Курсовой тест

редактировать

В математике, n-членный критерий дивергенции представляет собой простой тест на расхождение бесконечного ряда :

Если $lim n → ∞ an ≠ 0 { \ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ neq 0}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} a_n \ neq 0$ или, если ограничение не существует, то $∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}$ расходится.

Многие авторы не называют этот тест или дают ему более короткое название.

При проверке сходства или расхождения рядов этот тест часто проверяется в первую очередь из-за простоты его использования.

Содержание

1 Использование
2 Доказательства
- 2.1 Манипуляции с ограничениями
- 2.2 Критерий Коши
3 Объем
4 Примечания
5 Ссылки

Использование

В отличие от более строгих тестов сходимости , термин тест не может сам по себе доказывать, что ряд сходится. В частности, обратное к проверке неверно; вместо этого все, что можно сказать:

Если $lim n → ∞ an = 0, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0,}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 0,$ тогда $∑ N = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}$ может сходиться, а может и не сходиться. Другими словами, если $lim n → ∞ an = 0, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0,}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 0,$ , проверка не дает результатов.

Гармонический ряд - классический пример расходящегося ряда, члены которого ограничиваются нулем. Более общий класс p-серии,

∑ n = 1 ∞ 1 np, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {p} }},}

\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ p},

иллюстрирует возможные результаты теста:

Если p ≤ 0, то термин тест определяет серию как расходящуюся.
Если 0 < p ≤ 1, then the term test is inconclusive, but the series is divergent by the интегральный тест на сходимость.
Если 1 < p, then the term test is inconclusive, but the series is convergent, again by the integral test for convergence.

Доказательства

Тест обычно подтверждается в контрапозитивной форме:

Если $∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}$ сходится, тогда $lim n → ∞ an = 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 0.$

Манипуляции с ограничениями

Если s n - частные суммы ряда, то предположение, что ряд сходится, означает, что

lim n → ∞ sn = L {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = L}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} = L}

для некоторого числа s. Тогда

lim n → ∞ an = lim n → ∞ (sn - sn - 1) = lim n → ∞ sn - lim n → ∞ sn - 1 = L - L = 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} (s_ {n} -s_ {n-1}) = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} - \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n-1} = LL = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} (s_ {n} -s_ {n-1}) = \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n} - \ lim _ {n \ to \ infty} s_ {n-1} = LL = 0.}

критерий Коши

Предположение, что ряд сходится, означает, что он проходит тест сходимости Коши : для каждого $ε>0 {\ displaystyle \ varepsilon>0}$ $\varepsilon>0$ существует такое число N, что

| an + 1 + an + 2 +… + an + p | < ε {\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{n+p}|<\varepsilon }

| a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + \ ldots + a_ {n + p } | <\ varepsilon

выполняется для всех n>N и p ≥ 1. Установка p = 1 восстанавливает определение выражения

lim n → ∞ an = 0. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}

\ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 0.

Область действия

Простейшая версия термина «проверка» применима к бесконечным сериям действительных чисел. Два приведенных выше доказательства с использованием критерия Коши или линейности предела, al поэтому работайте в любом другом нормированном векторном пространстве (или в любой (аддитивно записанной) абелевой группе).

Примечания

Ссылки

Брабенек, Роберт (2005). Ресурсы для изучения реального анализа. MAA. ISBN 0883857375.
Хансен, Ван Лундсгаард (2006). Функциональный анализ: вход в гильбертово пространство. World Scientific. ISBN 9812565639.
Качор, Веслава и Мария Новак (2003). Проблемы математического анализа. Американское математическое общество. ISBN 0821820508.
Рудин, Вальтер (1976) [1953]. Принципы математического анализа (3е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-054235-X.
Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление: Ранние трансцендентные (4-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-36298-2.
Зухуби, Эрдоган С. (2003). Функциональный анализ. Springer. ISBN 1402016166.