Гипотеза фон Неймана

В математике используется гипотеза фон Неймана заявил, что группа G не- аменабельная тогда и только тогда, когда G содержит подгруппу, которая является свободной группой на двух генераторы. Гипотеза была опровергнута в 1980 году.

В 1929 году, работая над парадоксом Банаха – Тарского, Джон фон Нейман определил понятие аменабельных групп. и показал, что ни одна аменабельная группа не содержит свободную подгруппу ранга 2. Было высказано предположение, что может иметь место обратное, т. Е. Что каждая неаменабельная группа содержит свободную подгруппу с двумя образующими. ряда разных авторов в 1950-1960-х гг. Хотя имя фон Неймана обычно присоединяется к гипотезе, ее первое письменное упоминание, по-видимому, связано с 1957 годом.

Альтернатива Титса является фундаментальной теоремой, которая, в частности, устанавливает гипотезу в классе линейных групп.

Исторически первым потенциальным контрпримером является группа Томпсона F. Хотя ее приемлемость является широко открытой проблемой, общая гипотеза была показана в 1980 г. Александром Ольшанским как ложная; он продемонстрировал, что группы монстров Тарского, построенные им, которые, как легко видеть, не имеют свободных подгрупп ранга 2, неприменимы. Два года спустя Сергей Адян показал, что некоторые бернсайдские группы также контрпримеры. Ни один из этих контрпримеров не конечно представим, и в течение нескольких лет считалось возможным, что гипотеза верна для конечно определенных групп. Однако в 2003 году Александр Ольшанский и Марк Сапир выставили коллекцию конечно-определенных групп, которые не удовлетворяют гипотезе.

В 2013 году Николя Моно нашел простой контрпример к этой гипотезе. Группа, заданная кусочно-проективными гомеоморфизмами прямой, удивительно проста для понимания. Несмотря на то, что он не поддается лечению, он прямо разделяет многие известные свойства поддающихся групп. В 2013 году Яш Лодха и Джастин Тэтч Мур выделили конечно представленную неаменабельную подгруппу группы Монода. Это дает первый конечно представленный контрпример без кручения и допускает представление с 3 образующими и 9 соотношениями. Позже Лодха показал, что эта группа удовлетворяет свойству $F\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$, которое является более сильным свойством конечности.

• Адян, Сергей (1982), «Случайные блуждания на свободных периодических группах», Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат., 46 (6): 1139–1149, 1343, Zbl 0512.60012
• Дэй, Махлон М. (1957), «Аменабельные полугруппы», Ill. J. Math., 1 : 509–544, Zbl 0078.29402
• Ольшанский, Александр (1980), «К вопросу о существовании инвариантное среднее на группе », Успехи матем. Наук, 35 (4): 199–200, Zbl 0452.20032
• Ольшанский Александр; Сапир, Марк (2003), «Неаменабельные конечно определенные группы с циклическим кручением», Publications Mathématiques de l'IHÉS, 96(1): 43–169, arXiv : math / 0208237, doi : 10.1007 / s10240-002-0006-7, Zbl 1050.20019
• Monod, Nicolas (2013), «Группы кусочно-проективных гомеоморфизмов», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 110 (12): 4524–4527, arXiv : 1209.5229, Bibcode : 2013PNAS..110.4524M, doi : 10.1073 / pnas.1218426110, Zbl 1305.57002
• Лодха, Яш; Мур, Джастин Тэтч (2016), «Неизменяемая конечно представленная группа кусочно проективных гомеоморфизмов», Группы, геометрия и динамика, 10(1): 177–200, arXiv : 1308.4250v3, doi : 10.4171 / GGD / 347, MR 3460335
• Лодха, Яш, тип A $F\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$группа кусочно-проективных гомеоморфизмов, arXiv :1408.3127v2