Двойной смежный класс

редактировать

В теории групп, поле математики, двойное coset - это набор элементов группы, которые эквивалентны симметриям, исходящим от двух подгрупп. Более точно, пусть G - это группа, а H и K - подгруппы. Пусть H действует на G умножением слева, а K действует на G умножением справа. Для каждого x из G (H, K) -двойной смежный класс x - это множество

H x K = {h x k: h ∈ H, k ∈ K}. {\ displaystyle HxK = \ {hxk \ двоеточие h \ in H, k \ in K \}.}

{\ displaystyle HxK = \ {hxk \ двоеточие h \ in H, k \ in K \}.}

Когда H = K, это называется H-двойным смежным классом x . Эквивалентно, HxK является классом эквивалентности x при отношении эквивалентности

x ~ y тогда и только тогда, когда существуют h в H и k в K такие, что hxk = y.

Множество всех двойных смежных классов обозначается

H ∖ G / K. {\ displaystyle H \ backslash G / K.}

H \ обратная косая черта G / K.

Содержание

1 Свойства
2 Примеры
3 Продукты в свободной абелевой группе на множестве двойных смежных классов
4 Приложения
5 Ссылки

Свойства

Предположим, что G - это группа с подгруппами H и K, действующими посредством умножения слева и справа соответственно. (H, K) -двойные смежные классы группы G могут быть эквивалентно описаны как орбиты для группы продуктов H × K, действующей на G посредством (h, k) ⋅x = hxk. Многие из основных свойств двойных смежных классов непосредственно вытекают из того факта, что они являются орбитами. Однако, поскольку G - группа, а H и K - подгруппы, действующие путем умножения, двойные смежные классы более структурированы, чем орбиты произвольных групповых действий, и у них есть дополнительные свойства, которые ложны для более общих действий.

Два двойных смежных класса HxK и HyK либо не пересекаются, либо идентичны.
G - непересекающееся объединение своих двойных смежных классов.
Между двумя двойными классами существует взаимно однозначное соответствие. пространства смежных классов H \ G / K и K \ G / H, заданные отождествлением HxK с KxH.
Если H = {1}, то H \ G / K = G / K. Если K = {1}, то H \ G / K = H \ G.
Двойной смежный класс HxK - это объединение правых смежных классов H и левых смежных классов K, в частности,
$H x K = ⋃ k ∈ KH xk = H xk ∈ H ∖ H x KH xk, H x K = ⋃ h ∈ H hx K = ∐ hx K ∈ H x K / K hx K. {\ displaystyle {\ begin {align} HxK = \ bigcup _ {k \ in K} Hxk = \ coprod _ {Hxk \ in H \ backslash HxK} Hxk, \\ HxK = \ bigcup _ {h \ in H} hxK = \ coprod _ {hxK \ in HxK / K} hxK. \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} HxK = \ bigcup _ {k \ in K} Hxk = \ coprod _ {Hxk \ in H \ backslash HxK} Hxk, \\ HxK = \ bigcup _ {h \ in H} hxK = \ coprod _ {hxK \ in HxK / K} hxK. \ end {align}}}$
Множество (H, K) -двойных смежных классов находится в биекции с орбитами H \ (G / K), и также с орбитами (H \ G) / K при отображениях $H g K → H (g K) {\ displaystyle HgK \ to H (gK)}$ ${\ displaystyle HgK \ to H (gK)}$ и $H g K → (H g) K {\ displaystyle HgK \ to (Hg) K}$ ${\ displaystyle HgK \ to (Hg) K}$ соответственно.
Если H нормальный, то H \ G - группа, и правое действие K на эту группу факторов через правильное действие H \ HK. Отсюда следует, что H \ G / K = HK \ G. Аналогично, если K нормальный, то H \ G / K = G / HK.
Если H нормальная подгруппа группы G, то H- двойные смежные классы находятся во взаимно однозначном соответствии с левыми (и правыми) H-смежными классами.
Рассмотрим HxK как объединение K-орбиты правых H-смежных классов. Стабилизатором правого H-смежного класса Hxk ∈ H \ HxK относительно правого действия K является K ∩ (xk) Hxk. Аналогично, стабилизатор левого K-смежного класса hxK ∈ HxK / K относительно левого действия H равен H ∩ hxK (hx).
Отсюда следует, что количество правых смежных классов H, содержащихся в HxK - это индекс [K: K ∩ xHx], а количество левых смежных классов K, содержащихся в HxK, - это индекс [H: H ∩ xKx]. Поэтому
$| H x K | = [H: H ∩ x K x - 1] | K | = | H | [K: K ∩ x - 1 H x], [G: H] = ∑ H x K ∈ H ∖ G / K [K: K ∩ x - 1 H x], [G: K] = ∑ H x K ∈ H ∖ G / K [H: H ∩ x K x - 1]. {\ displaystyle {\ begin {align} | HxK | = [H: H \ cap xKx ^ {- 1}] | K | = | H | [K: K \ cap x ^ {- 1} Hx], \ \\ left [G: H \ right] = \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} [K: K \ cap x ^ {- 1} Hx], \\\ left [G: K \ right] = \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} [H: H \ cap xKx ^ {- 1}]. \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} | HxK | = [H: H \ cap xKx ^ {- 1}] | K | = | H | [K: K \ cap x ^ {- 1} Hx], \\\ left [G: H \ right] = \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} [K: K \ cap x ^ {- 1} Hx], \\\ left [G: K \ right] = \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} [H: H \ cap xKx ^ {- 1 }]. \ end {align}}}$
Если G, H и K равны конечно, то также следует, что
$| H x K | = | H | | K | | H ∩ x K x - 1 | = | H | | K | | K ∩ x - 1 H x |, [G: H] = ∑ H x K ∈ H ∖ G / K | K | | K ∩ x - 1 H x |, [G: K] = ∑ H x K ∈ H ∖ G / K | H | | H ∩ x K x - 1 |. {\ displaystyle {\ begin {align} | HxK | = {\ frac {| H || K |} {| H \ cap xKx ^ {- 1} |}} = {\ frac {| H || K | } {| K \ cap x ^ {- 1} Hx |}}, \\\ left [G: H \ right] = \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} {\ frac {| K |} {| K \ cap x ^ {- 1} Hx |}}, \\\ left [G: K \ right] = \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} {\ frac {| H |} {| H \ cap xKx ^ {- 1} |}}. \ End {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {выровнено} | HxK | = {\ frac {| H || K |} {| H \ cap xKx ^ {- 1} |}} = {\ frac {| H || K |} {| K \ cap x ^ {- 1} Hx |}}, \\\ left [G: H \ right] = \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} {\ frac {| K |} {| K \ cap x ^ {- 1} Hx |}}, \\\ left [G: K \ right] = \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} {\ frac {| H |} {| H \ cap xKx ^ {- 1} |}}. \ end {align}}}$
Зафиксируем x ∈ G, и пусть (H × K) x обозначает двойное стабилизатор {(h, k): hxk = x}. Тогда двойной стабилизатор является подгруппой в H × K.
Поскольку G - группа, для каждого h ∈ H существует ровно один g ∈ G такой, что hxg = x, а именно g = xhx; однако g может не быть в K. Аналогично, для каждого k ∈ K существует ровно один g ′ ∈ G такой, что g′xk = x, но g ′ может не быть в H. Следовательно, двойной стабилизатор имеет описания
$(H × K) x = {(h, x - 1 h - 1 x): h ∈ H} ∩ H × K = {(xk - 1 x - 1, k): k ∈ K} ∩ H × K. {\ displaystyle (H \ times K) _ {x} = \ {(h, x ^ {- 1} h ^ {- 1} x) \ двоеточие h \ in H \} \ cap H \ times K = \ { (xk ^ {- 1} x ^ {- 1}, k) \ двоеточие k \ in K \} \ cap H \ times K.}$ ${\ displaystyle (H \ times K) _ {x} = \ {(h, x ^ {- 1} h ^ {- 1} x) \ двоеточие h \ in H \} \ cap H \ times K = \ {(xk ^ {- 1} x ^ {- 1}, k) \ двоеточие k \ in K \} \ cap H \ times K.}$
() Между HxK и (H × K) / (H × K) x, при котором hxk соответствует (h, k) (H × K) x. Отсюда следует, что если G, H и K конечны, то
$| H x K | = [H × K: (H × K) x] = | H × K | / | (H × K) x |. {\ displaystyle | HxK | = [H \ times K: (H \ times K) _ {x}] = | H \ times K | / | (H \ times K) _ {x} |.}$ ${\ displaystyle | HxK | = [H \ times K: (H \ times K) _ {x}] = | H \ times K | / | (H \ times K) _ {x} |.}$
(Коши –Лемма Фробениуса ) Обозначим через G элементы, фиксированные действием (h, k). Тогда
$| H ∖ G / K | = 1 | H | | K | ∑ (h, k) ∈ H × K | G (h, k) |. {\ displaystyle | H \ обратная косая черта G / K | = {\ frac {1} {| H || K |}} \ sum _ {(h, k) \ in H \ times K} | G ^ {(h, k)} |.}$ ${\ displaystyle | H \ backslash G / K | = {\ frac {1} {| H || K |}} \ sum _ {(h, k) \ in H \ times K} | G ^ {(h, k)} |.}$
В частности, если G, H и K конечны, то количество двойных смежных классов равно среднему количеству точек, зафиксированных на пару элементов группы.

Существует эквивалентное описание для двойные классы смежности в терминах одиночных классов. Пусть H и K действуют правым умножением на G. Тогда G действует левым умножением на произведении пространств смежных классов G / H × G / K. Орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с H \ G / K. Это соответствие отождествляет (xH, yK) с двойным смежным классом HxyK. Вкратце, это потому, что каждая G-орбита допускает представителей вида (H, xK), а представитель x определяется только с точностью до умножения слева на элемент H. Аналогично G действует умножением справа на H \ G × K \ G, и орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с двойными смежными классами H \ G / K. Концептуально это отождествляет пространство двойных смежных классов H \ G / K с пространством относительных конфигураций H- смежный класс и K-смежный класс. Кроме того, эта конструкция обобщается на случай любого числа подгрупп. Для подгрупп H 1,..., H n пространство (H1,..., H n) -множественных наборов равно множество G-орбит G / H 1 ×... × G / H n.

Аналог теоремы Лагранжа для двойных смежных классов неверен. Это означает, что размер двойного смежного класса не обязательно должен делить порядок G. Например, пусть G = S 3 будет симметричной группой из трех букв, и пусть H и K будут циклическими подгруппами, порожденными транспозиции (1 2) и (1 3) соответственно. Если e обозначает тождественную перестановку, то

H e K = H K = {e, (12), (13), (132)}. {\ displaystyle HeK = HK = \ {e, (12), (13), (132) \}.}

{\ displaystyle HeK = HK = \ {e, (12), (13), (132) \}. }

Он состоит из четырех элементов, четыре не делят шесть, порядок S 3. Также неверно, что разные двойные смежные классы имеют одинаковый размер. Продолжая тот же пример,

H (23) K = {(23), (123)}, {\ displaystyle H (23) K = \ {(23), (123) \},}

{\ displaystyle H (23) K = \ {(23), (123) \},}

который имеет два элемента, а не четыре.

Однако предположим, что H нормальный. Как отмечалось ранее, в этом случае двойное пространство смежности равно правому пространству смежных классов HK \ G. Аналогично, если K является нормальным, то H \ G / K является левым пространством смежных классов G / HK. Из стандартных результатов о левых и правых смежных пространствах вытекают следующие факты.

| HxK | = | HK | для всех x ∈ G. То есть все двойные классы смежности имеют одинаковую мощность.
Если G конечно, то | G | = | HK | ⋅ | H \ G / K |. В частности, | HK | и | H \ G / K | div | G |.

Примеры

Пусть G = S n - симметрическая группа, рассматриваемая как перестановки множества {1,..., n}. Рассмотрим подгруппу H = S n - 1, которая стабилизирует n. Тогда S n - 1 \ S n / S n - 1 состоит из двух двойных смежных классов. Один из них - H = S n - 1. Если γ - перестановка, которая не фиксирует n, то другой смежный класс представлен как S n - 1 γ S n - 1.
Пусть G будет группой GL n(R), и пусть B - подгруппа верхнетреугольных матриц. Двойное пространство смежных классов B \ G / B - это разложение Брюа группы G. Каждый двойной смежный класс имеет репрезентативный BwB, где w - матрица перестановок. Например, если n = 2, то
$B ∖ GL 2 ⁡ (R) / B = {B (1 0 0 1) B, B (0 1 1 0) B}. {\ displaystyle B \ backslash \ operatorname {GL} _ {2} (\ mathbf {R}) / B = \ left \ {B {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}} B, B { \ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}} B \ right \}.}$ ${\ displaystyle B \ backslash \ operatorname {GL} _ {2} ( \ mathbf {R}) / B = \ left \ {B {\ begin {pmatrix} 1 0 \\ 0 1 \ end {pmatrix}} B, B {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}} B \ right \}.}$

Произведения в свободной абелевой группе на множестве двойных смежных классов

Предположим, что G - группа и что H, K и L - подгруппы. При определенных условиях конечности существует произведение на свободной абелевой группе, порожденное (H, K) - и (K, L) -двойными смежными классами, со значениями в свободной абелевой группе, порожденной (H, L) -двойными смежными классами. Это означает, что существует билинейная функция

Z [H ∖ G / K] × Z [K ∖ G / L] → Z [H ∖ G / L]. {\ displaystyle \ mathbf {Z} [H \ backslash G / K] \ times \ mathbf {Z} [K \ backslash G / L] \ to \ mathbf {Z} [H \ backslash G / L].}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} [H \ обратная косая черта G / K] \ times \ mathbf {Z} [K \ backslash G / L] \ to \ mathbf {Z} [H \ обратная косая черта G / L].}

Предположим для простоты, что G конечна. Чтобы определить произведение, переинтерпретируйте эти свободные абелевы группы в терминах групповой алгебры группы G следующим образом. Каждый элемент Z [H \ G / K] имеет вид

∑ H x K ∈ H ∖ G / K f H x K ⋅ [H x K], {\ displaystyle \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} f_ {HxK} \ cdot [HxK],}

{\ displaystyle \ sum _ {HxK \ in H \ backslash G / K} f_ {HxK} \ cdot [HxK],}

где {f HxK } - это набор целых чисел, индексированных элементами H \ G / K. Этот элемент можно интерпретировать как функцию со значением Z на H \ G / K, в частности, HxK ↦ f HxK. Эту функцию можно вытянуть обратно по проекции G → H \ G / K, которая отправляет x двойному классу смежности HxK. В результате получается функция x ↦ f HxK. По способу построения этой функции она инвариантна слева относительно H и инвариантна справа относительно K. Соответствующий элемент групповой алгебры Z [G] равен

∑ x ∈ G f H x K ⋅ [x], {\ displaystyle \ sum _ {x \ in G} f_ {HxK} \ cdot [x],}

{\ displaystyle \ sum _ {x \ in G} f_ {HxK} \ cdot [x],}

и этот элемент инвариантен относительно умножения слева на H и умножения справа на K. Концептуально этот элемент получается заменой HxK элементами, которые он содержит, а конечность G гарантирует, что сумма все еще конечна. И наоборот, каждый элемент Z [G], который инвариантен слева относительно H и инвариантен справа относительно K, является обратным вызовом функции на Z [H \ G / K]. Параллельные утверждения верны для Z [K \ G / L] и Z [H \ G / L].

Когда элементы Z [H \ G / K], Z [K \ G / L] и Z [H \ G / L] интерпретируются как инвариантные элементы Z [G], тогда произведение, существование которого утверждалось выше, является в точности умножением в Z [G]. В самом деле, легко проверить, что произведение лево-H-инвариантного элемента и право-L-инвариантного элемента остается лево-H-инвариантным и право-L-инвариантным. Билинейность произведения немедленно следует из билинейности умножения в Z [G]. Отсюда также следует, что если M - четвертая подгруппа группы G, то произведение (H, K) -, (K, L) - и (L, M) -двойных смежных классов ассоциативно. Поскольку произведение в Z [G] соответствует свертке функций на G, это произведение иногда называют произведением свертки.

Важный частный случай - это когда H = K = L. В этом случае произведение представляет собой билинейную функцию

Z [H ∖ G / H] × Z [H ∖ G / H] → Z [H ∖ G / H]. {\ displaystyle \ mathbf {Z} [H \ backslash G / H] \ times \ mathbf {Z} [H \ backslash G / H] \ to \ mathbf {Z} [H \ backslash G / H].}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} [H \ backslash G / H] \ times \ mathbf {Z} [H \ backslash G / H] \ to \ mathbf {Z } [H \ обратная косая черта G / H].}

Это произведение превращает Z [H \ G / H] в ассоциативное кольцо, единичным элементом которого является класс тривиального двойного смежного класса [H]. В общем случае это кольцо некоммутативно. Например, если H = {1}, то кольцо является групповой алгеброй Z [G], а групповая алгебра является коммутативным кольцом тогда и только тогда, когда основная группа абелева.

Если H нормальный, так что H-двойные смежные классы совпадают с элементами фактор-группы G / H, то произведение на Z [H \ G / H] есть произведение в групповой алгебре Z [G / H]. В частности, это обычная свертка функций на G / H. В этом случае кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда G / H абелева, или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда H содержит коммутатор подгруппы of G.

Если H не является нормальным, то Z [H \ G / H] может быть коммутативным, даже если G неабелева. Классический пример - произведение двух операторов Гекке. Это произведение в алгебре Гекке, которая является коммутативной, хотя группа G является модулярной группой, которая неабелева, а подгруппа является арифметической подгруппой и, в частности, не содержит коммутаторной подгруппы. Коммутативность продукта свертки тесно связана с парами Гельфанда.

. Когда группа G является топологической группой, можно ослабить предположение, что число левых и правых смежных классов в каждом двойном смежном классе конечно. Групповая алгебра Z [G] заменяется алгеброй функций, таких как L (G) или C (G), а суммы заменяются интегралами. Изделие по-прежнему соответствует свертке. Например, это происходит для алгебры Гекке локально компактной группы.

Applications

Когда группа $G {\ displaystyle G}$ $G$ имеет переходное групповое действие на множестве $S {\ displaystyle S}$ $S$ , вычисление определенных двойных разложений смежных классов $G {\ displaystyle G}$ $G$ показывает дополнительную информацию о структура действия $G {\ displaystyle G}$ $G$ на $S {\ displaystyle S}$ $S$ . В частности, если $H {\ displaystyle H}$ $H$ является подгруппой стабилизатора некоторого элемента $s ∈ S {\ displaystyle s \ in S}$ ${\ displaystyle s \ in S}$ , то $G {\ displaystyle G}$ $G$ разлагается как ровно два двойных смежных класса $(H, H) {\ displaystyle (H, H)}$ ${\ displaystyle (H, H)}$ тогда и только тогда, когда $G {\ displaystyle G}$ $G$ действует транзитивно на множестве различных пар $S {\ displaystyle S}$ $S$ . См. 2-транзитивные группы для получения дополнительной информации об этом действии.

Двойные смежные классы важны в связи с теорией представлений, когда представление H используется для построения индуцированного представления группы G, которое затем ограничено От до K. Соответствующая двойная структура смежного класса несет информацию о том, как разлагается полученное представление. В случае конечных групп это так.

Они также важны в функциональном анализе, где в некоторых важных случаях функции левоинвариантные и правоинвариантные по подгруппе K могут образовывать коммутативное кольцо при свертка : см. пару Гельфанда.

В геометрии форма Клиффорда – Клейна является двойным смежным пространством Γ \ G / H, где G - редуктивная Ли группа, H - замкнутая подгруппа, а Γ - дискретная подгруппа (группы G), которая действует правильно разрывно на однородном пространстве G / H.

В теории чисел алгебра Гекке, соответствующая подгруппе конгруэнции Γ из модульной группы, охватывает элементы двойного смежного класса $Γ ∖ GL 2 + (Q) / Γ {\ displaystyle \ Gamma \ backslash \ mathrm {GL} _ {2} ^ {+} (\ mathbb {Q}) / \ Gamma}$ $\ Gamma \ backslash {\ mathrm {GL}} _ {2} ^ {+} ({\ mathbb {Q}}) / \ Gamma$ ; структура алгебры получена в результате умножения двойных смежных классов, описанных выше. Особое значение имеют операторы Гекке $T m {\ displaystyle T_ {m}}$ $T_{m}$ , соответствующие двойным смежным классам $Γ 0 (N) g Γ 0 (N) {\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N) g \ Gamma _ {0} (N)}$ $\ Gamma _ {0} (N) g \ Gamma _ {0} (N)$ или $Γ 1 (N) g Γ 1 (N) {\ displaystyle \ Gamma _ {1} (N) g \ Gamma _ {1} (N)}$ $\ Gamma _ {1} (N) g \ Gamma _ {1} (N)$ , где $g = (1 0 0 m) {\ displaystyle g = \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 0 \\ 0 m \ end {smallmatrix}} \ right)}$ $g = \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 0 \\ 0 m \ end {smallmatrix}} \ right)$ (они имеют разные свойства в зависимости от того, являются ли m и N взаимно простыми или нет), и операторы ромба $⟨d⟩ {\ displaystyle \ langle d \ rangle }$ $\ langle d \ rangle$ задано двойными смежными классами $Γ 1 (N) (abcd) Γ 1 (N) {\ displaystyle \ Gamma _ {1} (N) \ left ({\ begin {smallmatrix} a b \\ c d \ end {smallmatrix}} \ right) \ Gamma _ {1} (N)}$ $\ Gamma _ { 1} (N) \ left ({\ begin {smallmatrix} a b \\ c d \ end {smallmatrix}} \ right) \ Gamma _ {1} (N)$ где $d ∈ (Z / NZ) × {\ displaystyle d \ in (\ mathbb { Z} / N \ mathbb {Z}) ^ {\ times}}$ $d \ in ({\ mathbb {Z}} / N {\ mathbb {Z}}) ^ {\ times}$ и нам требуется $(abcd) ∈ Γ 0 (N) {\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} a b \\ c d \ end {smallmatrix}} \ right) \ in \ Gamma _ {0} (N)}$ $\ left ({\ begin {smallmatrix} a b \\ c d \ end {smallmatrix}} \ right) \ in \ Gamma _ {0} (N)$ (выбор of a, b, c не влияет на ответ).

Ссылки