Ковариация и корреляция

редактировать

В теории вероятностей и статистике математические концепции ковариация и корреляция очень похожи. Оба описывают степень, в которой две случайные величины или наборы случайных величин имеют тенденцию сходным образом отклоняться от своих ожидаемых значений.

Если X и Y - две случайные величины, с означает (ожидаемые значения) μ X и μ Y и стандартные отклонения σ X и σ Y соответственно, то их ковариация и корреляция будут следующими:

ковариация	$cov XY = σ XY = E [(X - μ X) (Y - μ Y)] {\ displaystyle {\ text {cov}} _ {XY} = \ sigma _ {XY} = E [(X- \ mu _ {X}) \, (Y- \ mu _ {Y}) ]}$ ${\ displaystyle {\ text {cov}} _ {XY} = \ sigma _ {XY} = E [(X- \ mu _ {X}) \, (Y- \ mu _ {Y })]}$
корреляция	$корр XY = ρ XY = E [(X - μ X) (Y - μ Y)] / (σ X σ Y) {\ displaystyle {\ text {corr}} _ {XY } = \ rho _ {XY} = E [(X- \ mu _ {X}) \, (Y- \ mu _ {Y})] / (\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y})}$ ${\ displaystyle {\ текст {corr}} _ {XY} = \ rho _ {XY} = E [(X- \ mu _ {X}) \, (Y- \ mu _ {Y})] / (\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y})}$ ,

так, чтобы

ρ XY = σ XY / (σ X σ Y) {\ displaystyle \ rho _ {XY} = \ sigma _ {XY} / (\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y})}

{\ displaystyle \ rho _ {XY} = \ sigma _ {XY} / (\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y})}

где E - оператор ожидаемого значения. Примечательно, что корреляция безразмерная, тогда как ковариация выражается в единицах, полученных путем умножения единиц двух переменных.

Если Y всегда принимает те же значения, что и X, мы имеем ковариацию переменной с самой собой (например, $σ XX {\ displaystyle \ sigma _ {XX}}$ $\ sigma _ {XX}$ ), которая называется дисперсией и чаще обозначается как $σ X 2, {\ displaystyle \ sigma _ {X} ^ {2},}$ $\ sigma _ {X} ^ {2},$ квадрат стандартное отклонение. Корреляция переменной с самой собой всегда равна 1 (за исключением вырожденного случая, где две дисперсии равны нулю, потому что X всегда принимает одно и то же единственное значение, и в этом случае корреляция не существует, поскольку ее вычисление включают деление на 0 ). В более общем плане корреляция между двумя переменными равна 1 (или –1), если одна из них всегда принимает значение, которое точно задается линейной функцией другой с соответственно положительным (или отрицательным) наклон.

Хотя значения теоретических ковариаций и корреляций связаны указанным выше способом, распределения вероятностей выборочных оценок этих величин не связаны каким-либо простым способом, и их обычно необходимо рассматривать отдельно.

Несколько случайных величин

При любом количестве случайных величин, превышающем 1, переменные могут быть сложены в случайный вектор, элемент i которого является случайной величиной i. Затем дисперсии и ковариации можно поместить в ковариационную матрицу , в которой элемент (i, j) представляет собой ковариацию между случайной величиной i и переменной j. Точно так же корреляции могут быть помещены в матрицу корреляции .

Анализ временных рядов

В случае временных рядов, которые стационарны в в широком смысле, как средние, так и дисперсии постоянны во времени (E (X n + m) = E (X n) = μ X и var ( X n + m) = var (X n) и аналогично для переменной Y). В этом случае кросс-ковариация и взаимная корреляция являются функциями разницы во времени:

кросс-ковариация	$σ XY (m) = E [(X n - μ X) (Y n + m - μ Y)], {\ displaystyle \ sigma _ {XY} (m) = E [(X_ {n} - \ mu _ {X}) \, (Y_ {n + m} - \ mu _ {Y})], }$ ${\ displaystyle \ sigma _ {XY} (м) = Е [(X_ {n} - \ mu _ {X}) \, (Y_ {n + m} - \ mu _ {Y})],}$
взаимная корреляция	$ρ XY (m) = E [(X n - μ X) (Y n + m - μ Y)] / (σ X σ Y). {\ Displaystyle \ rho _ {XY} (m) = E [(X_ {n} - \ mu _ {X}) \, (Y_ {n + m} - \ mu _ {Y})] / (\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}).}$ ${\ displaystyle \ rho _ {XY} (m) = E [(X_ {n} - \ mu _ {X}) \, (Y_ {N + m} - \ mu _ {Y})] / (\ sigma _ {X} \ sigma _ {Y}).}$

Если Y - та же переменная, что и X, приведенные выше выражения называются автоковариацией и автокорреляцией:

автоковариация	$σ XX (m) = E [ (Икс N - μ Икс) (Икс N + м - μ Икс)], {\ Displaystyle \ sigma _ {XX} (м) = E [(X_ {n} - \ mu _ {X}) \, (X_ {n + m} - \ mu _ {X})],}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {XX} (m) = E [(X_ {n} - \ mu _ {X}) \, (X_ {n + m } - \ mu _ {X})],}$
автокорреляция	$ρ XX (m) = E [(X n - μ X) (X n + m - μ X)] / ( σ X 2). {\ displaystyle \ rho _ {XX} (m) = E [(X_ {n} - \ mu _ {X}) \, (X_ {n + m} - \ mu _ {X})] / (\ sigma _ {X} ^ {2}).}$ ${\ displaystyle \ rho _ {XX} (m) = E [(X_ {n} - \ mu _ {X}) \, (X_ {n + m} - \ mu _ {X})] / (\ sigma _ {X} ^ {2}).}$

Ссылки