Форма Дирихле

редактировать

В разделе математики, известном как теория потенциала (и в функциональный анализ ), форма Дирихле является обобщением лапласиана, который может быть определен на каждом пространстве мер, без необходимости упоминания частных производных. Это позволяет математикам изучать уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности на пространствах, которые не являются многообразиями : например, фракталы. Преимущество этих пространств состоит в том, что это можно сделать без использования оператора градиента, и, в частности, можно даже слабо определить «лапласиан» таким образом, если исходить из формы Дирихле. Классическая форма Дирихле на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ задается следующим образом:

E (u, v) = ∫ R n ∇ u (x) ⋅ ∇ v (x) dx {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u, v) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ nabla u (x) \ cdot \ nabla v ( x) \; dx}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u, v) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ nabla u (x) \ cdot \ nabla v (x) \; dx}

где часто обсуждают $E (u): = E (u, u) = ‖ ∇ u ‖ 2 2 {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u): = {\ mathcal {E}} (u, u) = \ | \ nabla u \ | _ {2} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u): = {\ mathcal {E}} (u, u) = \ | \ nabla u \ | _ {2} ^ {2 }}$ , которую часто называют «энергией» функции $и (Икс) {\ Displaystyle и (х)}$ $u (x)$ . Функции, которые минимизируют энергию при определенных граничных условиях, называются гармоническими, и связанный с ними лапласиан (слабый или нет) будет равен нулю внутри, как и ожидалось. В качестве альтернативного примера стандартная форма графа Дирихле задается следующим образом:

EG (u, v) = ∑ x ∼ y ((u (x) - u (y)) (v (x) - v (y)) {\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {G} (u, v) = \ sum _ {x \ sim y} ((u (x) -u (y)) (v (x) -v ( y))}

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {G} (u, v) = \ sum _ {x \ sim y} ((u (x) -u (y)) (v (x) -v (y))}

где $x ∼ y {\ displaystyle x \ sim y}$ $x \ sim y$ означает, что они соединены ребром. Пусть выбрано подмножество набора вершин и назовем его граница графа. Назначить граничное условие Дирихле (выбрать действительные числа для каждой граничной вершины). Можно найти функцию, которая минимизирует энергию графа, и она будет гармонической. В частности, она будет удовлетворять свойству усреднения, которое реализовано по лапласиану графа, то есть если $u G (x) {\ displaystyle u_ {G} (x)}$ ${\ displaystyle u_ {G} (x)}$ является гармоническим графом, то $Δ G u G (x) = ∑ Y ∼ Икс (U G (Y) - U G (x)) = 0 {\ displaystyle \ Delta _ {G} u_ {G} (x) = \ sum _ {y \ sim x} (u_ {G} (y) -u_ {G} (x)) = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {G} u_ { G} (x) = \ сумма _ {y \ sim x} (u_ {G} (y) -u_ {G} (x)) = 0}$ который, конечно, может быть преобразован в $u G (x) = 1 | {y: y ∼ x} | ∑ y ∼ Сюй Г (Y) {\ Displaystyle и_ { G} (x) = {\ frac {1} {| \ {y: y \ sim x \} |}} \ sum _ {y \ sim x} u_ {G} (y)}$ ${\ displaystyle u_ {G} (x) = {\ frac {1} {| \ {y: y \ sim x \} |}} \ sum _ {y \ sim x} u_ {G} (y)}$ показывающее свойство усреднения.

Технически форма Дирихле является марковской закрытой симметричной формой на L-пространстве. Подобные объекты изучаются в рамках классического принципа Дирихле. Теория форм Дирихле возникла в работах Бёрлинга и Дени (1958, 1959) по пространствам Дирихле.

Форма Дирихле на пространстве измерений $(X, μ) {\ displaystyle (X, \ mu)}$ $(X, \ mu)$ является билинейной функцией

E: D × D → R {\ displaystyle {\ mathcal {E}}: D \ times D \ to \ mathbb {R}}

{\ mathcal { E}}: D \ times D \ to {\ mathbb {R}}

так, что

1) $D {\ displaystyle D}$ $D$ - это плотное подмножество $L 2 (X, μ) {\ displaystyle L ^ {2} (X, \ mu)}$ $L ^ {2} (X, \ mu)$

2) $E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ симметрично, то есть $E (u, v) = E (v, u) {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u, v) = {\ mathcal {E}} (v, u)}$ ${\ mathcal {E}} (u, v) = {\ mathcal {E}} (v, u)$ для каждого $u, v ∈ D {\ displaystyle u, v \ in D}$ $u, v \ in D$ .

3) $E ( u, u) ≥ 0 {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u, u) \ geq 0}$ ${\ mathcal {E}} (u, u) \ geq 0$ для каждого $u ∈ D {\ displaystyle u \ in D}$ $u \ in D$ .

4) Набор $D {\ displaystyle D}$ $D$ , снабженный внутренним продуктом, определяемым как $(u, v) E: = (u, v) L 2 (X, μ) + E (u, v) {\ displaystyle (u, v) _ {\ mathcal {E}}: = (u, v) _ {L ^ {2} (X, \ mu)} + {\ mathcal {E} } (u, v)}$ $( u, v) _ {{{\ mathcal {E}}}}: = (u, v) _ {{L ^ {2} (X, \ mu)}} + {\ mathcal {E}} (u, v)$ - реальное гильбертово пространство.

5) Для каждого $u ∈ D {\ displaystyle u \ in D}$ $u \ in D$ мы имеем, что $u ∗ = min (max (u, 0), 1) ∈ D {\ displaystyle u _ {*} = \ min (\ max (u, 0), 1) \ in D}$ $u _ {*} = \ min (\ max (u, 0), 1) \ in D$ и $E (u ∗, u ∗) ≤ E (u, u) {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u _ {*}, u _ {*}) \ leq {\ mathcal {E}} (u, u)}$ ${\ mathcal {E}} (u _ {*}, u _ {*}) \ leq {\ mathcal {E}} (u, u)$

Другими словами, форма Дирихле - это ничто но неотрицательная симметричная билинейная форма, определенная на плотном подмножестве $L 2 (X, μ) {\ displaystyle L ^ {2} (X, \ mu)}$ $L ^ {2} (X, \ mu)$ такая, что 4) и 5) держать. Кроме того, квадратичная форма $u → E (u, u) {\ displaystyle u \ to {\ mathcal {E}} (u, u)}$ $u \ to {\ mathcal {E}} (u, u)$ сама известна как форма Дирихле, и она по-прежнему обозначается $E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ mathcal {E}}$ , поэтому $E (u): = E (u, u) {\ displaystyle {\ mathcal {E }} (u): = {\ mathcal {E}} (u, u)}$ ${\ mathcal {E }} (u): = {\ mathcal {E}} (u, u)$ .

Самая известная форма Дирихле - это энергия Дирихле функций на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

E (u) = ∫ R n | ∇ u | 2 dx {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | \ nabla u | ^ {2} \; dx}

{\ mathcal {E}} (u) = \ int _ {{{\ mathbb {R}} ^ {n} }} | \ nabla u | ^ {2} \; dx

, что приводит к пространство Соболева $H 1 (R n) {\ displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $H ^ {1} ({\ mathbb {R}} ^ {n})$ . Другой пример формы Дирихле -

E (u) = ∬ R n × R n (u (y) - u (x)) 2 k (x, y) dxdy {\ displaystyle {\ mathcal {E }} (u) = \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n}} (u (y) -u (x)) ^ {2} k (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}

{\ displaystyle {\ mathcal {E} } (u) = \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n}} (u (y) -u (x)) ^ {2} k (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}

где $k: R n × R n → R {\ displaystyle k: \ mathbb {R} ^ {n} \ раз \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $k: {\ mathbb R} ^ {n} \ times {\ mathbb R} ^ {n} \ to {\ mathbb R}$ - некоторое неотрицательное симметричное интегральное ядро .

Если ядро $k {\ displaystyle k}$ $k$ удовлетворяет оценке $k (x, y) ≤ Λ | х - у | - n - s {\ displaystyle k (x, y) \ leq \ Lambda | xy | ^ {- ns}}$ $k (x, y) \ leq \ Lambda | xy | ^ {{- ns}}$ , тогда квадратичная форма ограничена в $H ˙ s / 2 {\ displaystyle {\ dot {H}} ^ {s / 2}}$ ${\ dot H} ^ {{s / 2}}$ . Если, кроме того, $λ | х - у | - n - s ≤ k (x, y) {\ displaystyle \ lambda | xy | ^ {- ns} \ leq k (x, y)}$ $\ lambda | xy | ^ {{- ns}} \ leq k (x, y)$ , то форма сравнима с нормой в $H ˙ s / 2 {\ displaystyle {\ dot {H}} ^ {s / 2}}$ ${\ dot H} ^ {{s / 2}}$ в квадрате, и в этом случае множество $D ⊂ L 2 (R n) {\ displaystyle D \ subset L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $D \ subset L ^ {2} ({\ mathbb {R}} ^ {n})$ , определенный выше, задается как $H s / 2 (R n) {\ displaystyle H ^ {s / 2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $H ^ {{s / 2}} ({\ mathbb {R}} ^ {n })$ . Таким образом, формы Дирихле являются естественным обобщением интегралов Дирихле

E (u) = ∫ (A ∇ u, ∇ u) dx, {\ displaystyle {\ mathcal {E}} (u) = \ int (A \ nabla u, \ nabla u) \; \ mathrm {d} x,}

{\ mathcal {E}} (u) = \ int (A \ nabla u, \ nabla u) \; {\ mathrm {d} } x,

где $A (x) {\ displaystyle A (x)}$ $A (x)$ - положительная симметричная матрица. Уравнение Эйлера-Лагранжа формы Дирихле является нелокальным аналогом эллиптического уравнения в дивергентной форме. Уравнения этого типа изучаются с использованием вариационных методов, и ожидается, что они будут удовлетворять аналогичным свойствам.

Ссылки

Beurling, Arne; Deny, J. (1958), «Espaces de Dirichlet. I. Le cas élémentaire», Acta Mathematica, 99(1): 203–224, doi : 10.1007 / BF02392426, ISSN 0001-5962, MR 0098924
Берлинг, Арне; Дени, Дж. (1959), «Пространства Дирихле», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 45(2): 208–215, Bibcode : 1959PNAS... 45..208B, doi : 10.1073 / pnas.45.2.208, ISSN 0027-8424, JSTOR 90170, MR 0106365, PMC 222537, PMID 16590372
Фукусима, Масатоши (1980), формы Дирихле и марковские процессы, Математическая библиотека Северной Голландии, 23, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85421 -6, MR 0569058
Йост, Юрген; Кендалл, Уилфрид; Моско, Умберто; Рёкнер, Михаэль; Штурм, Карл-Теодор (1998), Новые направления в формах Дирихле, Исследования AMS / IP в высшей математике, 8, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xiv + 277, ISBN 978-0-8218-1061-3, MR 1652277.
, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]