Войти
В теории поля классов, теорема существования Такаги утверждает, что для любого числового поля K существует взаимно однозначное включение, меняющее соответствие между конечными абелевыми расширениями поля K (в фиксированном алгебраическое замыкание группы K) и обобщенные группы классов идеалов, определенные через модуль группы K.
Это называется теоремой существования потому что основная задача доказательства - показать существование достаточного количества абелевых расширений K.
Здесь модуль (или делитель луча) - это формальное конечное произведение оценок (также называемых простыми числами или помещает ) из K с положительными целыми показателями. Архимедовы оценки, которые могут появиться в модуле, включают только те, завершения которых являются действительными числами (а не комплексными числами); они могут быть отождествлены с порядками на K и встречаются только с показателем один.
Модуль m является произведением неархимедовой (конечной) части m f и архимедовой (бесконечной) части m ∞. Неархимедова часть m f является ненулевым идеалом в кольце целых чисел OKполя K, а архимедова часть m ∞ представляет собой просто набор реальных вложений K. С таким модулем m связаны две группы дробных идеалов. Более крупный, I m, представляет собой группу всех дробных идеалов, взаимно простых с m (что означает, что эти дробные идеалы не включают никаких простых идеалов, появляющихся в m f). Меньший, P m, представляет собой группу главных дробных идеалов (u / v), где u и v ненулевые элементы O K, простые с m f, u ≡ v mod m f и u / v>0 в каждом из порядков m ∞. (Здесь важно, что в P m все, что нам требуется, это чтобы какой-то образующий идеал имел указанную форму. Если один имеет, то другие могут не иметь. Например, принимая K как рациональные числа, идеал (3) лежит в P 4, потому что (3) = (−3) и −3 удовлетворяет необходимым условиям. Но (3) не находится в P 4∞, поскольку здесь требуется, чтобы положительная образующая идеала была 1 mod 4, что не так.) Для любой группы H, лежащей между I m и P m, частное I m / H называется обобщенной группой классов идеалов.
Именно эти обобщенные группы классов идеалов соответствуют абелевым расширениям K по теореме существования и фактически являются группами Галуа этих расширений. Конечность обобщенных групп классов идеалов доказывается аналогично доказательству конечности обычной группы классов идеалов, задолго до того, как мы узнаем, что это группы Галуа конечных абелевых расширений числового поля.
Строго говоря, соответствие между конечными абелевыми расширениями K и обобщенными группами классов идеалов не совсем однозначно. Обобщенные группы классов идеалов, определенные относительно разных модулей, могут привести к одному и тому же абелеву расширению K, и это априори систематизировано в несколько сложном отношении эквивалентности на обобщенных группах классов идеалов.
Конкретно для абелевых расширений L рациональных чисел это соответствует тому факту, что абелево расширение рациональных чисел, лежащих в одном круговом поле, также лежит в бесконечном множестве других круговых полей, и для каждого такого кругового поля над полем по теории Галуа получается подгруппа группы Галуа, соответствующая одному и тому же полю L.
В поле получается точное взаимно однозначное соответствие между абелевыми расширениями и соответствующими группами иделей, где эквивалентные группы обобщенных классов идеалов на языке теории идеалов соответствуют одной и той же группе идеелей.
Частным случаем теоремы существования является когда m = 1 и H = P 1. В этом случае обобщенная группа классов идеалов - это группа классов идеалов группы K, и теорема существования утверждает, что существует единственное абелево расширение L / K с группой Галуа изоморфна группе классов идеалов K такая, что L неразветвлен во всех точках K. Это расширение называется полем классов Гильберта. Его существование было предположено Дэвидом Гильбертом, и существование в этом частном случае было доказано Фуртвенглером в 1907 году, до общей теоремы существования Такаги.
Еще одно особое свойство поля классов Гильберта, не верное для меньших абелевых расширений числового поля, состоит в том, что все идеалы в числовом поле становятся главными в поле классов Гильберта. Требовалось Артина и Фуртвенглера, чтобы доказать, что принципиализация имеет место.
Теорема существования принадлежит Такаги, который доказал ее в Японии в отдельные годы Первой мировой войны. Он представил ее на Международном конгрессе математиков в 1920 году, что привело к развитию классической теории теории поля классов в течение 1920-х годов. По просьбе Гильберта статья была опубликована в Mathematische Annalen в 1925 г.
