Интегральное уравнение Вольтерра

Через м В математике, интегральные уравнения Вольтерра представляют собой особый тип интегральных уравнений. Они делятся на две группы: первого и второго типа.

Линейное уравнение Вольтерра первого рода:

$f\; (t)\; =\; \int \; at\; K\; (t,\; s)\; x\; (s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{t\}\; K\; (t,\; s)\; \backslash ,\; x\; (s)\; \backslash ,\; ds\}$

где ƒ - заданная функция, а x - неизвестная функция, для которой необходимо решить. Линейное уравнение Вольтерра второго рода имеет вид

$x\; (t)\; =\; f\; (t)\; +\; \int \; a\; t\; K\; (t,\; s)\; x\; (s)\; d\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; f\; (t)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{t\}\; K\; (t,\; s)\; x\; (s)\; \backslash ,\; ds.\}$

В теории операторов, а в теории Фредгольма соответствующие операторы называются операторами Вольтерра. Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана, был разработан Джорджем Адомианом.

. Линейное интегральное уравнение Вольтерра представляет собой уравнение свертки, если

$x\; (t)\; знак\; равно\; f\; (t)\; +\; \int \; t\; 0\; t\; K\; (t\; -\; s)\; x\; (s)\; ds.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; f\; (t)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{0\}\}\; ^\; \{t\}\; K\; (ts)\; x\; (s)\; \backslash ,\; ds.\}$

Функция $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$в интеграле называется ядром. Такие уравнения можно анализировать и решать с помощью методов преобразования Лапласа.

Интегральные уравнения Вольтерра были введены Вито Вольтеррой, а затем изучены Траяном Лалеску в его диссертации 1908 года Sur les équations de Volterra, написанной под руководством Эмиль Пикар. В 1911 году Лалеску написал первую книгу по интегральным уравнениям.

Интегральные уравнения Вольтерра находят применение в демографии, исследовании вязкоупругих материалов и в актуарной науке с помощью уравнения восстановления.

• 1 Преобразование уравнения Вольтерра первого рода во второй тип
• 2 Численное решение с использованием правила трапеции
• 3 Применение: теория руин
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Линейное уравнение Вольтерра первого рода всегда можно свести к линейному уравнению Вольтерра второго рода, предполагая, что <117 К (т, т) ≠ 0 {\ Displaystyle К (т, т) \ neq 0}. Взяв производную от уравнения Вольтерра первого рода, мы получаем:

$dfdt\; =\; \int \; at\; \partial \; K\; \partial \; tx\; (s)\; ds\; +\; K\; (t,\; t)\; x\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{df\; \backslash \; over\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; partial\; K\; \backslash \; over\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; x\; (s)\; ds\; +\; K\; (t,\; t)\; x\; (t)\}$Делим до $K\; (\; t,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; (t,\; t)\}$дает: $x\; (t)\; =\; 1\; K\; (t,\; t)\; dfdt\; -\; \int \; при\; 1\; K\; (t,\; t)\; \partial \; K\; \partial \; tx\; (s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{K\; (t,\; t)\}\}\; \{df\; \backslash \; over\; \{dt\}\}\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{t\}\; \{1\; \backslash \; over\; \{K\; (t,\; t)\}\}\; \{\backslash \; partial\; K\; \backslash \; over\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; x\; (s)\; ds\}$Определение $f\; ~\; (t)\; =\; 1\; K\; (t,\; t)\; dfdt\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{f\}\}\; (t)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{K\; (t,\; t)\}\}\; \{df\; \backslash \; over\; \{dt\}\}\}$и $K\; ~\; (t,\; s)\; =\; -\; 1\; К\; (t,\; t)\; \partial \; К\; \partial \; T\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; widetilde\; \{K\}\}\; (t,\; s)\; =\; -\; \{1\; \backslash \; над\; \{K\; (t,\; t)\}\}\; \{\backslash \; partial\; K\; \backslash \; over\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\}$завершает преобразование уравнения первого рода в линейное уравнение Вольтерра второго рода.

Стандартным методом вычисления численного решения линейного уравнения Вольтерра второго рода является правило трапеций, которое для равномерно распределенных подинтервалов $\Delta \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\}$определяется по формуле:

$\int \; abf\; (x)\; dx\; \approx \; \Delta \; x\; 2\; [f\; (x\; 0)\; +\; 2\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; -\; 1\; f\; (\; xi)\; +\; f\; (xn)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; dx\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; Delta\; x\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [f\; (x\_\; \{0\})\; +\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n-1\}\; f\; (x\_\; \{i\})\; +\; f\; (x\_\; \{n\})\; \backslash \; right]\}$Предполагая равные интервалы для подынтервалов, интегральный компонент уравнения Вольтерра может быть аппроксимировано следующим образом: $\int \; при\; K\; (t,\; s)\; x\; (s)\; ds\; \approx \; \Delta \; s\; 2\; [K\; (t,\; s\; 0)\; x\; (s\; 0)\; +\; 2\; K\; (t,\; s\; 1)\; x\; (s\; 1)\; +\; \cdots \; +\; 2\; К\; (t,\; sn\; -\; 1)\; x\; (sn\; -\; 1)\; +\; K\; (t,\; sn)\; x\; (sn)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{t\}\; K\; (t,\; s)\; x\; (s)\; ds\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; Delta\; s\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [K\; (t,\; s\_\; \{0\})\; x\; (s\_\; \{0\})\; +\; 2K\; (t,\; s\_\; \{1\})\; x\; (s\_\; \{1\})\; +\; \backslash \; cdots\; +\; 2K\; (t,\; s\_\; \{n-1\})\; x\; (s\_\; \{n-1\})\; +\; K\; (t,\; s\_\; \{n\})\; x\; (s\_\; \{n\})\; \backslash \; right]\}$Определение $xi\; =\; x\; (si)\; \{\backslash \; displaystyl\; е\; x\_\; \{i\}\; =\; x\; (s\_\; \{i\})\}$, $fi\; =\; f\; (ti)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\; =\; f\; (t\_\; \{i\})\}$и $K\; ij\; =\; K\; (ti,\; sj)\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{ij\}\; =\; K\; (t\_\; \{i\},\; s\_\; \{j\})\}$, у нас есть система линейных уравнений: $x\; 0\; =\; f\; 0\; x\; 1\; =\; f\; 1\; +\; \Delta \; s\; 2\; (K\; 10\; x\; 0\; +\; K\; 11\; x\; 1)\; x\; 2\; =\; f\; 2\; +\; \Delta \; s\; 2\; (K\; 20\; x\; 0\; +\; 2\; K\; 21\; x\; 1\; +\; K\; 22\; x\; 2)\; ⋮\; Иксn\; знак\; равно\; fn\; +\; \Delta \; s\; 2\; (К\; N\; 0\; Икс\; 0\; +\; 2\; К\; N\; 1\; Икс\; 1\; +\; \cdots \; +\; 2\; К\; N,\; N\; -\; 1\; XN\; -\; 1\; +\; К\; nnxn)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; x\_\; \{0\}\; =\; f\_\; \{0\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{1\}\; =\; f\_\; \{1\}\; +\; \{\backslash \; Delta\; s\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (K\_\; \{10\}\; x\_\; \{0\}\; +\; K\_\; \{11\}\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; справа)\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2\}\; =\; f\_\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; Delta\; s\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (K\_\; \{20\}\; x\_\; \{0\}\; +\; 2K\_\; \{21\}\; x\_\; \{1\}\; +\; K\_\; \{22\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; x\_\; \{n\}\; =\; f\_\; \{n\}\; +\; \{\backslash \; Delta\; s\; \backslash \; over\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (K\_\; \{n0\}\; x\_\; \{0\}\; +\; 2K\_\; \{n1\; \}\; x\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; 2K\_\; \{n,\; n-1\}\; x\_\; \{n-1\}\; +\; K\_\; \{nn\}\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$Это эквивалентно матрица уравнение: $x\; =\; f\; +\; M\; x\; ⟹\; x\; =\; (I\; -\; M)\; -\; 1\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; f\; +\; Mx\; \backslash \; подразумевает\; x\; =\; (IM)\; ^\; \{-\; 1\}\; f\; \}$Для правильно настроенных ядер правило трапеции обычно работает хорошо.

Одна из областей, в которой появляются интегральные уравнения Вольтерра, - это теория разорения, исследование риска неплатежеспособности в актуарной науке. Цель состоит в том, чтобы количественно оценить вероятность разорения , где $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$- первоначальный избыток и $\tau \; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; (u)\}$- время разорения. В классической модели теории разорения чистая денежная позиция $X\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{t\}\}$является функцией начального излишка, премиального дохода, полученного по ставке $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$и исходящие претензии $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$:

$X\; t\; =\; u\; +\; ct\; -\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; t\; \xi \; i,\; t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{t\}\; =\; u\; +\; ct-\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\_\; \{t\}\}\; \backslash \; xi\; \_\; \{i\},\; \backslash \; quad\; t\; \backslash \; geq\; 0\}$где $N\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{t\}\}$- процесс Пуассона для количества требований с интенсивностью $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$. В этих условиях вероятность разорения может быть представлена ​​интегральным уравнением Вольтерра вида: $\psi \; (u)\; =\; \lambda \; c\; \int \; u\; \infty \; S\; (x)\; dx\; +\; \lambda \; c\; \int \; 0\; u\; \psi \; (u\; -\; x)\; S\; (Икс)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (u)\; =\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; over\; \{c\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{u\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; S\; (x)\; dx\; +\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; over\; \{c\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{u\}\; \backslash \; psi\; (ux)\; S\; (x)\; dx\}$где $S\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; cdot)\}$- выживаемость функция распределения требований.

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Интегральное уравнение
• Интегро-дифференциальное уравнение

1. ^Полянин, Андрей Д.; Манжиров, Александр В. (2008). Справочник интегральных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1584885078.
2. ^Бруннер, Германн (2017). Интегральные уравнения Вольтерра: введение в теорию и приложения. Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107098725.
3. ^«Конспект лекций по теории риска» (PDF). Школа математики, статистики и актуарных наук. Кентский университет. 20 февраля 2010 г., стр. 17–22.

• Траян Лалеску, Introduction à la théorie des équations intégrales. Avec une préface de É. Picard, Paris :, 1912. VII + 152 стр.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. «Интегральное уравнение Вольтерра первого рода». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик У. «Интегральное уравнение Вольтерра второго рода». MathWorld.
• Интегральные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений
• Press, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 19.2. Уравнения Вольтерра». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.