Группа монстров Тарского

В области современной алгебры, известной как теория групп, Группа монстров Тарского, названная в честь Альфреда Тарского, представляет собой бесконечную группу G, такую ​​что каждая собственная подгруппа H группы G, кроме индивидуальной подгруппы, является циклическая группа порядка фиксированного простое число стр. Группа монстров Тарского обязательно проста. Его показал Александр Ю. Ольшанский в 1979 г., что группы Тарского существуют и что существует p-группа Тарского для любого простого числа p>10. Они являются источником контрпримеров к гипотезам в теории групп, в первую очередь к проблеме Бернсайда и гипотезе фон Неймана.

Определение

Пусть $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$будет фиксированным простым числом. Бесконечная группа $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$называется группой монстров Тарского для $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$, если каждая нетривиальная подгруппа (т.е. каждая подгруппа, кроме 1 и G) имеет элементы $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

Свойства

• $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$обязательно генерируются конечным числом. Фактически он генерируется каждыми двумя некоммутирующими элементами.
• $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- это просто. Если $N\; ⊴\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; треугольникlefteq\; G\}$и $U\; \le \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; leq\; G\}$- любая подгруппа, отличная от $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$подгруппа $NU\; \{\backslash \; displaystyle\; NU\}$будет иметь $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\}$элементов.
• Конструкция Ольшанского показывает, что существует континуум-много неизоморфных групп монстров Тарского для каждого простого $p>10\; 75\; \{\backslash \; displaystyle\; p>10\; ^\; \{75\}\}$.
• Группы монстров Тарского являются примером неаменабельных групп, не содержащих свободную подгруппу.

Литература

• А.Ю. Ольшанский, Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Матем. Известия СССР, 16 (1981), 279–289; перевод Известий АН СССР сер. Матем. 44 (1980), 309–321.
• А. Ю. Ольшанский, Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка, Al Гебра и логика 21 (1983), 369–418; перевод Алгебры и логики 21 (1982), 553–618.
• Ольшанский, А.Ю. (1991), Геометрия определяющих отношений в группах, Математика и ее приложения (Советская серия), 70, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923 -1394-6

.