Трохоид

A циклоида (обычная трохоида), генерируемая катящимся кругом

В геометрии трохоида (из греческое слово, обозначающее колесо, «трохо») - это рулетка, образованная кругом, катящимся вдоль линии. Другими словами, это кривая , очерченная точкой, прикрепленной к окружности (где точка может находиться внутри, внутри или вне круга), когда она катится по прямой линии. Если точка находится на окружности, трохоида называется общей (также известна как циклоида ); если острие находится внутри круга, трохоида курчавая; а если точка находится вне круга, трохоида вытянутая. Слово «трохоид» было придумано Жилем де Робервалем.

• 1 Базовое описание
  • 1.1 Куртат, общий, вытянутый
• 2 Общее описание
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Вытянутый трохоид с b / a = 5/4 Вытянутый трохоид с b / a = 4/5

Как круг радиуса a катится без скользя по линии L, центр C движется параллельно L, и каждая другая точка P во вращающейся плоскости, жестко прикрепленная к окружности, следует по кривой, называемой трохоидой. Пусть CP = b. Параметрические уравнения трохоиды, для которой L является осью x, равны

$x\; =\; a\; \theta \; -\; b\; sin\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; a\; \backslash \; theta\; -b\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\}$

$y\; =\; a\; -\; b\; cos\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; ab\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\}$

где θ - переменный угол, на который катится круг.

Куртатный, общий, вытянутый

Если P лежит внутри круга (b < a), on its circumference (b = a), or outside (b>a), трохоид описывается как сокращенный («сокращенный»), общий или вытянутый (« расширенный ") соответственно. Курчавая трохоида отслеживается педалью, когда велосипед с нормальной передачей вращается по прямой. вытянутый трохоид можно проследить кончиком весла, когда лодка движется с постоянной скоростью гребными колесами; эта кривая содержит петли. Обычный трохоид, также называемый циклоидой, имеет бугорки в точках, где P касается L.

Более общий подход определит трохоиду как геометрическое место точки $(x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\}$, вращающейся по орбите с постоянной скоростью вокруг оси, расположенной в $(x\; \prime ,\; y\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; \text{'},\; y\text{'})\}$,

$x\; =\; x\; \prime \; +\; r\; 1\; cos\; \; (\omega \; 1\; t\; +\; \varphi \; 1),\; y\; =\; y\; \prime \; +\; r\; 1\; sin\; \; (\omega \; 1\; T\; +\; \varphi \; 1),\; р\; 1>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; x\; \text{'}+\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}),\; \backslash \; y\; =\; y\text{'}\; +\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\}),\; \backslash \; r\_\; \{1\}>0,\}$

какая ось переводится в xy-плоскости с постоянной скоростью в любом прямая,

$x\; \prime \; =\; x\; 0\; +\; v\; 2\; xt,\; y\; \prime \; =\; y\; 0\; +\; v\; 2\; yt\; \therefore \; x\; =\; x\; 0\; +\; r\; 1\; cos\; \; (\omega \; 1\; t\; +\; \varphi \; 1)\; +\; v\; 2\; xt,\; y\; =\; y\; 0\; +\; r\; 1\; грех\; \; (\omega \; 1\; t\; +\; \varphi \; 1)\; +\; v\; 2\; yt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{lcl\}\; x\; \text{'}=\; x\_\; \{0\}\; +\; v\_\; \{2x\}\; t,\; \backslash \; y\; \text{'}=\; y\_\; \{0\}\; +\; v\_\; \{2y\}\; t\; \backslash \backslash \backslash \; поэтому\; x\; =\; x\_\; \{0\}\; +\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\; \})\; +\; v\_\; \{2x\}\; t,\; \backslash \; y\; =\; y\_\; \{0\}\; +\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\})\; +\; v\_\; \{2y\}\; t,\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{\; array\}\}\}$

или круговой путь (другая орбита) вокруг $(x\; 0,\; y\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\}$(гипотрохоид / эпитрохоид случай),

$x\; \prime \; =\; x\; 0\; +\; r\; 2\; cos\; \; (\omega \; 2\; t\; +\; \varphi \; 2),\; y\; \prime \; =\; y\; 0\; +\; r\; 2\; sin\; \; (\; \omega \; 2\; t\; +\; \varphi \; 2),\; r\; 2\; \ge \; 0\; \therefore \; x\; =\; x\; 0\; +\; r\; 1\; cos\; \; (\omega \; 1\; t\; +\; \varphi \; 1)\; +\; r\; 2\; cos\; \; (\omega \; 2\; t\; +\; \varphi \; 2),\; y\; =\; y\; 0\; +\; r\; 1\; грех\; \; (\omega \; 1\; T\; +\; \varphi \; 1)\; +\; р\; 2\; грех\; \; (\omega \; 2\; T\; +\; \varphi \; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{lcl\}\; x\; \text{'}=\; x\_\; \{0\}\; +\; r\_\; \{2\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}),\; \backslash \; y\; \text{'}=\; y\_\; \{0\}\; +\; r\_\; \{2\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}),\; \backslash \; r\_\; \{2\}\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; поэтому\; x\; =\; x\_\; \{0\}\; +\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\})\; +\; r\_\; \{2\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; \_\; \{\; 2\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}),\; \backslash \; y\; =\; y\_\; \{0\}\; +\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{1\})\; +\; r\_\; \{2\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; t\; +\; \backslash \; phi\; \_\; \{2\}),\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Отношение скоростей движения и то, перемещается ли движущаяся ось по прямой или круговой траектории, определяет форму трохои d. В случае прямого пути один полный оборот совпадает с одним периодом периодического (повторяющегося) геометрического места. В случае круговой траектории для движущейся оси геометрическое место является периодическим, только если соотношение этих угловых движений, $\omega \; 1\; /\; \omega \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; /\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\}$- рациональное число, например, $p\; /\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; /\; q\}$, где $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$$q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$являются взаимно простыми, и в этом случае один период состоит из $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$орбит вокруг движущейся оси и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$орбиты движущейся оси вокруг точки $(x\; 0,\; y\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\})\}$. Особые случаи эпициклоиды и гипоциклоиды, созданные путем отслеживания геометрического места точки на периметре круга радиусом $r\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\}$при катании по периметру неподвижной окружности радиуса $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, иметь следующие свойства:

$эпициклоида:\; \omega \; 1\; /\; \omega \; 2\; =\; p\; /\; q\; =\; r\; 2\; /\; r\; 1\; =\; R\; /\; r\; 1\; +\; 1,\; |\; p\; -\; q\; |\; куспиды\; гипоциклоида:\; \omega \; 1\; /\; \omega \; 2\; =\; p\; /\; q\; =\; -\; r\; 2\; /\; r\; 1\; =\; -\; (R\; /\; r\; 1\; -\; 1),\; |\; p\; -\; q\; |\; =\; |\; p\; |\; +\; |\; q\; |\; куспиды\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{lcl\}\; \{\backslash \; text\; \{epicycloid:\}\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; /\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; =\; p\; /\; q\; =\; r\_\; \{2\}\; /\; r\_\; \{1\}\; =\; R\; /\; r\_\; \{1\}\; +1,\; \backslash \; |\; pq\; |\; \{\backslash \; text\; \{cusps\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; text\; \{гипоциклоида:\}\}\; \backslash \; omega\; \_\; \{1\}\; /\; \backslash \; omega\; \_\; \{2\}\; =\; p\; /\; q\; =\; -r\_\; \{2\}\; /\; r\_\; \{1\}\; =\; -\; (R\; /\; r\_\; \{1\}\; -1),\; \backslash \; |\; pq\; |\; =\; |\; p\; |\; +\; |\; q\; |\; \{\backslash \; text\; \{cusps\}\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

где $r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{2\}\}$- радиус орбиты движущейся оси. Приведенное выше количество бугров также справедливо для любого эпитрохоида и гипотрохоида, при этом «бугорки» заменены либо «радиальными максимумами», либо «радиальными минимумами».

• Брахистохрон
• Циклогон
• Циклоид
• Эпитрохоид
• Гипотрохоид
• Список периодических функций
• Рулетка (кривая)
• Спирограф
• Трохоидальный wave

• Онлайн-эксперименты с трохоидом с использованием JSXGraph