Войти
В дифференциальной геометрии общая абсолютная кривизна гладкой кривой является числом, определенным путем интегрирования абсолютного значения кривизны вокруг кривой. Это безразмерная величина, которая инвариантна относительно преобразований подобия кривой, и ее можно использовать для измерения того, насколько кривая далека от выпуклая кривая.
Если кривая параметризована ее длиной дуги, общая абсолютная кривизна может быть выражена формулой
где s - параметр длины дуги, а κ - кривизна. Это почти то же самое, что формула для общей кривизны, но отличается использованием абсолютного значения вместо кривизны со знаком.
Поскольку общая кривизна простой замкнутой кривой в евклидовой плоскости всегда ровно 2π, общая абсолютная кривизна всегда не меньше 2π. Это ровно 2π для выпуклой кривой и больше 2π, если кривая имеет невыпуклости. Когда гладкая простая замкнутая кривая подвергается потоку , сокращающему кривую, ее общая абсолютная кривизна монотонно уменьшается до тех пор, пока кривая не станет выпуклой, после чего ее общая абсолютная кривизна остается фиксированной на уровне 2π, пока кривая не схлопнется до точки.
Полная абсолютная кривизна также может быть определена для кривых в трехмерном евклидовом пространстве. Опять же, это как минимум 2π, но может быть больше. Если пространственная кривая окружена сферой, общая абсолютная кривизна сферы равна ожидаемому значению центральной проекции кривой на плоскость, касательную к случайной точке сфера. Согласно теореме Фэри – Милнора, каждый нетривиальный гладкий узел должен иметь общую абсолютную кривизну больше 4π.
