Войти
В дифференциальной геометрии Ангенентный тор представляет собой гладкое вложение из тор в трехмерное евклидово пространство, с тем свойством, что он остается самоподобным при эволюции потока средней кривизны. Его существование показывает, что, в отличие от одномерного потока укорачивания кривой (для которого каждая вложенная замкнутая кривая сходится к окружности при сжатии в точку), двумерный поток средней кривизны имеет вложенные поверхности которые при схлопывании образуют более сложные сингулярности.
Тор Angenent - это назван в честь Сигурда Ангенента, который опубликовал доказательство его существования в 1992 году. Однако еще в 1990 году Герхард Хьюскен написал, что Мэтью Грейсон рассказал ему о «числовых доказательствах» его существования. Существование.
Чтобы доказать существование тора Ангенента, Ангенент сначала утверждает, что это должна быть поверхность вращения. Любую такую поверхность можно описать с помощью ее поперечного сечения, кривой на полуплоскости (где граничная линия полуплоскости является осью вращения поверхности). Следуя идеям Хьюскена, Ангенент определяет риманову метрику на полуплоскости с тем свойством, что геодезические для этой метрики - это в точности поперечные сечения поверхностей вращения, которые остаются самими собой. -подобны и схлопываются к исходной точке через единицу времени. Эта метрика очень неоднородна, но имеет симметрию отражения, ось симметрии которой представляет собой полупрямую, проходящую через начало координат перпендикулярно границе полуплоскости.
Рассматривая поведение геодезических которые проходят перпендикулярно этой оси отражательной симметрии на разных расстояниях от начала координат, и применяя теорему о промежуточном значении, Angenent находит геодезическую, которая проходит через ось перпендикулярно во второй точке. Эта геодезическая и ее отражение соединяются, образуя простую замкнутую геодезическую для метрики на полуплоскости. Когда эта замкнутая геодезическая используется для создания поверхности вращения, она образует ангенентный тор.
Другие геодезические ведут к другим поверхностям вращения, которые остаются самоподобными в потоке средней кривизны, включая сферы, цилиндры, плоскости и (согласно числовым данным, но не строгим доказательствам) погруженными топологические сферы с множественными самопересечениями. Kleene Møller (2014) доказывают, что единственные полностью гладкие вложенные поверхности вращения, которые остаются самоподобными в потоке средней кривизны, - это плоскости, цилиндры, сферы и топологические тори. Они предполагают более сильную гипотезу, что тор Angenent - единственный тор с этим свойством.
Тор Angenent может быть использован для доказательства существования некоторых других типов особенностей потока средней кривизны.. Например, если поверхность в форме гантели, состоящая из тонкой цилиндрической «шейки», соединяющей два больших объема, может иметь шейку, окруженную непересекающимся ангенентным тором, то две поверхности вращения останутся не пересекающимися под поток средней кривизны, пока один из них не достигнет особенности; если концы гантели достаточно большие, это означает, что шея должна отщипнуть, отделяя две сферы друг от друга, прежде чем тор, окружающий шею, схлопнется.
Любые форма, которая остается самоподобной, но сжимается под действием потока средней кривизны, образует древнее решение потока, которое может быть экстраполировано назад на все времена. Однако обратное неверно. В той же статье, в которой он опубликовал тор Angenent, Angenent также описал; они не самоподобны, но это единственные простые замкнутые кривые на плоскости, отличные от окружности, которые дают древние решения для потока, сокращающего кривую.
