (x) = 2 π ∫ x ∞ e - t 2 dt знак равно е - Икс 2 erfcx ⁡ (х), {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ OperatorName {erfc} (x) = 1- \ operatorname {erf} (x) \\ [5p t] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt \\ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} \ operatorname {erfcx} (x), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfc} (x) = 1- \ operatorname {erf} (x) \\ [5pt ] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ {2}} \, dt \\ [5pt] = e ^ {- x ^ {2}} \ operatorname {erfcx} (x), \ end {align}}}

, который также определяет $erfcx {\ displaystyle \ mathrm {erfcx} }$ ${\ displaystyle \ mathrm {erfcx}}$ , масштабированная дополнительная функция ошибок (которую можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметического переполнения ). Известна другая форма $erfc ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x)}$ для неотрицательного $x {\ displaystyle x}$ $x$ как формула Крейга после ее первооткрывателя:

erfc ⁡ (x ∣ x ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 exp ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ) d θ. {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x \ mid x \ geq 0) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \, d \ theta.}

{\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x \ mid x \ geq 0) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right) \, d \ theta.}

Это выражение действительно только для положительных значений x, но его можно использовать вместе с erfc (x) = 2 - erfc (−x), чтобы получить erfc (x) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для $erfc {\ displaystyle \ mathrm {erfc}}$ $\ mathrm {erfc}$ суммы двух неотрицательных чисел следующим образом:

erfc ⁡ (x + y ∣ x, y ≥ 0) = 2 π ∫ 0 π / 2 ехр ⁡ (- x 2 sin 2 ⁡ θ - y 2 cos 2 ⁡ θ) d θ. {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x + y \ mid x, y \ geq 0) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} - {\ frac {y ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ theta}} \ right) \, d \ theta.}

{\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x + y \ mid x, y \ geq 0) = {\ frac {2} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ exp \ left (- {\ frac {x ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta}} - {\ frac {y ^ {2}} {\ cos ^ {2} \ theta}} \ right) \, d \ theta.}

Функция мнимой ошибки

мнимой ошибки, обозначаемая erfi, обозначает ошибки как

erfi ⁡ (x) = - i erf ⁡ (ix) Знак равно 2 π ∫ 0 xet 2 dt знак равно 2 π ex 2 D (x), {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfi} (x) = - i \ operatorname {erf} (ix) \\ [ 5pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} \, dt \\ [5pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erfi} (x) = - i \ operatorname {erf} (ix) \\ [5pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2 }} \, dt \\ [5pt] = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), \ end {align}}}

где D (x) - функция Доусона (который можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ).

Несмотря на название «функция мнимой ошибки», $erfi ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfi} (x)}$ $\ operatorname {erfi} (x)$ реально, когда x действительно.

Функция Когда ошибки оценивается для произвольных сложных аргументов z, результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

w (z) = e - z 2 erfc ⁡ (- iz) = erfcx ⁡ (- iz). {\ displaystyle w (z) = e ^ {- z ^ {2}} \ operatorname {erfc} (-iz) = \ operatorname {erfcx} (-iz).}

вес (z) = e ^ {- z ^ {2}} \ operatorname {erfc} (-iz) = \ operatorname {erfcx} (-iz).

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок по существующей стандартной стандартной функции нормального кумулятивного распределения, обозначаемой нормой (x) в некоторых языках программного обеспечения, поскольку они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,

Φ (x) = 1 2 π ∫ - ∞ xe - t 2 2 dt = 1 2 [1 + erf ⁡ (x 2)] = 1 2 erfc ⁡ (- x 2) {\ displaystyle \ Phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x} e ^ {\ tfrac {-t ^ {2}} {2}} \, dt = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right) \ right] = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left (- {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right)}

{\ displaystyle \ Phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {x } e ^ {\ tfrac {-t ^ {2}} {2}} \, dt = {\ frac {1} {2}} \ left [1+ \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x } {\ sqrt {2}}} \ right) \ right] = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left (- {\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ справа)}

или переставлен для erf и erfc:

erf ⁡ ( x) = 2 Φ (x 2) - 1 erfc ⁡ (x) = 2 Φ (- x 2) = 2 (1 - Φ (x 2)). {\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} (x) = 2 \ Phi \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) -1 \\\ operatorname {erfc} (x) = 2 \ Phi \ left (-x {\ sqrt {2}} \ right) = 2 \ left (1- \ Phi \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) \ right). \ End {выравнивается} }}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {erf} (x) = 2 \ Phi \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) -1 \\\ имя оператора {erfc} (x) = 2 \ Phi \ left (-x {\ sqrt {2}} \ right) = 2 \ left (1- \ Phi \ left (x {\ sqrt {2}} \ right) \ right). \ End {align}}}

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией, которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

Q (x) = 1 2 - 1 2 erf ⁡ (x 2) = 1 2 erfc ⁡ (x 2). {\ displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}) } \ right) = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right).}

{\ displaystyle Q (x) = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right) = {\ frac {1 } {2}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {2}}} \ right).}

Обратное значение из $Φ {\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ известен как функция нормальной квантиля или функция пробит и может быть выражена в терминах обратная функция ошибок как

пробит ⁡ (p) = Φ - 1 (p) = 2 erf - 1 ⁡ (2 p - 1) = - 2 erfc - 1 ⁡ (2 p). {\ displaystyle \ operatorname {probit} (p) = \ Phi ^ {- 1} (p) = {\ sqrt {2}} \ operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = - {\ sqrt {2}} \ operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}

{\ displaystyle \ operatorname {probit} (p) = \ Phi ^ {- 1} (p) = {\ sqrt {2}} \ operatorname {erf} ^ {-1 } (2p-1) = - {\ sqrt {2}} \ operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятности и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибки является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и может также быть выражена как сливающаяся гипергеометрическая функция (функция Куммера):

erf ⁡ (х) знак равно 2 х π M (1 2, 3 2, - х 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2x} {\ sqrt {\ pi}}} M \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {2 }}, - x ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle \ operatorname {erf } (x) = {\ frac {2x} {\ sqrt {\ pi}}} M \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, - x ^ { 2} \ right).}

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля.

В терминах регуляризованной гамма-функции P и неполная гамма-функция,

erf ⁡ (x) = sgn ⁡ (x) P (1 2, x 2) = sgn ⁡ (x) π γ (1 2, x 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = \ operatorname {sgn} (x) P \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right) = {\ frac {\ operatorname {sgn} (x)} {\ sqrt {\ pi}}} \ gamma \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = \ operatorname {sgn} (x) P \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right) = {\ frac {\ operatorname {sgn} (x)} {\ sqrt {\ pi}}} \ gamma \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right).}

$sgn ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}$ $\ operatorname {sgn} (x)$ - знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E n (x):. серая кривая: E 1 (x) = (1 - e) /

π {\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {\ pi}}}

\ scriptstyle {\ sqrt {\ pi}}

. красная кривая: E 2 (x) = erf (x). зеленая кривая: E 3 (x). синяя кривая: E 4 (x). золотая кривая: E 5 (x).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

E n (x) = n! π ∫ 0 Икс е - Т N д т знак равно N! π ∑ п знак равно 0 ∞ (- 1) п Икс N п + 1 (N п + 1) п!. {\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} \, dt = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {p} {\ frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}

{\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} \, dt = {\ frac {n!} {\ sqrt {\ pi }}} \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {p} {\ frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}.}.}.}.}

Примечательные случаи:

E0(x) - прямая линия, проходящая через начало координат: $E 0 (x) = xe π {\ displaystyle \ textstyle E_ {0} (x) = {\ dfrac {x} {e {\ sqrt {\ pi}}}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle E_ {0} (x) = {\ dfrac {x} {e {\ sqrt {\ pi}}}}}$
E2(x) - функция, erf (x) ошибки.

После деления на n!, все E n для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга. Аналогично, E n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг другу после простого деления на n!. Все обобщенные функции ошибок для n>0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x>0 с помощью гамма-функции и неполной гамма-функции :

E n (x) = 1 π Γ (n) (Γ (1 n) - Γ (1 n, xn)), x>0. {\ displaystyle E_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ Gamma (n) \ left (\ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) - \ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}}, x ^ {n} \ right) \ right), \ quad \ quad x>0.}

E_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right),\quad \quad x>0.

Следовательно, мы можем определить ошибку функция в терминах неполной гамма-функции:

erf ⁡ (x) = 1 - 1 π Γ (1 2, x 2). {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = 1 - {\ frac {1} { \ sqrt {\ pi}}} \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = 1 - {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}}, x ^ {2} \ right).}

Итерированные интегралы дополнительных функций

Повторные интегралы дополнительные функции ошибок определения как

inerfc ⁡ (z) = ∫ z ∞ in - 1 erfc ⁡ (ζ) d ζ i 0 erfc ⁡ (z) = erfc ⁡ (z) i 1 erfc ⁡ (z) = ierfc ⁡ (z) знак равно 1 π е - z 2 - z erfc ⁡ (z) я 2 erfc ⁡ (z) = 1 4 [erfc ⁡ (z) - 2 z ierfc ⁡ (z)] {\ displaystyle {\ begin {align } \ operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = \ int _ {z} ^ {\ infty} \ operatorname {i ^ {n-1} erfc} (\ zeta) \, d \ zeta \\\ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = \ operatorname {erfc} (z) \\\ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = \ operat orname {ierfc} (z) = {\ frac { 1} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z \ operatorname {erfc} (z) \\\ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = {\ frac {1} {4}} \ left [\ operatorname {erfc} (z) -2z \ operatorname {ierfc} (z) \ right] \\\ end {выровнено}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname { i ^ {n} erfc} (z) = \ int _ {z} ^ {\ infty} \ operatorname {i ^ {n-1} erfc} (\ zeta) \, d \ zeta \\\ имя оператора {i ^ {0} erfc} (z) = \ operatorname {erfc} (z) \\\ operatorname {i ^ {1} erfc} (z) = \ operatorname {ierfc} (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z \ operatorname {erfc} (z) \\\ operatorname {i ^ {2} erfc} (z) = {\ frac { 1} {4}} \ left [\ operatorname {erfc} (z) -2z \ operatorname {ierfc} (z) \ right] \\\ конец {выровнено}}}

Общая рекуррентная формула:

2 ninerfc ⁡ (z) = in - 2 erfc ⁡ (z) - 2 цинк - 1 erfc ⁡ (z) {\ displaystyle 2n \ operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = \ operatorname {i ^ { n-2} erfc} (z) -2z \ operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z)}

{\ displaystyle 2n \ operatorname {я ^ {n} erfc} (z) = \ operatorname {i ^ {n-2} erfc} (z) -2z \ operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z) }

У них есть степенной ряд

в erfc ⁡ (z) = ∑ j = 0 ∞ (- Z) J 2 N - JJ! Γ (1 + N - J 2), {\ displaystyle i ^ {n} \ operatorname {erfc} (z) = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ { j}} {2 ^ {nj} j! \ Gamma \ left (1 + {\ frac {nj} {2}} \ right)}},}

{\ displaystyle i ^ {n} \ operatorname {erfc} (z) = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j! \ Gamma \ left (1 + {\ frac {nj} {2}} \ right)}},}

из следуют свойства симметрии

i 2 m ERFC ⁡ (- Z) знак равно - я 2 m ERFC ⁡ (Z) + ∑ Q знак равно 0 мZ 2 д 2 2 (м - д) - 1 (2 д)! (м - д)! {\ displaystyle i ^ {2m} \ operatorname {erfc} (-z) = - i ^ {2m} \ operatorname {erfc} (z) + \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (Mq)!}}}

{\ displaystyle i ^ {2m} \ OperatorName {erfc} (-z) = - i ^ {2m} \ operatorname {erfc} (z) + \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ frac {z ^ {2q}} {2 ^ { 2 (кв.) - 1} (2 кв.)! (Mq)!}}}

i 2 m + 1 erfc ⁡ (- z) = i 2 m + 1 erfc ⁡ (г) + ∑ ä знак равно 0 ìZ 2 ä + 1 2 2 ( м - д) - 1 (2 д + 1)! (м - д)!. {\ displaystyle i ^ {2m + 1} \ operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} \ operatorname {erfc} (z) + \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ гидроразрыва {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}

{\ displaystyle i ^ {2m + 1} \ operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} \ operatorname {erfc} (z) + \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ frac {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}

Реализации

Как действительная функция вещественного аргумента

В операционных системах, совместимых с Posix, заголовок math.h должен являть, а математическая библиотека libm должна быть функция erf и erfc (двойная точность ), а также их одинарная точность и расширенная точность аналоги erff, erfl и erfc, erfcl.
Библиотека GNU Scientific предоставляет функции erf, erfc, log (erf) и масштабируемые функции ошибок.

Как сложная функция комплексного аргумента

libcerf, числовая библиотека C для сложных функций, предоставляет комплексные функции cerf, cerfc, cerfcx и реальные функции erfi, erfcx с точностью 13–14 цифр на основе функции Фаддеева, реализованной в пакете MIT Faddeeva Package

См. также

Связанные ции

интеграл Гаусса, по всей действительной прямой
функция Гаусса, производная
функция Доусона, перенормированная функция мнимой ошибки
интеграл Гудвина - Стона

по вероятности

Нормальное распределение
Нормальная кумулятивная функция распределения, масштабированная и сдвинутая форма функций ошибок
Пробит, обратная или квантильная функция нормального CDF
Q-функция, вероятность хвоста нормального распределения

Ссылки

Дополнительная литература

Abramowitz, Milton ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графики и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
Press, William H.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок », Числовые рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521- 88068-8
Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Лозье, Даниэль М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248