Функция фон Мангольдта

Функция для целого числа n, которое равно log (p), если n равно p ^ k, и нулю в противном случае

In математика, функция фон Мангольдта - это арифметическая функция, названная в честь немецкого математика Ганса фон Мангольдта. Это пример важной арифметической функции, которая не является ни мультипликативной, ни аддитивной.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Ряд Дирихле
• 4 Функция Чебышева
• 5 Экспоненциальный ряд
• 6 Среднее значение Рисса
• 7 Аппроксимация с помощью дзета-нулей Римана
• 8 См. Также
• 9 Ссылки
• 10 Внешние ссылки

Фон Функция Мангольдта, обозначаемая Λ (n), определяется как

$\Lambda \; (n)\; =\; \{log\; \; p,\; если\; n\; =\; pk\; для\; некоторого\; простого\; числа\; p,\; и\; целое\; число\; k\; \ge \; 1,\; 0\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (n)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; \backslash \; log\; p\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; n\; =\; p\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; text\; \{для\; некоторого\; простого\; числа\}\}\; p\; \{\backslash \; text\; \{и\; целое\; число\}\}\; k\; \backslash \; geq\; 1,\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{иначе.\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Значения Λ (n) для первых девяти положительных целых чисел (т.е. натуральных чисел) равны

$0,\; журнал\; \; 2,\; журнал\; \; 3,\; журнал\; \; 2,\; журнал\; \; 5,\; 0,\; журнал\; \; 7,\; журнал\; \; 2,\; журнал\; \; 3,\; \{\backslash \; Displaystyle\; 0,\; \backslash \; журнал\; 2,\; \backslash \; журнал\; 3,\; \backslash \; журнал\; 2,\; \backslash \; журнал\; 5,\; 0,\; \backslash \; log\; 7,\; \backslash \; log\; 2,\; \backslash \; log\; 3,\}$

, который связан с (последовательность A014963 в OEIS ).

сумматорная функция фон Мангольдта, ψ (x), также известная как вторая функция Чебышева, определяется как

$\psi \; (x)\; =\; \sum \; n\; \le \; x\; \Lambda \; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; leq\; x\}\; \backslash \; Lambda\; (n).\}$

Фон Мангольдт предоставил строгое доказательство явной формулы для ψ (x), включающей сумму по не- тривиальные нули дзета-функции Римана. Это было важной частью первого доказательства теоремы о простых числах.

Функция фон Мангольдта удовлетворяет тождеству

$log\; \; (n)\; =\; \sum \; d\; \mid \; n\; \Lambda \; (d).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; \backslash \; mid\; n\}\; \backslash \; Lambda\; (d).\}$

Сумма берется по всем целым числам d, которые делят п. Это доказывается основной теоремой арифметики, поскольку члены, не являющиеся степенями простых чисел, равны 0. Например, рассмотрим случай n = 12 = 2 × 3. Тогда

$\sum \; d\; \mid \; 12\; \Lambda \; (d)\; =\; \Lambda \; (1)\; +\; \Lambda \; (2)\; +\; \Lambda \; (3)\; +\; \Lambda \; (4)\; +\; \Lambda \; (6)\; +\; \Lambda \; (12)\; =\; \Lambda \; (1)\; +\; \Lambda \; (2)\; +\; \Lambda \; (3)\; +\; \Lambda \; (2\; 2)\; +\; \Lambda \; (2\; \times \; 3)\; +\; \Lambda \; (2\; 2\; \times \; 3)\; =\; 0\; +\; журнал\; \; (2)\; +\; журнал\; \; (3)\; +\; журнал\; \; (2)\; +\; 0\; +\; 0\; =\; журнал\; \; (\; 2\; \times \; 3\; \times \; 2)\; =\; журнал\; \; (12).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; \backslash \; mid\; 12\}\; \backslash \; Lambda\; (d)\; =\; \backslash \; Lambda\; (1)\; +\; \backslash \; Lambda\; (2)\; +\; \backslash \; Lambda\; (3)\; +\; \backslash \; Lambda\; (4)\; +\; \backslash \; Лямбда\; (6)\; +\; \backslash \; Lambda\; (12)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; Lambda\; (1)\; +\; \backslash \; Lambda\; (2)\; +\; \backslash \; Lambda\; (3)\; +\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; left\; (2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; Lambda\; (2\; \backslash \; times\; 3)\; +\; \backslash \; Lambda\; \backslash \; left\; (2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; times\; 3\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; 0+\; \backslash \; log\; (2)\; +\; \backslash \; log\; (3)\; +\; \backslash \; log\; (2)\; +\; 0\; +\; 0\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; log\; (2\; \backslash \; times\; 3\; \backslash \; times\; 2)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; log\; (12).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

По инверсии Мёбиуса, мы имеем

$\Lambda \; (\; n)\; =\; -\; \sum \; d\; \mid \; n\; \mu \; (d)\; журнал\; \; (d).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; (n)\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; \backslash \; mid\; n\}\; \backslash \; mu\; (d)\; \backslash \; log\; (d)\; \backslash .\}$

Функция фон Мангольдта играет важную роль в теории рядов Дирихле и, в частности, дзета-функции Римана. Например, есть

$log\; \; \zeta \; (s)\; =\; \sum \; n\; =\; 2\; \infty \; \Lambda \; (n)\; log\; \; (n)\; 1\; n\; s,\; Re\; (s)>1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; \backslash \; zeta\; (s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Lambda\; (n)\}\; \{\backslash \; log\; (n)\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{Re\}\}\; (s)>1.\}$

Тогда логарифмическая производная будет

$\zeta \; \prime \; (s)\; \zeta \; (s)\; Знак\; равно\; -\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; \Lambda \; (N)\; ns,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (s)\}\; \{\backslash \; zeta\; (s)\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Lambda\; (n)\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\}.\}$

Это частные случаи более общего соотношения для рядов Дирихле. Если имеется

$F\; (s)\; Знак\; равно\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; е\; (n)\; ns\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (n)\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\}\}$

для полностью мультипликативной функции f (n), и ряд сходится для Re (s)>σ 0, затем

$F\; \prime \; (s)\; F\; (s)\; Знак\; равно\; -\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; е\; (N)\; \Lambda \; (N)\; ns\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{F\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (s)\}\; \{F\; (s)\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (n)\; \backslash \; Lambda\; (n)\}\; \{n\; ^\; \{s\}\}\}\}$

сходится для Re (s)>σ 0.

Вторая функция Чебышева ψ (x) - это сумматорная функция функции фон Мангольдта:

$\psi \; (x)\; =\; \sum \; pk\; \le \; x\; log\; \; p\; =\; \sum \; n\; \le \; x\; \Lambda \; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\; ^\; \{k\}\; \backslash \; leq\; x\}\; \backslash \; log\; p\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; leq\; x\}\; \backslash \; Lambda\; (n)\; \backslash .\}$

Преобразование Меллина функции Чебышева можно найти, применив формулу Перрона :

$\zeta \; \prime \; (s)\; \zeta \; (s)\; =\; -\; s\; \int \; 1\; \infty \; \psi \; (x)\; xs\; +\; 1\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (s)\}\; \{\backslash \; zeta\; (s)\}\}\; =\; -\; s\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; psi\; (x)\}\; \{x\; ^\; \{s\; +1\}\}\}\; \backslash ,\; dx\}$

, что справедливо для Re (s)>1.

Харди и Литтлвуд исследовали ряд

$F\; (y)\; =\; \sum \; n\; =\; 2\; \infty \; (\Lambda \; (n)\; -\; 1)\; e\; -\; ny\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 2\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Lambda\; (n)\; -1\; \backslash \; right)\; e\; ^\; \{-\; ny\}\}$

в пределе y → 0 Предполагая гипотезу Римана, они демонстрируют, что

$F\; (y)\; =\; O\; (1\; y)\; и\; F\; (y)\; =\; \Omega \; \pm \; (1\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (y)\; =\; O\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; F\; (y)\; =\; \backslash \; Omega\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{\backslash \; sqrt\; \{y\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

В частности, эта функция является колебательной с расходящимися колебаниями : существует значение K>0 такое, что оба неравенства

бесконечно часто окрестность 0. График справа указывает, что это поведение не изначально ню с практической точки зрения очевидны: колебания не видны четко, пока ряды не будут суммированы, превышающие 100 миллионов членов, и хорошо видны только тогда, когда y < 10.

среднее по Риссу Функция фон Мангольдта определяется выражением

$\sum \; n\; \le \; \lambda \; (1\; -\; n\; \lambda )\; \delta \; \Lambda \; (n)\; =\; -\; 1\; 2\; \pi \; i\; \int \; c\; -\; i\; \infty \; c\; +\; i\; \infty \; \Gamma \; (1\; +\; \delta )\; \Gamma \; (s)\; \Gamma \; (1\; +\; \delta \; +\; s)\; \zeta \; \prime \; (s)\; \zeta \; (s)\; \lambda \; sds\; =\; \lambda \; 1\; +\; \delta \; +\; \sum \; \rho \; \Gamma \; (1\; +\; \delta )\; \Gamma \; (\rho )\; \Gamma \; (1\; +\; \delta \; +\; \rho )\; +\; \sum \; ncn\; \lambda \; -\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; leq\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{\backslash \; lambda\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; delta\}\; \backslash \; Lambda\; (n)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{ci\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{c\; +\; i\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (1+\; \backslash \; delta)\; \backslash \; Gamma\; (s)\}\; \{\backslash \; Гамма\; (1+\; \backslash \; delta\; +\; s)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; zeta\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (s)\}\; \{\backslash \; zeta\; (s)\}\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{s\}\; ds\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; лямбда\}\; \{1+\; \backslash \; delta\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (1+\; \backslash \; delta)\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; rho)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (1+\; \backslash \; delta\; +\; \backslash \; rho)\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; c\_\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{-\; n\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Здесь λ и δ - числа, характеризующие среднее значение Рисса. Нужно взять c>1. Сумма по ρ является суммой по нулям дзета-функции Римана, а

$\sum \; ncn\; \lambda \; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; c\_\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash ,\}$

можно показать как сходящийся ряд при λ>1.

Первая волна дзета-нуля Римана в сумме, которая аппроксимирует функцию фон Мангольдта

Действительная часть суммы по дзета-нулям:

$-\; \sum \; i\; =\; 1\; \infty \; N\; \rho \; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; n\; ^\; \{\backslash \; rho\; (i)\}\}$, где ρ (i) - это i- th дзета нуль, достигает пиков при простых числах, как это видно на соседнем графике, а также может быть проверено численным вычислением. Он не суммируется с функцией фон Мангольдта.

Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с мнимыми частями дзета-нулей Римана в виде пиков на ординатах оси x (справа), в то время как функция фон Мангольдта может аппроксимированы дзета-нулевыми волнами (слева)

.

Преобразование Фурье функции фон Мангольдта дает спектр с пиками на ординатах, равными мнимым частям нулей дзета-функции Римана. Иногда это называют двойственностью.

• Функция подсчета простых чисел

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Харди, GH ; Райт, Э.М. (2008) [1938]. Хит-Браун, Д. Р. ; Сильверман, Дж. Х. (ред.). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921985-8. MR 2445243. Zbl 1159.11001.

• Тенебаум, Джеральд (1995). Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел. Кембриджские исследования в области высшей математики. 46 . Перевод C.B. Thomas. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.

• Аллан Гут, Некоторые замечания по дзета-распределению Римана (2005)
• S.A. Степанов (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
• Крис Кинг, Простые вычисления из воздуха (2010)
• Хайке, Как построить нулевой спектр дзета Римана в системе Mathematica? (2012)