Сферический маятник: углы и скорости.
В физике сферический маятник является аналогом маятника более высокой размерности. Он состоит из массы м, движущейся без трения по поверхности сферы. Единственными силами, действующими на массу, являются реакция со стороны сферы и гравитация.
. Из-за сферической геометрии задачи сферические координаты используются для описания положения массы в терминах (r, θ, φ), где r фиксировано, r = l.
Содержание
- 1 Лагранжева механика
- 2 Гамильтонова механика
- 3 Траектория
- 4 См. Также
- 5 Ссылки
- 6 Дополнительная литература
Лагранжева механика
Обычно, чтобы записать кинетический и потенциал части лагранжиана в произвольных обобщенных координатах положение массы выражается по декартовым осям. Здесь, следуя соглашениям, показанным на диаграмме,
- .
Затем производные по времени от эти координаты берутся, чтобы получить скорости по осям
- .
Таким образом,
и
Лагранжиан с константой части удалены, составляет
Уравнение Эйлера – Лагранжа с использованием полярного угла
дает
и
Когда уравнение сводится к дифференциальному уравнению для движения простого гравитационного маятника.
Аналогично, Уравнение Эйлера – Лагранжа с азимутальной muth ,
дает
- .
Последний уравнение показывает, что угловой момент вокруг вертикальной оси, сохраняется. Азимут , отсутствующий в лагранжиане, является циклической координатой, что означает, что его сопряженный импульс является постоянная движения.
конический маятник относится к специальным решениям, где и - константа, не зависящая от времени.
Гамильтонова механика
Гамильтониан равен
где сопряженные импульсы равны
и
- .
В терминах координат и импульсов это читается как
уравнение Гамильтона дадут временную эволюцию координат и импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка
Импульс - постоянная движения. Это следствие вращательной симметрии системы относительно вертикальной оси.
Траектория
Траектория сферического маятника.
Траектория массы на сфере может быть получена из выражения для полной энергии
, отметив, что вертикальная составляющая углового момента - постоянная движения, не зависящая от времени.
Следовательно,
, что приводит к эллиптическому интегралу первого рода для
и эллиптический интеграл третьего рода для
- .
Угол лежит между два круга широты, где
- . 277>См. Также