Автоковариация

редактировать

В теории вероятностей и статистике, учитывая случайный процесс, автоковариация - это функция, которая дает ковариацию процесса с самим собой в парах моментов времени. Автоковариация тесно связана с автокорреляцией рассматриваемого процесса.

Содержание

1 Автоковариация случайных процессов
- 1.1 Определение
- 1.2 Определение для слабо стационарного процесса
- 1.3 Нормализация
- 1.4 Свойства
  - 1.4.1 Свойство симметрии
  - 1.4.2 Линейная фильтрация
2 Расчет турбулентной диффузии
3 Автоковариация случайных векторов
4 См. Также
5 Ссылки

Автоковариация случайных процессов

Определение

С обычным обозначением $E {\ displaystyle \ operatorname {E}}$ $\ operatorname {E}$ для оператора ожидания, если случайный процесс ${X t} { \ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ $\ left \ {X_ {t} \ right \}$ имеет функцию mean $μ t = E ⁡ [X t] {\ displaystyle \ mu _ { t} = \ operatorname {E} [X_ {t}]}$ ${\ displaystyle \ mu _ {t} = \ operatorname {E} [X_ {t}]}$ , тогда автоковариация дается как

KXX ⁡ (t 1, t 2) = cov ⁡ [X t 1, X t 2] знак равно Е ⁡ [(Икс T 1 - μ T 1) (Икс T 2 - μ T 2)] = E ⁡ [Икс t 1 Икс T 2] - μ T 1 μ T 2 {\ Displaystyle \ OperatorName {K } _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {cov} \ left [X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {2}} \ right] = \ op eratorname {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}}) (X_ {t_ {2}} - \ mu _ {t_ {2}})] = \ operatorname {E} [X_ {t_ {1}} X_ {t_ {2}}] - \ mu _ {t_ {1}} \ mu _ {t_ {2}}}

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {cov} \ left [ X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {2}} \ right] = \ operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}}) (X_ {t_ {2 }} - \ mu _ {t_ {2}})] = \ operatorname {E} [X_ {t_ {1}} X_ {t_ {2}}] - \ mu _ {t_ {1}} \ mu _ { t_ {2}}}

(уравнение 2)

где $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_{1}$ и $t 2 {\ displaystyle t_ {2}}$ $t_ {2}$ - два момента времени.

Определение для слабо стационарного процесса

Если ${X t} {\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ $\ left \ {X_ {t} \ right \}$ является слабо стационарный (WSS) процесс, то верно следующее:

μ t 1 = μ t 2 ≜ μ {\ displaystyle \ mu _ {t_ {1}} = \ mu _ {t_ {2 }} \ треугольник q \ mu}

{\ displaystyle \ mu _ { t_ {1}} = \ mu _ {t_ {2}} \ треугольникq \ mu}

для всех

t 1, t 2 {\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}

t_ {1}, t_ {2}

E ⁡ [| X t | 2] < ∞ {\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }

{\ displaystyle \ operatorname {E} [| X_ {t} | ^ {2}] <\ infty}

для всех

t {\ displaystyle t}

t

KXX ⁡ (t 1, t 2) = KXX ⁡ (t 2 - t 1, 0) ≜ KXX ⁡ (T 2 - T 1) знак равно KXX ⁡ (τ), {\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {K} _ {XX} (t_ { 2} -t_ {1}, 0) \ треугольник \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}) = \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau),}

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}, 0) \ треугольникq \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2} -t_ {1}) = \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau),}

где $τ = t 2 - t 1 {\ displaystyle \ tau = t_ {2} -t_ {1}}$ ${\ displaystyle \ tau = t_ {2} -t_ {1}}$ - время задержки, или количество времени, в течение которого сигнал был сдвинулся.

Автоковариационная функция процесса WSS, следовательно, определяется как:

KXX ⁡ (τ) = E ⁡ [(X t - μ t) (X t - τ - μ t - τ)] = Е ⁡ [Икс T Икс T - τ] - μ T μ T - τ {\ Displaystyle \ OperatorName {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t} - \ mu _ { t}) (X_ {t- \ tau} - \ mu _ {t- \ tau})] = \ operatorname {E} [X_ {t} X_ {t- \ tau}] - \ mu _ {t} \ mu _ {t- \ tau}}

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t} - \ mu _ {t}) (X_ {t- \ tau} - \ mu _ {t- \ tau})] = \ operatorname {E} [X_ {t} X_ {t- \ tau}] - \ mu _ {t} \ mu _ {t- \ tau}}

(Eq.3)

, что эквивалентно

KXX ⁡ (τ) = E ⁡ [(X t + τ - μ t + τ) (X t - μ T)] знак равно Е ⁡ [Икс T + τ Икс T] - μ 2 {\ Displaystyle \ OperatorName {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t + \ tau} - \ mu _ {t + \ tau}) (X_ {t} - \ mu _ {t})] = \ operatorname {E} [X_ {t + \ tau} X_ {t}] - \ mu ^ {2}}

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = \ operatorname {E} [(X_ {t + \ tau} - \ mu _ {t + \ tau}) (X_ {t} - \ mu _ {t}) ] = \ operatorname {E} [X_ {t + \ tau} X_ {t}] - \ mu ^ {2}}

Нормализация

Обычной практикой в некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов ) является нормализация функции автоковариации для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона. Однако в других дисциплинах (например, инженерии) от нормализации обычно отказываются, и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как взаимозаменяемые.

Определение нормализованной автокорреляции случайного процесса:

ρ XX (t 1, t 2) = KXX ⁡ (t 1, t 2) σ t 1 σ t 2 = E ⁡ [(Икс T 1 - μ T 1) (Икс T 2 - μ T 2)] σ T 1 σ T 2 {\ Displaystyle \ rho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ гидроразрыва {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2})} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}} = {\ frac {\ operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}}) (X_ {t_ {2}} - \ mu _ {t_ {2}})]} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}}

{\ displaystyle \ rho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) } {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}} = {\ frac {\ operatorname {E} [(X_ {t_ {1}} - \ mu _ {t_ {1}) }) (X_ {t_ {2}} - \ mu _ {t_ {2}})]} {\ sigma _ {t_ {1}} \ sigma _ {t_ {2}}}}}

Если функция $ρ XX {\ displaystyle \ rho _ {XX}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {XX}}$ четко определена, ее значение должен находиться в диапазоне $[- 1, 1] {\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а -1 указывает на идеальную антикорреляцию.

Для процесса WSS определение таково:

ρ XX (τ) = KXX ⁡ (τ) σ 2 = E ⁡ [(X t - μ) (X t + τ - μ)] σ 2 {\ displaystyle \ rho _ {XX} (\ tau) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (\ tau)} {\ sigma ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {E} [(X_ { t} - \ mu) (X_ {t + \ tau} - \ mu)]} {\ sigma ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ rho _ {XX} (\ tau) = {\ frac {\ operatorname {K} _ {XX} (\ tau)} {\ sigma ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {E} [(X_ {t} - \ mu) (X_ {t + \ tau} - \ mu)]} {\ sigma ^ {2}}}}

где

KXX ⁡ (0) = σ 2 {\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (0) = \ sigma ^ {2}}

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (0) = \ sigma ^ {2}}

Свойства

Свойство симметрии

KXX ⁡ (t 1, t 2) Знак равно KXX ⁡ (t 2, t 1) ¯ {\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ overline {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2}, t_ {1})}}}

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {\ overline {\ operatorname {K} _ {XX} (t_ {2}, t_ {1})}}}

соответственно для процесса WSS:

KXX ⁡ (τ) = KXX ⁡ (- τ) ¯ {\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} ( \ tau) = {\ overline {\ operatorname {K} _ {XX} (- \ tau)}}}

{\ displaystyle \ operatorname {K} _ {XX} (\ tau) = {\ overline {\ operatorname {K} _ {XX} (- \ tau)}}}

Линейная фильтрация

Автоковариантность процесса с линейной фильтрацией ${Y t} {\ displaystyle \ left \ {Y_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {Y_ {t} \ right \}}$

Y t = ∑ k = - ∞ ∞ ak X t + k {\ displaystyle Y_ {t} = \ sum _ {k = - \ infty } ^ {\ infty} a_ {k} X_ {t + k} \,}

Y_ {t} = \ sum _ {{k = - \ infty}} ^ {\ infty} a_ {k} X _ {{t + k}} \,

равно

KYY (τ) = ∑ k, l = - ∞ ∞ akal KXX (τ + k - l). {\ displaystyle K_ {YY} (\ tau) = \ sum _ {k, l = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} a_ {l} K_ {XX} (\ tau + kl). \, }

{\ displaystyle K_ {YY} (\ тау) = \ сумма _ {к, л = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {k} a_ {l} K_ {XX} (\ tau + kl). \,}

Расчет турбулентного коэффициента диффузии

Автоковариация может использоваться для расчета турбулентного коэффициента диффузии. Турбулентность потока может вызвать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность по статистике этих колебаний.

Разложение Рейнольдса используется для определения колебаний скорости $u ′ (x, t) {\ displaystyle u '(x, t)}$ $u'(x,t)$ (предположим, что сейчас мы работаем с 1D проблема и $U (x, t) {\ displaystyle U (x, t)}$ ${\ displaystyle U (x, t)}$ - скорость в направлении $x {\ displaystyle x}$ $x$ ):

U (Икс, T) знак равно ⟨U (Икс, T)⟩ + U '(Икс, T), {\ Displaystyle U (x, t) = \ langle U (x, t) \ rangle + u' ( x, t),}

U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),

где $U (x, t) {\ displaystyle U (x, t)}$ ${\ displaystyle U (x, t)}$ - истинная скорость, а $⟨U (x, t)⟩ {\ Displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$ - ожидаемое значение скорости. Если мы выберем правильный $⟨U (x, t)⟩ {\ displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$ , все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в $и '(х, т) {\ Displaystyle и' (х, т)}$ $u'(x,t)$ . Чтобы определить $⟨U (x, t)⟩ {\ displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle U (x, t) \ rangle}$ , набор измерений скорости, собранных из точек в пространстве, моментов времени или требуются повторные эксперименты.

Если мы предположим турбулентный поток $⟨u ′ c ′⟩ {\ displaystyle \ langle u'c '\ rangle}$ $\langle u'c'\rangle$ ( $c ′ = c - ⟨c⟩ {\ displaystyle c' = c- \ langle c \ rangle}$ $c'=c-\langle c\rangle$ , а c - член концентрации) может быть вызвано случайным блужданием, мы можем использовать законы диффузии Фика для выражения члена турбулентного потока:

J турбулентность x = ⟨u ′ c ′⟩ ≈ DT x ∂ ⟨c⟩ ∂ x. {\ Displaystyle J _ {{\ text {turbulence}} _ {x}} = \ langle u'c '\ rangle \ приблизительно D_ {T_ {x}} {\ frac {\ partial \ langle c \ rangle} {\ partial x}}.}

J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.

Автоковариация скорости определяется как

KXX ≡ ⟨u ′ (t 0) u ′ (t 0 + τ)⟩ {\ displaystyle K_ {XX} \ Equiv \ langle u '(t_ {0}) u '(t_ {0} + \ tau) \ rangle}

K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau)\rangle

или

KXX ≡ ⟨u ′ (x 0) u ′ (x 0 + r)⟩, {\ displaystyle K_ {XX} \ Equiv \ langle u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) \ rangle,}

K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle,

где $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ - время запаздывания, а $r {\ displaystyle r}$ $r$ - расстояние запаздывания.

Турбулентный коэффициент диффузии $DT x {\ displaystyle D_ {T_ {x}}}$ ${\ displaystyle D_ {T_ {x}}}$ можно рассчитать с помощью следующих 3 методов:

Если у нас есть данные о скорости вдоль Лагранжева траектория :
$DT x = ∫ τ ∞ u ′ (t 0) u ′ (t 0 + τ) d τ. {\ displaystyle D_ {T_ {x}} = \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} u '(t_ {0}) u' (t_ {0} + \ tau) \, d \ tau.}$ $D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau)\,d\tau.$
Если у нас есть данные о скорости в одном фиксированном (эйлеровом ) месте:
$DT x ≈ [0,3 ± 0,1] [⟨u ′ u ′⟩ + ⟨u⟩ 2 ⟨u ′ u ′⟩] ∫ τ ∞ u ′ (t 0) u ′ (t 0 + τ) d τ. {\ displaystyle D_ {T_ {x}} \ приблизительно [0,3 \ pm 0,1] \ left [{\ frac {\ langle u'u '\ rangle + \ langle u \ rangle ^ {2}} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right] \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} u' (t_ {0}) u '(t_ {0} + \ tau) \, d \ tau.}$ $D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau)\,d\tau.$
Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках:
$DT x ≈ [0,4 ± 0,1] [1 ⟨u ′ u ′⟩] ∫ r ∞ u ′ (x 0) u ′ (x 0 + г) dr, {\ displaystyle D_ {T_ {x}} \ приблизительно [0,4 \ pm 0,1] \ left [{\ frac {1} {\ langle u'u '\ rangle}} \ right] \ int _ {r } ^ {\ infty} u '(x_ {0}) u' (x_ {0} + r) \, dr,}$ $D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,$
где $r {\ displaystyle r}$ $r$ - это расстояние, разделенное этими двумя фиксированными местоположениями.

Автоковариация случайных векторов

См. также

Процесс авторегрессии
Корреляция
Кросс-ковариация
Взаимная корреляция
Шум оценка ковариации (в качестве примера приложения)

Ссылки

Hoel, PG (1984). Математическая статистика (Пятое изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-89045-4.
Конспект лекций по автоковариантности от WHOI