Оператор Вольтерра

В математике, в области функционального анализа и теории операторов, оператор Вольтерра, названный в честь Вито Вольтерра, является линейный ограниченный оператор на пространстве L [0,1] комплекснозначных квадратично интегрируемых функций на отрезке [0,1]. На подпространстве C [0,1] непрерывных функций он представляет неопределенное интегрирование. Это оператор, соответствующий интегральным уравнениям Вольтерра.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Ссылки
• 4 Дополнительная литература

Вольтерра оператор V может быть определен для функции f ∈ L [0,1] и значения t ∈ [0,1] как

$V\; (f)\; (t)\; =\; \int \; 0\; tf\; (s)\; ds.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (f)\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; f\; (s)\; \backslash ,\; ds.\}$

• V - ограниченный линейный оператор между гильбертовыми пространствами, с эрмитово сопряженным элементом

$V\; \ast \; (f)\; (t)\; =\; \int \; t\; 1\; f\; (s)\; ds.\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{*\}\; (f)\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\}\; ^\; \{1\}\; f\; (s)\; \backslash ,\; ds.\}$

• V - это оператор Гильберта – Шмидта, следовательно, в частности, компактный.
• V не имеет собственных значений и, следовательно, согласно спектральной теории компактных операторов, его спектр σ (V) = {0}.
• V является квазинильпотентным оператором (то есть спектральный радиус, ρ (V) равен нулю), но это не нильпотентный.
• Оператор norm V в точности равен || V || = ⁄ π.

• Гохберг, Израиль; Крейн, М. Г. (1970). Теория и приложения операторов Вольтерра в гильбертовом пространстве. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3627-7.