Функции Вейерштрасса

редактировать

Математические функции, связанные с эллиптической функцией Вейерштрасса

In математика, функции Вейерштрасса - это специальные функции от комплексной переменной, которые являются вспомогательными по отношению к эллиптической функции Вейерштрасса. Они названы в честь Карла Вейерштрасса. Связь между функциями сигма, дзета и $℘ {\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ аналогична соотношению между функциями синуса, котангенса и квадрата косеканса: логарифмическая производная синуса является котангенсом, производная которого отрицательна квадрату косеканса.

Содержание

1 сигма-функция Вейерштрасса
2 дзета-функция Вейерштрасса
3 эта-функция Вейерштрасса
4 ℘-функция Вейерштрасса
5 См. Также

сигма-функция Вейерштрасса

График # Сигма-функция Вейерштрасса с использованием Раскраска домена.

Сигма-функция Вейерштрасса, связанная с двумерной решеткой $Λ ⊂ C {\ displaystyle \ Lambda \ subset \ mathbb {C}}$ $\Lambda\subset\Complex$ определяется как произведение

σ (z; Λ) = z ∏ w ∈ Λ ∗ (1 - zw) ez / w + 1 2 (z / w) 2 {\ displaystyle \ sigma (z; \ Lambda) = z \ prod _ {w \ in \ Lambda ^ {*}} \ left (1 - {\ frac {z} {w}} \ right) e ^ {z / вес + {\ гидроразрыва {1} {2}} (z / w) ^ {2}}}

\ sigma (z; \ Lambda) = z \ prod_ {w \ in \ Lambda ^ {*}} \ left (1- \ frac {z} {w} \ right) e ^ {z / w + \ frac {1} {2} (z / w) ^ 2}

где $Λ ∗ {\ displaystyle \ Lambda ^ {*}}$ $\ Lambda ^ {* }$ означает $Λ - {0} {\ displaystyle \ Lambda - \ {0 \}}$ $\ Lambda - \ {0 \}$ . См. Также фундаментальная пара периодов.

дзета-функция Вейерштрасса

График # Вейерштрасса с использованием окраски домена

дзета-функция Вейерштрасса определяется суммой

ζ (z; Λ) = σ ′ (z; Λ) σ (z; Λ) = 1 z + ∑ w ∈ Λ ∗ (1 z - w + 1 w + zw 2). {\ displaystyle \ zeta (z; \ Lambda) = {\ frac {\ sigma '(z; \ Lambda)} {\ sigma (z; \ Lambda)}} = {\ frac {1} {z}} + \ sum _ {w \ in \ Lambda ^ {*}} \ left ({\ frac {1} {zw}} + {\ frac {1} {w}} + {\ frac {z} {w ^ {2}) }} \ right).}

\zeta(z;\Lambda)=\frac{\sigma'(z;\Lambda)}{\sigma(z;\Lambda)}=\frac{1}{z}+\sum_{w\in\Lambda^{*}}\left( \frac{1}{z-w}+\frac{1}{w}+\frac{z}{w^2}\right).

Дзета-функция Вейерштрасса - это логарифмическая производная сигма-функции. Дзета-функцию можно переписать так:

ζ (z; Λ) = 1 z - ∑ k = 1 ∞ G 2 k + 2 (Λ) z 2 k + 1 {\ displaystyle \ zeta (z; \ Lambda) = {\ frac {1} {z}} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ mathcal {G}} _ {2k + 2} (\ Lambda) z ^ {2k + 1}}

\ zeta (z; \ Lambda) = \ frac {1} {z} - \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ mathcal {G} _ { 2k + 2} (\ Lambda) z ^ {2k + 1}

где $G 2 k + 2 {\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {2k + 2}}$ $\ mathcal {G} _ {2k + 2}$ - ряд Эйзенштейна с весом 2k + 2.

Производная дзета-функции: $- ℘ (z) {\ displaystyle - \ wp (z)}$ $- \ wp (z)$ , где $℘ (z) {\ displaystyle \ wp (z)}$ $\ wp (z)$ - это эллиптическая функция Вейерштрасса

Дзета-функцию Вейерштрасса не следует путать с дзета-функцией Римана в теории чисел.

Эта функция Вейерштрасса

Эта функция Вейерштрасса определяется как

η (w; Λ) = ζ (z + w; Λ) - ζ ( z; Λ) для любого z ∈ C {\ displaystyle \ eta (w; \ Lambda) = \ zeta (z + w; \ Lambda) - \ zeta (z; \ Lambda), {\ t_dv {для любого}} z \ in \ mathbb {C}}

\ eta (w; \ Lambda) = \ zeta (z + w; \ Lambda) - \ zeta (z; \ Lambda), \ t_dv {для любого} z \ in \ Complex

и любой w в решетке

Λ {\ displaystyle \ Lambda}

\ Lambda

Это четко определено, то есть $ζ (z + w; Λ) - ζ (z; Λ) {\ displaystyle \ zeta (z + w; \ Lambda) - \ zeta (z; \ Lambda)}$ $\ zeta (z + w; \ Lambda) - \ zeta (z; \ Lambda)$ зависит только от вектора решетки w. Эту-функцию Вейерштрасса не следует путать ни с функцией эта-Дедекинда, ни с функцией эта-Дирихле.

℘-функцией Вейерштрасса

График # p-функции Вейерштрасса с использованием раскраски домена

p-функция Вейерштрасса связана с дзета-функцией соотношением

℘ (z; Λ) = - ζ ′ (z; Λ) для любого z ∈ C {\ displaystyle \ wp (z; \ Lambda) = - \ zeta '(z; \ Lambda), {\ t_dv {для любого}} z \ in \ mathbb {C}}

\wp(z;\Lambda)= -\zeta'(z;\Lambda), \t_dv{ for any } z \in \Complex

℘-функция Вейерштрасса является четной эллиптической функцией порядка N = 2 с двойным полюсом в каждой точке решетки и без других полюсов.

См. Также

функция Вейерштрасса

Эта статья включает материал из сигма-функции Вейерштрасса на PlanetMath, которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.