Теория Серфа

В математике, на стыке теории сингулярностей и дифференциальная топология, теория Серфа - это изучение семейств гладких вещественнозначных функций

$f:\; M\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\}$

на гладком многообразии $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, их общие особенности и топология подпространств, которые эти особенности определяют как подпространства функционального пространства. Теория названа в честь Жана Серфа, который инициировал ее в конце 1960-х годов.

• 1 Пример
• 2 Стратификация бесконечномерного пространства
• 3 Один параметр времени, утверждение теоремы
• 4 Истоки
• 5 Приложения
• 6 Обобщение
• 7 Ссылки

Марстон Морс доказал, что при условии, что $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$компактно, любая гладкая функция $f:\; M\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$может быть аппроксимировано функцией Морса. Таким образом, для многих целей можно заменить произвольные функции на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$функциями Морса.

В качестве следующего шага можно спросить: «Если у вас есть однопараметрическое семейство функций, которые начинаются и заканчиваются функциями Морзе, можете ли вы предположить, что все семейство - это Морзе?» В общем, нет. Рассмотрим, например, однопараметрическое семейство функций на $M\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, заданное как

$ft\; (x)\; =\; (1/3)\; x\; 3\; -\; tx.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{t\}\; (x)\; =\; (1/3)\; x\; ^\; \{3\}\; -tx.\}$

В момент $t\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; -1\}$, у нее нет критических точек, но в момент времени $t\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 1\}$это функция Морса с двумя критическими точками в $x\; =\; \pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; pm\; 1\}$.

Серф показал, что однопараметрическое семейство функций между двумя функциями Морса может быть аппроксимировано семейством функций Морса во всех случаях, кроме конечного числа вырожденных времен. Вырождения связаны с переходом критических точек рождения / смерти, как в приведенном выше примере, когда в $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$создаются критические точки индекса 0 и индекса 1. как $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$увеличивается.

Возвращаясь к общему случаю, когда $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- компактное многообразие, пусть $Морс\; \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Morse\}\; (M)\}$обозначает пространство функций Морса на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$и $Func\; \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Func\}\; (M)\}$пространство гладких функций с действительным знаком на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. Морс доказал, что $Морс\; \; (M)\; \subset \; Func\; \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Morse\}\; (M)\; \backslash \; subset\; \backslash \; operatorname\; \{Func\}\; (M)\}$является открытым и плотным подмножество в топологии $C\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\}$.

Для интуиции приведу аналогию. Думайте о функциях Морса как о многомерном открытом слое в стратификации из $Func\; \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Func\}\; (M)\}$(мы не утверждают, что такое расслоение существует, но предположим, что оно существует). Обратите внимание, что в стратифицированных пространствах открытый слой с размерностью 0 открыт и плотен. В целях обозначения измените соглашения об индексировании стратификаций в стратифицированном пространстве и индексируйте открытые страты не по их размерности, а по их совместной размерности. Это удобно, поскольку $Func\; \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Func\}\; (M)\}$является бесконечномерным, если $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$не является конечным множеством. По предположению, открытый слой нулевой размерности $Func\; \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Func\}\; (M)\}$равен $Морзе\; \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{Морзе\}\; (M)\}$, то есть: $Func\; \; (M)\; 0\; =\; Morse\; \; (M)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Func\}\; (M)\; ^\; \{0\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Морс\}\; (M)\}$. В стратифицированном пространстве $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$часто $X\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{0\}\}$отключается. Существенное свойство страты одного измерения $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{1\}\}$заключается в том, что любой путь в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, который начинается и заканчивается на $X\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{0\}\}$, может быть аппроксимирован путем, который пересекает $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\; 1\}\}$поперечно в конечном числе точек и не пересекает $X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{i\}\}$для любого $i>1\; \{\backslash \; displaystyle\; i>1\}$.

имеет кубический критическая точка вырождения, соответствующая переходу от рождения к смерти.

Теорема Морса утверждает, что если $f:\; M\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$- это функция Морса, тогда около критической точки $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$она сопряжена с функцией $g:\; R\; n\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$формы

$g\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; =\; f\; (п)\; +\; ϵ\; 1\; Икс\; 1\; 2\; +\; ϵ\; 2\; Икс\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; ϵ\; nxn\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; g\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; dotsc,\; x\_\; \{n\})\; =\; f\; (p)\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{1\}\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; dotsb\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{n\}\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}$

где $ϵ\; i\; \in \; \{\pm \; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{\backslash \; pm\; 1\; \backslash \}\}$.

теорема Серфа об одном параметре утверждает существенное свойство соизмерение одного слоя.

Точно, если $ft:\; M\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{t\}\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$является однопараметрическим семейством гладких функций на $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$с $t\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [0,1]\}$и $f\; 0,\; f\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{0\},\; f\_\; \{1\}\}$Morse, тогда существует гладкое однопараметрическое семейство $F\; t:\; M\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{t\; \}\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$так, чтобы $F\; 0\; =\; f\; 0,\; F\; 1\; =\; f\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{0\}\; =\; f\_\; \{0\},\; F\_\; \{1\; \}\; =\; f\_\; \{1\}\}$, $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$равномерно близок к $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{k\}\}$-топология функций $M\; \times \; [0,\; 1]\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; times\; [0,1]\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. Кроме того, $F\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{t\}\}$вообще является Морс, но конечное число раз. В неморсовское время функция имеет только одну вырожденную критическую точку $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, а рядом с этой точкой семейство $F\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{t\}\}$сопряжено с семейством

$gt\; (x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn)\; =\; f\; (p)\; +\; x\; 1\; 3\; +\; ϵ\; 1\; tx\; 1\; +\; ϵ\; 2\; x\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; ϵ\; nxn\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{t\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; \backslash \; dotsc,\; x\_\; \{n\})\; =\; f\; (p)\; +\; x\_\; \{1\}\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{1\}\; tx\_\; \{\; 1\}\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{2\}\; x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; dotsb\; +\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{n\}\; x\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}$

где $ϵ\; i\; \in \; \{\pm \; 1\},\; t\; \in \; [-\; 1,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \backslash \; \{\backslash \; pm\; 1\; \backslash \},\; t\; \backslash \; in\; [-1,1]\}$. Если $ϵ\; 1\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{1\}\; =\; -\; 1\}$, это однопараметрическое семейство функций, в котором создаются две критические точки (как $t\; \{\; \backslash \; displaystyle\; t\}$увеличивается), а для $ϵ\; 1\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; \_\; \{1\}\; =\; 1\}$это семейство функций с одним параметром, где две критические точки разрушены.

PL -проблема Шенфлиса для $S\; 2\; \subset \; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\; \}$было решено Дж. В. Александер в 1924 году. Его доказательство было адаптировано к гладкому делу Морзе и Эмилио Байада. Существенное свойство было использовано Серфом для доказательства того, что каждый сохраняющий ориентацию диффеоморфизм из $S\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{3\}\}$ изотопно тождеству, рассматриваемое как однопараметрическое расширение теоремы Шенфлиса для $S\; 2\; \subset \; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{2\}\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$. Следствие $\Gamma \; 4\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{4\}\; =\; 0\}$ в то время имело большое значение для дифференциальной топологии. Существенное свойство позже было использовано Серфом для доказательства теоремы о псевдоизотопии для многомерных односвязных многообразий. Доказательство является однопараметрическим расширением доказательства Стивена Смейла теоремы о h-кобордизме (переписывание доказательства Смейла в функциональную структуру было выполнено Морсом, а также Джон Милнор и Серф, Андре Грамен и Бернар Морин по предложению Рене Тома ).

Доказательство Серфа построено на работе Тома и Джона Мэзера. Полезным современным обзором работ Тома и Мазера того периода является книга Марти Голубицкого и Виктора Гиймена.

Помимо вышеупомянутых приложений, Робион Кирби использовал теорию Серфа в качестве ключевого шага в обосновании исчисления Кирби.

Стратификация дополнения бесконечного подпространства одинаковой размерности пространства гладких отображений $\{f:\; M\; \to \; R\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f\; \backslash \; двоеточие\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \}\}$был в конечном итоге разработан Фрэнсисом Сержерартом.

В семидесятые годы проблема классификации псевдоизотопий неодносвязных многообразий была решена Алленом Хэтчером и Джоном Ваггонером, открыв алгебраический $K\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{i\}\}$ - препятствия на $\pi \; 1\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; M\}$($i\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 2\}$) и $\pi \; 2\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{2\}\; M\}$($i\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1\}$) и Киёси Игуса, обнаружив препятствие s аналогичного характера на $\pi \; 1\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\}\; M\}$($i\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 3\}$).

1. ^Morse, Marston ; Байада, Эмилио (1953), «Гомотопия и гомология, связанные с проблемой Шенфлиса», Annals of Mathematics, 2, 58 : 142–165, doi : 10.2307 / 1969825, MR 0056922
2. ^Серф, Жан (1968), Sur les difféomorphismes de la sphère de Dimension Trois ($\Gamma \; 4\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{4\}\; =\; 0\}$), Lecture Notes по математике, 53, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag
3. ^Cerf, Jean (1970), «La stratification naturelle des espaces de fonctions différentiables réelles et le teorème de la pseudo-isotopie», Publications Mathématiques de l'IHÉS, 39: 5–173
4. ^Джон Милнор, Лекции по h- теорема кобордизма, Примечания Лорана К. Зибенмана и Джонатана Сондоу, Princeton Math. Заметки 1965
5. ^Le Theoreme du h-cobordisme (Smale) Заметки Жана Серфа и Андре Грамена (École Normale Supérieure, 1968).
6. ^Джон Н. Мазер, Классификация стабильных ростков по R-алгебрам, Publications Mathématiques de l'IHÉS (1969)
7. ^Марти Голубицкий, Виктор Гийемен, Устойчивые отображения и их особенности. Тексты для выпускников Springer-Verlag по математике 14 (1973)
8. ^Sergeraert, Francis (1972). «Теорема де функций неявно применима к определенным пространствам Фреше и других приложений». Научные Анналы высшей нормальной школы. (4). 5 : 599–660.
9. ^Аллен Хэтчер и Джон Вагонер, Псевдоизотопии компактных многообразий. Astérisque, No. 6. Société Mathématique de France, Париж, 1973. 275 стр.
10. ^Киёси Игуса, Теорема устойчивости для гладких псевдоизотопий. К-Теория 2 (1988), вып. 1-2, vi + 355.