Сопряженный элемент (поле теория)

В математике, в частности теории поля, сопряженные элементы алгебраический элемент α, над расширением поля L / K, являются корнями минимального многочлена p K, α (x) α над K. Сопряженные элементы также называются конъюгатами Галуа или просто конъюгатами . Обычно α сам входит в набор конъюгатов α.

• 1 Пример
• 2 Свойства
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Кубические корни числа единица :

$1\; 3\; =\; \{1\; -\; 1\; 2\; +\; 3\; 2\; i\; -\; 1\; 2\; -\; 3\; 2\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{1\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; \backslash \backslash \; [3pt]\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; i\; \backslash \backslash \; [5pt]\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; i\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Последние два корня являются сопряженными элементами в Q [i√3] с минимальным многочленом

$(x\; +\; 1\; 2)\; 2\; +\; 3\; 4\; знак\; равно\; x\; 2\; +\; x\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; =\; x\; ^\; \{2\}\; +\; x\; +\; 1.\}$

Если K задано внутри алгебраически замкнутого поля C, то сопряжения могут быть взяты внутри C. Если такого C нет задано, можно взять сопряжения в некотором относительно небольшом поле L. Наименьший возможный выбор для L - взять поле расщепления над K из p K, α, содержащее α. Если L - любое нормальное расширение поля K, содержащее α, то по определению оно уже содержит такое поле расщепления.

Если дано нормальное расширение L группы K с группой автоморфизмов Aut (L / K) = G и содержащее α, любой элемент g (α) для g в G будет сопряжена с α, так как автоморфизм g переводит корни p в корни p. Наоборот, любое сопряженное β к α имеет такой вид: другими словами, G действует транзитивно на сопряженных. Это следует из того, что K (α) K-изоморфно K (β) в силу неприводимости минимального многочлена, и любой изоморфизм полей F и F ', переводящий полином p в p', может быть расширен до изоморфизма полей расщепления p над F и p 'над F' соответственно.

Таким образом, сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L поля K, которое содержит K (α), как набор элементов g (α) для g в Aut (L / K). Число повторов в этом списке каждого элемента является разделимой степенью [L: K (α)] sep.

Теорема Кронекера утверждает, что если α является ненулевым алгебраическим целое число такое, что α и все его сопряженные в комплексные числа имеют абсолютное значение не более 1, тогда α является корнем из единицы. Существуют количественные формы этого, более точно устанавливающие границы (в зависимости от степени) для наибольшего абсолютного значения сопряженного, которые подразумевают, что алгебраическое целое число является корнем из единицы.

• Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра, 3-е изд., Wiley, 2004.

• Вайсштейн, Эрик В. «Сопряженные элементы». MathWorld.